王江《金融经济学》课后习题全部答案

金融经济学习题解答王江�初稿�待修改。未经作者许可请勿传阅、拷贝、转载和篡改。)2006年8月第第第2章章章基基基本本本框框框架架架2.1U(c)和V(c)是两个效用函数�c∈Rn+�且V(x)=f(U(x))�其中f(·)是一正单调函数。证明这两个效用函数表示了相同的偏好。解解解.假设U(c)表示的偏好关系为��那么∀c1,c2∈RN+有U(c1)≥U(c2)⇔c1�c2而f(·)是正单调函数�因而V(c1)=f(U(c1))≥f(U(c2))=V(c2)⇔U(c1)≥U(c2)因此V(c1)≥V(c2)⇔c1�c2�即V(c)表示的偏好也是�。2.2*在1期�经济有两个可能状态a和b�它们的发生概率相等�ab考虑定义在消费计划c=[c0;c1a;c1b]上的效用函数�U(c)=logc0+12(logc1a+logc1b)U(c)=11−γc1−γ0+12�11−γc1−γ1a+11−γc1−γ1b�U(c)=−e−ac0−12�e−ac0+e−ac0�证明它们满足�不满足性、连续性和凸性。解解解.在这里只证明第一个效用函数�可以类似地证明第二、第三个效用函数的性质。(a)先证明不满足性。假设c≥c��那么有c0≥c�0,c1a≥c�1a,c1b≥c�1b而log(·)是单调增函数�因此有log(c0)≥log(c�0),log(c1a)≥log(c�1a),log(c1b)≥log(c�1b)因而U(c)≥U(c�)�即c�c�。2第2章基本框架(b)现在证明连续性。令{c(n)}∞1为R3中一个序列�且limn→∞c(n)=c。对于∀ε0,∃δ�当|c�i−ci|≤δ时我们有|log(c�i)−log(ci)|ε3,i=0,1a,1b�对于δ�∃N使得当n≥N时��c(n)−c�=�(c0−c(n)0)2+(c1a−c(n)1a)2+(c1b−c(n)1b)2δ因而|U(c(n))−U(c)|ε�故limc(n)→cU(c(n))=U(c)。(c)最后证明凸性。假设U(C)U(C�)�那么log(c0)+12log(c1a)+12log(c1b)log(c�0)+12log(c�1a)+12log(c�1b)对于∀α∈(0,1)�U(αC�+(1−α)C)=log(αc�0+(1−α)c0)+12log(αc�1a+(1−α)c1a)+12log(αc�1b+(1−α)c1b)≥α(log(c�0)+12log(c�1a)+12log(c�1b))+(1−α)(log(c0)+12log(c1a)+12log(c1b))=αU(C�)+(1−α)U(C)U(C�)故凸性成立。2.3U(c)=c−12ac2是一可能的效用函数�其中c∈R+�a是非负的系数。U(c)具有不满足性吗�如果不�那么a取什么值和/或c在什么范围内时U(c)具有不满足性�解解解.不一定。比如当a=1时�U(12)=38U(1)=12U(3)=−1.5。U(c)不具有不满足性。当a=0时�U(c)=c具有不满足性�当a0时�当c∈[0,1a]时U(c)具有不满足性。2.4考虑一个经济�它在1期有三个可能状态�a�b和c�abc证券市场包括证券1和2�它们具有如下的支付向量�X1=[1;1;1]以及X2=[1;2;3]。它们的价格分别为S1和S2。(a)描述这个经济的支付空间。(b)写出这个经济的市场结构矩阵X。(c)考虑含有θ1单位的证券1和θ2单位的证券2的组合。写出这个组合的支付向量。这个组合的价格是多少�c�王江金融经济学3(d)假设这个市场中总共有K个参与者。每个参与者的禀赋是1单位的证券1和2单位的证券2。这时的市场组合是什么�市场组合的支付向量是什么�市场组合的总价值是多少�(e)写出市场化支付的集合。(f)如果市场不允许卖空。市场化支付的集合是什么�(g)现在引入新的证券3�它的支付向量为X3=[0;0;1]。写出新的市场结构矩阵。在这个市场结构下�市场化支付集合是什么�解解解.(a)这个经济的支付空间是R3�(b)市场结构矩阵为X=��111213��=[X1,X2]�(c)组合的支付向量为θ1X1+θ2X2=[θ1+θ2;θ1+2θ2;θ1+3θ2]�组合的价格是θ1S1+θ2S2�(d)市场组合是K单位的证券1和2K单位的证券2�组合的支付向量为[3K;5K;7K]�组合的总价值是KS1+2KS2�(e)市场化的支付集合是M={Y∈R2:Y=θ1X1+θ2X2,θ1,θ2∈R}�(f)这时的市场化支付集合是M+={Y∈R2:Y=θ1X1+θ2X2,θ1,θ2∈R+}�(g)新的市场结构矩阵为X=��110120131��=[X1,X2,X3]�此时的市场化支付集合为M={Y∈R3:Y=θ1X1+θ2X2+θ3X3,θ1,θ2,θ3∈R}。2.5在练习2.4中定义的只存在证券1和2的经济中。考虑一个禀赋为θ1单位的证券1和θ2单位的证券2的参与者。写出他的预算集。解解解.参与者的预算集是{C∈R3+:C=α1X1+α2X2,其中α1S1+α2S2≤θ1S1+θ2S2}。2.6在上面的练习中引入练习2.4中定义的证券3�它的价格为S3。这时�参与者的预算集是什么�他在证券3上的禀赋为0��证明由证券1、2、3构成的预算集包含仅由证券1、2构成的预算集。解解解.此时参与者的预算集就变成了{C∈R3+:C=α1X1+α2X2+α3X3,其中α1S1+α2S2+α3S3≤θ1S1+θ2S2+θ3S3}。2.7*考虑一个在1期只有一个可能状态的经济。�在这种情况下不存在不确定性。�参与者1的0期禀赋为100而1期禀赋为1�即他的禀赋向量为[100;1]。他的偏好可金融经济学c�王江4第2章基本框架以表示成如下形式�U(c0,c1)=logc0+ρlogc1.系数ρ为反映参与者在当前消费和未来消费之间相对偏好的参数。有一只证券�它的0期价格为1、1期支付为1+rF。这里�rF是利率。(a)如果这个参与者不能在市场上进行交易�那么他的消费计划以及相应的效用Ua是什么�(b)现在假设他可以在市场上进行交易。•他的预算集是什么�以当前消费为单位�他的总财富w是多少�•写出参与者的优化问题。令c0为参与者的当前�即0期�最优消费、s为最优储蓄以及Ub为在最优策略下得到的效用。求解他的最优消费/储蓄选择以及相应的效用。把Ub表示成财富w、利率rF和偏好系数ρ的函数。•讨论参与者的最优选择如何依赖于利率rF和偏好系数ρ。给出解释。(c)证明Ub≥Ua。(d)令g为参与者由于能够在证券市场上交易而获得的益处。它的定义为Ub(w−g)=Ua.计算g。讨论g如何依赖于ρ�g如何依赖于rF�给出解释。解解解.(a)如果不能交易�那么参与者只能消费自己的初始禀赋�即c0=100,c1=1,Ua=log(100)+ρlog(1)=log(100)(b)参与者的预算集是{C∈R2+:c0=100−S,c1=1+S(1+rF),S∈R}�如果以当前消费为单位�他的总财富是w=100+11+rF。参与者的优化问题就是maxSlog(100−S)+ρlog(1+S(1+rF))我们求得最优储蓄S=100ρ(1+rF)−1(1+ρ)(1+rF)最优消费为c0=100(1+rF)+1(1+ρ)(1+rF)=11+ρw,c1=ρ(100(1+rF)+1)(1+ρ)(1+rF)=ρ(1+rF)1+ρwc�王江金融经济学5因而相应的效用为Ub=log(w1+ρ)+ρlog(ρ(1+rF)1+ρw)我们可以看到�c0�c1�随着rF,ρ的上升而下降�上升��当rF上升时�储蓄的收益率增加�因而参与者会减少当前的消费以增加储蓄�同时也就增加了1期消费了�当ρ上升时�1期消费带来效用的权重增加�因此参与者会减少0期消费以增加1期消费。(c)如果选择S=0�那么我们就得到了Ua�而我们选择最优的S以最大化效用函数而得到的是Ub�因此�Ub≥Ua�(d)由Ub(w−g)=log(w−g1+ρ)+ρlog(ρ(1+rF)1+ρ(w−g))我们可以得到g=w−ρ−−ρ1+ρ(1+rF)−ρ1+ρ10011+ρ(1+ρ)g随着ρ、rF的增加而增加。g表示的是参与者能够在证券市场上交易而获得的益处�参与者是为了在当前消费和未来消费之间进行消费转移而进行交易的�如果他进行消费转移的动力越大�那么他从交易中获得益处越大�而ρ、rF增加时�参与者都希望增加未来消费�他进行消费转移的动力也增大�因而g增加。金融经济学c�王江6第2章基本框架c�王江金融经济学第第第3章章章Arrow-Debreu经经经济济济3.1*考虑如下经济�在1期有两个可能状态a和b�ab(a)描述所有Arrow-Debreu证券的支付向量。记这些证券的价格向量为φ。(b)考虑一个拥有如下禀赋的参与者�021把他的禀赋表示成Arrow-Debreu证券的组合。(c)计算他的金融财富。写出他的预算集。(d)假设参与者的效用函数如下�U(c0,c1a,c1b)=−e−c0−12�e−c1a+e−c1b�.不考虑消费的非负约束�写出他的优化问题。求解他的最优消费选择。(e)讨论他的消费如何依赖于Arrow-Debreu证券的价格向量φ。(f)证明在某些价格下�他�在某些时期/状态下�的消费可能是负的。解解解.(a)Arrow-Debreu证券的支付向量是Xa=[1;0],Xb=[0,1]�(b)2Xa+Xb�(c)参与者的金融财富是w=2φa+φb�他的预算集是{c∈R3+:c0+φac1a+φbc1b=w}�(d)由于不考虑非负约束�参与者的优化问题就变成了max[c0;c1a;c1b]−e−c0−12(e−c1a+e−c1b)8第3章ARROW-DEBREU经济s.t.c0+φac1a+φbc1b=w=2φa+φb得到最优消费为c∗0=2φa+φb+φalog(2φa)+φblog(2φb)1+φa+φbc∗1a=2φa+φb+φblog(2φb)−log(2φa)−φblog(2φa)1+φa+φbc∗1b=2φa+φb+φalog(2φa)−log(2φb)−φalog(2φb)1+φa+φb可以用c∗对φa,φb的导数的符号来确定状态价格变化对最终消费的影响。一般说来�状态价格变化对消费有两种效应�财富效应和价格效应。比如说�当状态价格φa上升时�对消费c∗1a有正的财富效应和负的价格效应�总的效应是不确定的�有可能为正也有可能为负�而φa上升对消费c∗0,c∗1b均有的正的财富效应和正的价格效应�因而c∗0,c∗1b均会增加�(e)当φa=φb=0.1时�c∗0=−0.01820。3.2考虑一个在1期只有一个可能状态的经济。�在这种情况下不存在不确定性。�参与者1的0期禀赋为100而1期禀赋为1�即他的禀赋向量为[100;1]。他的偏好可以表示成如下形式�U(c0,c1)=logc0+ρlogc1.有一只可交易证券�它的0期价格为1、1期支付为1+rF。这里�rF是利率。(a)假设利率rF是给定的�导出参与者对证券的需求。(b)假设参与者1是经济中的唯一参与者。描述市场出清条件。(c)求解均衡利率。(d)均衡利率如何依赖于偏好参数ρ�解释所得到的结论。解解解.(a)先不考虑消费的非负性�求解参与者的证券需求。此时参与者的优化问题变成了maxθlog(100−θ)+ρlog(1+θ(1+rF))我们可以求得参与者的证券需求是θ∗=100ρ(1+rF)−1(1+ρ)(1+rF)c�王江金融经济学9最优消费为c∗0=100(1+rF)+1(1+ρ)(1+rF),c∗1=ρ(100(1+rF)+1)1+ρ由于最优消费都是非负的�因此上面的求解过程没有问题。(b)由于市场上只有一个参与者�因而市场出清条件是θ∗=0�(c)由上面的市场出清条件�我们可以求得均衡利率为rF=1100ρ−1�(d)rF随着偏好系数的增加而减小。这是因为偏好系数增大�未来消费带来的边际效用相对增加�从而人们对能将财富在0期、1期