机械振动学

单自由度系统的振动第一章为什么要研究单自由度系统的振动？2.在工程上有许多振动系统可以简化为单自由度系统，用单自由度系统的振动理论就可以得到满意的结果。3.单自由度系统的基本概念具有普遍意义。多自由度系统和无限自由度系统的振动，在特殊的坐标系中考察时，显示出与单自由度系统类似的性态。引言1.单自由度系统的振动是进一步学习多自由度系统振动的基础。ekmxkmxmxyx引言振动系统的组成简化mkc机床弹性衬垫基础图将实际系统抽象为单自由度振动系统混凝土振动系统惯性元件m阻尼元件c弹性元件kmkc振动系统的组成弹性元件是提供振动的回复力，惯性元件是承载运动的实体，阻尼在振动过程中消耗系统的能量和吸收外界的能量。1.弹性元件xFxFo线性范围()fx()Ffxx当较小时Fkx弹簧的刚度系数，单位：N/m弹性元件的意义和性质振动系统的组成弹簧的刚度系数的物理意义：使弹簧产生单位位移所需施加的力对弹性元件需要说明几点：通常假定弹簧是无质量的；假定振动系统的振动幅值不会超过弹性元件的线性范围；振动系统的组成弹簧的等效刚度系数121212()()fffkkuu2212()fkuu1112()fkuu12ekkk1k2kff2u1uABffek2u1uAB12()efkuu振动系统的组成1121/uufk121211fkk12111ekkkff1k2k2u1u3uABCffek1u3uAC2232/uufk1efk振动系统的组成2.惯性元件1.惯性元件的意义和性质()xtmFm()mFmxt振动系统的组成3阻尼元件1.阻尼元件的意义和性质()xtdFcdFcxNs/m阻尼系数：使阻尼器产生单位速度所需施加的力，单位：振动系统的组成单自由度系统的振动方程s()skucumgm()ft()ftoumukcmutkutcutmgfts()[()]()()mgksmutcutkutft()()()()（单自由度系统振动方程的一般形式）结论：只要以系统静平衡位置为坐标原点，那么在列写系统运动方程时就可以不考虑系统重力的作用。kcm无阻尼单自由度系统的自由振动•正确理解固有频率的概念•会求单自由度无阻尼系统的固有频率第一章：单自由度系统的振动无阻尼单自由度系统的自由振动1.固有频率概念的引出()()0mutkut()stutue2()0msku1,2nksiimkm图无阻尼单自由度系统20msknkm固有频率单位：rad/s特征方程natrual的第一个字母对固有频率的正确理解：①固有频率仅取决于系统的刚度和质量；②固有频率与初始条件和外力等外界因素无关，是系统的固有特性；它与系统是否振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系nkm固有频率2初始扰动引起的自由振动00(0),(0)uuuu自由振动：00()cossinnnnuututt0102,nuaua()()0mutkut运动方程：12()cossinnnutatat通解：1,2nsi特征根：无阻尼单自由度系统的自由振动()sin()nutat初相位振幅：2200nuau00arctannuu初相位：自由振动：振幅简谐运动的三要素频率•初始条件是外界能量注入的一种方式，有初始位移即注入了弹性势能，有初始速度即注入了动能。•无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止；n•简谐运动三要素无阻尼单自由度系统的自由振动(1)简谐振动是一种周期振动()()nutTut周期振动满足：振动周期，单位：秒（s）3简谐振动的特征()sin()nutat22nnmTk无阻尼单自由度系统的固有周期无阻尼单自由度系统的自由振动固有频率表示单位时间内重复振动的次数.nf2nnf无阻尼单自由度系统的自由振动(2)简谐振动的位移、速度和加速度之间的关系()sin()nutat()cos()sin()2nnnnutatat求导22()sin()sin()nnnnutatat求导速度与位移的“相位差是90度”意味着什么？加速度与位移的“相位差是180度”意味着什么？位移最大时，速度为零；速度最大时，位移为零加速度与位移的最大值出现在同一时刻，但符号相反无阻尼单自由度系统的自由振动②两个同频率不同的简谐振动的合成，如果两频率比为有理数（可通约）时，合成振动为周期振动；为无理数时，为非周期振动；1111222212()sin()()sin()utatutat01020()()()utTutTutT12mn设频率比为有理数21TmTn12()()utut120mTnTT记1122()()utmTutnT12()()()ututut合成信号：()ut无阻尼单自由度系统的自由振动拍：合振幅随时间做周期型变化，振动时而加强、时而减弱.1ut2ut一个拍utABC无阻尼单自由度系统的自由振动0000uuvnkm（振幅）2200()nuau例：升降机笼的质量为，由钢丝绳牵挂以等速度向下运动。钢丝绳的刚度系数为，质量可忽略不计。如果升降机运行中急刹车，钢丝绳上端突然停止运动，求此时钢丝绳所受的最大张力。m0vk0v0vmk0vmk0k0v0dTkavmk(钢丝绳最大动张力)（钢丝绳总张力的最大值）mkvmgT0解:0mvk无阻尼单自由度系统的自由振动①微分方程法：运动微分方程系统的固有频率4求单自由度无阻尼系统固有频率的几种方法②能量方法：③等效质量和等效刚度法：maxmaxTV系统的固有频率T等效质量eqmV等效刚度eqkeqneqkm④静变形法：无阻尼单自由度系统的自由振动equivalent的前两个字母有阻尼单自由度系统的自由振动第一章：单自由度系统的振动有阻尼单自由度系统的自由振动阻尼：阻碍物体运动，消耗系统能量的各种因素统称为阻尼。阻尼的机理十分复杂，只靠物理学上的、力学上的定理是不能得到实际系统的阻尼的。因此，阻尼往往通过实验来确定。阻尼既有有用的一面也有有害的一面：有用的一面：消耗系统振动能量，减小振动幅值，增加系统的稳定性有害的一面：增加运动阻力，降低运动速度mkcoukucumumucuku牛顿第二定律：0mucuku自由运动方程：1.自由运动微分方程的建立有阻尼单自由度系统的自由振动0mucuku()stutue0ckuuummdef阻尼比临界阻尼系数特征方程2220nnss引入代入2特征根ccC2ncm2cmk220nnuuu21,21nns特征根有阻尼单自由度系统的自由振动22(1)(1)12()nnttutaeae(1)过阻尼情况(1)特征方程有一对互异实根，故通解为：21,21nns211ns221ns有阻尼单自由度系统的自由振动0.00.51.01.52.00.0000.0050.0100.0150.020m=10kg,k=1000N/mu0=0.02m,du(0)/dt=0m/su,mt,s=1.05=1.3=1.5图质量块对初始位移的过阻尼响应结论：过阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。有阻尼单自由度系统的自由振动(2)临界阻尼情况(1)12()()ntutaate特征方程有一对相等实根，故通解：21,21nns11,2ns有阻尼单自由度系统的自由振动图质量块对初始条件的临界阻尼响应结论：临界阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。0.00.51.01.52.0-0.02-0.010.000.010.02m=10kg,k=1000N/m,c=200Ns/mu,mt,su0=0.02m,du(0)/dt=0.0m/su0=0.02m,du(0)/dt=-0.5m/su0=0.02m,du(0)/dt=-1.0m/s有阻尼单自由度系统的自由振动(3)欠阻尼情况(01)00(0)(0)uuuu应用初始条件12()(cossin)ntdduteatat得到通解21,21nns21,21nnsi0121dn(阻尼振动频率)000()cossinntnddduuuteutt()sin()ntdutaet或：欠阻尼系统的自由振动响应有阻尼单自由度系统的自由振动①振幅按指数规律衰减；ntae③自由振动具有等时性，即相邻两个正（负）峰值之间的时间间隔均为:TTddefdnn221122阻尼振动周期②自由振动为非周期振动；自由振动曲线(欠阻尼)01234-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.100.150.20n=10rad/s,=4%u0=0.0m,du(0)/dt=2.0m/su,mt,s1u2u3u4u5u1t2t3t4t5tdTntaentae3.欠阻尼振动特性：()sin()ntdutaet有阻尼单自由度系统的自由振动④引入对数衰减率来描述振动衰减的快慢01234-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.100.150.20n=10rad/s,=4%u0=0.0m,du(0)/dt=2.0m/su,mt,s1u2u3u4u5u1t2t3t4t5tdTntaentae相邻的两次振动振幅之比的自然对数叫作对数衰减率。()1lnlnninidtitTiuaeuae2当系统阻尼比较小时，有：ndT221有阻尼单自由度系统的自由振动简谐激励下无阻尼系统的受迫振动简谐激励下有阻尼系统的受迫振动•从数学的角度理解共振现象•会求单自由度有阻尼系统的受迫振动响应•会根据幅频特性曲线计算系统的阻尼比•掌握单自由度有阻尼系统的受迫振动的特征第一章：单自由度系统的振动简谐激励下无阻尼系统的受迫振动受迫振动:()()()()mutcutkutft受迫振动方程：系统在持续的外界控制的激励的作用下所发生的振动。激励受外界控制，与振动系统本身无关自激振动方程（颤振）：()()()((),(),())mutcutkutfututut激励受系统控制，受振动系统的运动控制自激振动:系统在自身控制的激励的作用下所发生的振动。km0sinft0()()sinmutkutft受迫振动方程：()()sinututfmtn20非齐次通解齐次通解非齐次特解=＋12()cossinnnutatat齐次方程通解：简谐激励下无阻尼系统的受迫振动理解共振现象的数学本质n1.如果*01222()()()cossinsin()nnnfutututatattm非齐次方程通解：由初始条件和外力引起的自由振动部分与外激励频率相同的受迫振动部分()()sinututfmtn20特解：*12()sincosutCtCt0122()nfCm待定常数：20C简谐激励下无阻尼系统的受迫振动n2.如果特解：*0()cos2nnfutttm*12()(cossin)nnuttCtCt特解的形式：非齐次方程通解：*012()()()cossincos2nnnnfutututatatttm()()sinututfmtn20012nfCm待定常数：20C简谐激励下无阻尼系统的受迫振动012345-0