3.14--3.1.5空间向量的坐标

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示。＋＝，使，实数对共面的充要条件是存在与向量不共线，则向量如果两个向量byaxpyx,p,baba共线向量定理:复习：共面向量定理:0//aabbabb对空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数，使＝。有向量的一组基底。）叫做表示这一平面内所、（。＋＝，使，一对实数，有且只有任一向量那么对于这一平面内的共线向量，是同一平面内的两个不，如果2122112121eeeeaaee平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyoaijaxiyj(1,0),(0,1),0(0,0).ij由此可知，如果是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组{x,y,z}使得我们称为向量在上的分向量。,,ijkp.pxiyjzk,,xiyjzk,,ijkp问题：p我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？,abxyzOijkQPp.OPOQzk.OQxiyj.OPOQzkxiyjzk探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量，你能得出类似的结论吗？,,abc,,ijk任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z使,,abcp.pxaybzc都叫做基向量,,abc（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，还应明确：（2）由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。00（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。.OPxOAyOBzOC空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底{,,}ijk用表示(2)在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系,点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；O{,,}ijkO,,ijkxyzOxyzO,,ijkxOyyOzzOxxyzkjiO（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系。本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.xyzkjiO（3）作空间直角坐标系时，一般使135(45),90xOyyOz或Oxyz2．空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量,则存在唯一的有序实数组使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作．在空间直角坐标系中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．a,,ijk123(,,)aaa123aaiajak123(,,)aaaaOxyz123(,,)aaaaAOxyz(,,)xyzOAxiyjzk(,,)xyzOAOxyz(,,)Axyzxzya已知向量{a，b，c}是空间的一个基底．(1)求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．(2)若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，试求向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标.练习解设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc.又∵p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，即p＝a＋2b＋3c，3.1.5空间向量运算的坐标表示123123(,,),(,,)aaaabbbb设则;ab;ab;a;ab//;ab;ab112233(,,)ababab112233(,,)ababab123(,,),()aaaR112233ababab112233,,()ababababR11223300abababab一、向量的直角坐标运算新课2222123||aaaaaa2222123||bbbbbb1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。二、距离与夹角||ABABABAB212121(,,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222212121||()()()ABdABxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、，则111(,,)Axyz222(,,)Bxyz（2）空间两点间的距离公式空间中点坐标公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点P.121212,,)222xxyyzz（cos,||||ababab112233222222123123;abababaaabbb2.两个向量夹角公式注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。cos,1ab与abcos,1ab与abcos,0abab思考：当及时，夹角在什么范围内？1cos,0ab,10cosab(2)已知空间四点A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),D(x,-1,3)共面，则x的值为.(3)已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),若直线OA上一点H满足BH⊥OA,则点H的坐标为.例1四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下地面分别是边长为3和6的正方形，A1A=6，且A1A⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上，若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ.例2四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=60°,F为PC的中点，AF⊥PB,求PA的长.例3直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°,M、N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为.例1设正四棱锥S—P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求的坐标.解如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥Oy轴，P1P4⊥Ox轴，SO在Oz轴上.∵|P1P2|＝2，而P1、P2、P3、P4均在xOy平面上，∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0).SP1→、P2P3在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，∴P3(－1，－1,0)，P4(1，－1,0).又|SP1|＝2，|OP1|＝2，∴在Rt△SOP1中，|SO|＝2，∴S(0,0，2).∴SP1→＝OP1→－OS→＝(1,1，－2)，P2P3→＝OP3→－OP2→＝(0，－2,0).反思与感悟建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为宜.向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标.求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标.跟踪训练2已知空间三点A(－2,0,2)、B(－1,1,2)、C(－3,0,4).设a＝AB→，b＝AC→.(1)设|c|＝3，c∥BC→，求c；解∵BC→＝(－2，－1,2)且c∥BC→，∴设c＝λBC→＝(－2λ，－λ，2λ).∴c＝－2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2).(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.解∵a＝AB→＝(1,1,0)，b＝AC→＝(－1,0,2)，∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0.即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，解得k＝2或k＝－52.探究点二空间向量的坐标运算的应用例2棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G是DD1、BD、BB1的中点.(1)求证：EF⊥CF；证明建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E0，0，12，C(0,1,0)，F12，12，0，G1，1，12.∴EF→＝12，12，－12，CF→＝12，－12，0，CG→＝1，0，12，CE→＝0，－1，12.∵EF→·CF→＝12×12＋12×－12＋－12×0＝0，∴EF→⊥CF→，即EF⊥CF.解∵EF→·CG→＝12×1＋12×0＋－12×12＝14.|EF→|＝122＋122＋－122＝32，|CG→|＝12＋02＋122＝52，(2)求EF与CG所成角的余弦值；EF与CG所成角的余弦值为1515.∴cos〈EF→，CG→〉＝EF→·CG→|EF→||CG→|＝1432×52＝1515.解|CE→|＝02＋－12＋122＝52.(3)求CE的长.反思与感悟运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几何结论.12344.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；1234解如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点.设AB＝1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1，32，0).易得EF→＝(0，12，1)，A1D→＝(0,2，－4)，于是cos〈EF→，A1D→〉＝EF→·A1D→|EF→||A1D→|＝－35.所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为35.1234(2)证明：AF⊥平面A1ED.证明易知AF→＝(1,2,1)，EA1→＝(－1，－32，4)，ED→＝(－1，12，0)，于是AF→·EA1→＝0，AF→·ED→＝0.因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED.例1．已知(2,3,5),(3,1,4),,||,8,abababaaab求(2,3,5)(3,1,4)(5,4,9)ab(2,3,5)(3,1,4)(1,2,1)ab222||2(3)538a88(2,3,5)(16,24,40)a(2,3,5)(3,1,4)2(3)(3)15(4)29ab解:三、应用举例三、应用举例例2已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；(3,3,1)A(1,0,5)BAB解：设是的中点，则(,,)MxyzAB113()(3,3,1)1,0,52,,3,222OMOAOB∴点的坐标是.M32,,32222(13)(03)(51)29.ABdOABM（2）到两点距离相等的点的坐标满足的条件。、AB(,,)Pxyz,,xyz解：点到的距离相等，则(,,)Pxyz、AB222222(3)(3)(1)(1)(0)(5),xyzxyz化简整理，得46