3.2立体几何中的向量方法(平行和垂直)

3.2立体几何中的向量方法（一）OPOPOPP空间中，取一定点作为基点，空间中任意一点的位置就可以用向量来表示。向量称为点的位置向量。OP一、点的位置向量aAP二、直线的方向向量空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A及一个定方向确定.l非零向量a叫做直线l的方向向量。直线上的非零向量也叫做直线的方向向量A如果向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，那么向量叫做平面的法向量.nnn过一定点A,以定向量为法向量的平面是唯一的.n注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量与平面平行或在平面内，则有0nmnm三、平面的法向量nlA例1：在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,求平面ABC的一个法向量.解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则，nABnAC.∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0xyzxyz即340320xyxz∴3432yxzx取4x,则(4,3,6)n∴是平面ABC的一个法向量.(4,3,6)n∵(3,4,0)AB,(3,0,2)AC(2,2,1),(4,5,3),ABACABC已知求平面的例2：单位法向量。nxyz解：设平面的法向量为（，，），(2,2,1)0(4,5,3)0nABnACxyzxyz则，（，，）（，，）220,4530xyzxyz即1121xzy取，得1(,1,1),2n322||-233ABCnnn或是平面的单，位法向量122(-333ABC平面的单位法向量为，，）求平面的法向量的步骤：),,()1(zyxn设出平面的法向量为111222(2)(,,),(,,)aabcbabc找出平面内的两个的向量的坐标不共线00,,)3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.用向量方法解决立体几何问题即利用向量来证明线线、线面的平行与垂直；利用向量来求线线角、线面角、二面角等lmab//lm//abab1.线线平行要证线线平行，只需证两个方向向量平行。lua//l0auau2.线面平行要证线面平行，只需证方向向量与法向量垂直。uv////uvuv3.面面平行要证面面平行，只需证两个法向量平行。lamblm0abab1.线线垂直要证线线垂直，只需证两个方向向量垂直。ul//auaula2.线面垂直要证线面垂直，只需证方向向量与法向量平行。uv0uvuv3.面面垂直要证面面垂直，只需证两个法向量垂直。巩固性训练11.设分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.ba,)3,0,0(),1,0,0()3()2,3,2(),2,2,1()2()6,3,6(),2,1,2()1(bababa平行垂直平行巩固性训练21.设分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系.vu,)4,1,3(),5,3,2()3()4,4,2(),2,2,1()2()4,4,6(),5,2,2()1(vuvuvu垂直平行相交巩固性训练31、设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若则k=；若则k=。2、已知且的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m=.3、若的方向向量为(2,1,m),平面的法向量为(1,1/2,2）且，则m=.////llll4-5-84练习1.在正方体1111ABCDABCD中，求证：1DB是平面1ACD的一个法向量.证明：设正方体棱长为1，以1,,DADCDD为单位正交基底，建立如图所示空间坐标系xyzD1(1,1,1)DB，(1,1,0)AC，1(1,0,1)AD10DBAC，所以1DBAC,同理11DBAD又因为1ADACA所以1DB平面ACD,从而1DB是平面1ACD的一个法向量.