平衡二叉树的生成过程

二叉排序树变成平衡二叉树对于二叉查找树，尽管查找、插入及删除操作的平均运行时间为O(logn)，但是它们的最差运行时间都是O(n),原因在于对树的形状没有限制。平衡二叉树又称为AVL树，它或者是一棵空树，或者是有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左右子树的深度之差的绝对值不超过1。二叉树的的平衡因子BF为：该结点的左子树的深度减去它的右子树的深度，则平衡二叉树的所有结点的平衡因子为只可能是：-1、0和1一棵好的平衡二叉树的特征：（1）保证有n个结点的树的高度为O(logn)（2）容易维护，也就是说，在做数据项的插入或删除操作时，为平衡树所做的一些辅助操作时间开销为O(1)一、平衡二叉树的构造在一棵二叉查找树中插入结点后，调整其为平衡二叉树。若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树1.调整方法（1）插入点位置必须满足二叉查找树的性质，即任意一棵子树的左结点都小于根结点，右结点大于根结点（2）找出插入结点后不平衡的最小二叉树进行调整，如果是整个树不平衡，才进行整个树的调整。2.调整方式（1）LL型LL型：插入位置为左子树的左结点，进行向右旋转(LL表示的是在做子树的左结点进行插入)由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1变为2，成为不平衡的最小二叉树根结点。此时A结点顺时针右旋转，旋转过程中遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为B结点的右子树，D结点成为A结点的左孩子。（2）RR型RR型：插入位置为右子树的右孩子，进行向左旋转由于在A的右子树C的右子树插入了结点F，A的平衡因子由-1变为-2，成为不平衡的最小二叉树根结点。此时，A结点逆时针左旋转，遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为C的左子树，D结点成为A的右子树。（3）LR型LR型：插入位置为左子树的右孩子，要进行两次旋转，先左旋转，再右旋转；第一次最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在的子树，调整后的树变成LL型树，第二次再调整最小不平衡子树(根据LL型的调整规则，调整为平衡二叉树)。由于在A的左子树B的右子树上插入了结点F，A的平衡因子由1变为了2，成为不平衡的最小二叉树根结点。第一次旋转A结点不动，先将B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。（4）RL型RL型：插入位置为右子树的左孩子，进行两次调整，先右旋转调整为RR型，再左旋转，从RR型调整到平衡二叉树；处理情况与LR类似。总结：RR型和LL型插入导致的树失去平衡，只需要做一次旋转调整即可。而RL型和LR型插入导致的结点失去平衡，要调整两次。对于RL/LR的调整策略是：第一次调整，最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在的子树(这个子树是指最小不平衡结点的一颗子树，且这棵子树是插入结点的子树)为RR型或者LL型，第二次再调整最小不平衡子树(调整策略要么是RR型要么是LL型)。#includeiostream#includefstream#includemalloc.husingnamespacestd;#defineLH1//左高#defineEH0//等高#defineRH-1//右高structTreeNode{intm_nValue;intBF;//平衡因子TreeNode*lchild;TreeNode*rchild;};classAVLTree{public:AVLTree(){};~AVLTree(){};voidCreateTree(TreeNode*&root,intdata);//创建AVLvoidPreTraver(TreeNode*root);//先序遍历voidRR_Rotate(TreeNode*&r);//右旋转处理intGetHeight(TreeNode*root);//获得树的高度intGetBF(TreeNode*root);//获得树的平衡因子voidLL_Rotate(TreeNode*&r);//左旋转处理voidRL_Rotate(TreeNode*&r);//双旋处理，先右旋转，再左旋转voidLR_Rotate(TreeNode*&r);//双旋处理，先左旋转，再右旋转voidLeftBalance(TreeNode*&T);//左平衡处理voidRightBalance(TreeNode*&T);//右平衡处理};intMax(inta,intb){if(ab)returna;elsereturnb;}intAVLTree::GetHeight(TreeNode*root){intlen;if(root==NULL)len=0;else{len=Max(GetHeight(root-lchild),GetHeight(root-rchild))+1;}returnlen;}intAVLTree::GetBF(TreeNode*root){intbf;//平衡因子bf=GetHeight(root-lchild)-GetHeight(root-rchild);returnbf;}voidAVLTree::CreateTree(TreeNode*&root,intdata){if(root==NULL){root=(TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));root-m_nValue=data;root-lchild=NULL;root-rchild=NULL;//root-BF=GetBF(root);root-BF=EH;//初始叶子结点的平衡因子为等高}elseif(dataroot-m_nValue){CreateTree(root-lchild,data);switch(root-BF)//检查root的平衡度{caseLH://原来树root的左子树比右子树高，现在左子树更高LeftBalance(root);//对树进行左平衡处理break;caseEH://原来树root的左右子树等高，现在左子树高root-BF=LH;//root的平衡因子由0变为1break;caseRH://原来树root的右子树比左子树高，现在左右子树等高root-BF=EH;}}elseif(dataroot-m_nValue){CreateTree(root-rchild,data);switch(root-BF){caseLH:root-BF=EH;//原来树root的左子树比右子树高，现在root的左右子树等高break;caseEH://原来树root的左右子树等高，现在root的右子树更高root-BF=RH;break;caseRH://原来右子树比左子树高，现在root右子树高RightBalance(root);//对树root作右平衡处理}}}voidAVLTree::PreTraver(TreeNode*root){if(root){cout.width(3);coutroot-m_nValue;}if(root-lchild)PreTraver(root-lchild);if(root-rchild)PreTraver(root-rchild);}voidAVLTree::LL_Rotate(TreeNode*&r)//插入位置为右子树右孩子，要进行左旋转{TreeNode*p;p=r-rchild;//p指向r的右孩子结点r-rchild=p-lchild;//r结点左旋转成为p的左子树，p原来的左子树成为r的右子树p-lchild=r;//r成为p的左孩子r=p;}voidAVLTree::RR_Rotate(TreeNode*&r)//插入位置为左子树左孩子，进行右旋转{TreeNode*p;p=r-lchild;r-lchild=p-rchild;p-rchild=r;r=p;}voidAVLTree::RL_Rotate(TreeNode*&r)//插入位置为右子树左孩子，先进行右旋转，再进行左旋转{TreeNode*p;p=r-rchild;RR_Rotate(p);//最小失衡树的根结点的右子树根结点进行右旋转r-rchild=p;//更新最小失衡树根结点的右孩子LL_Rotate(r);//最小失衡树的根结点进行左旋转}voidAVLTree::LR_Rotate(TreeNode*&r)//插入位置为左子树右孩子，先进行左旋转，再进行右旋转{TreeNode*p;p=r-lchild;LL_Rotate(p);//最小失衡树根结点的左子树根结点进行左旋转r-lchild=p;//更新最小失衡树根结点的左孩子RR_Rotate(r);//最小失衡树根结点进行右旋转}voidAVLTree::LeftBalance(TreeNode*&T)//左平衡处理{//初始条件：原来平衡的二叉排序树T的左子树比右子树高(T-bf=1)//又在左子树中插入了结点，并导致左子树更高，破坏了树T的平衡性//操作结果：对不平衡的树T作左平衡旋转处理，使树T的重心右移实现新的平衡TreeNode*lc,*rd;lc=T-lchild;//lc指向T的左孩子结点switch(lc-BF)//检查T左子树的平衡因子{caseLH://新结点插入在T的左孩子的左子树上，导致左子树的平衡因子为左高，进行右旋转处理T-BF=lc-BF=EH;//旋转后，原根结点和左孩子结点平衡因子都为0RR_Rotate(T);//右旋转处理break;caseRH://新结点插入在T的左孩子的右子树上，导致左子树的平衡因子为右高，进行LR处理rd=lc-rchild;switch(rd-BF){caseLH://新结点插入在T的左孩子的右子树的左子树上T-BF=RH;//旋转后，原根结点的平衡因子为右高lc-BF=EH;//旋转后，原根结点的左孩子结点平衡因子为等高break;caseEH://新结点插入到T的左孩子的右孩子（叶子）T-BF=lc-BF=EH;//旋转后，原根和左孩子结点的平衡因子都为等高break;caseRH://新结点插入在T的左孩子的右子树的右子树上T-BF=EH;//旋转后，原根结点的平衡因子为等高lc-BF=LH;//旋转后，原根结点的左孩子结点平衡因子为左高}rd-BF=EH;//旋转后的新结点的平衡因子为等高//双旋转处理LL_Rotate(T-lchild);//对T的左子树左旋转处理RR_Rotate(T);//对T作右旋转处理}}voidAVLTree::RightBalance(TreeNode*&T)//右平衡处理{//初始条件：原来平衡二叉排序树T的右子树比左子树高，又在右子树中插入结点，导致右子树更高//操作结果：对不平衡的树T作右平衡旋转处理TreeNode*rc,*ld;rc=T-rchild;switch(rc-BF){caseRH://新结点插入在T的右孩子的右子树上，导致右子平衡因子为右高,进行左旋转处理T-BF=rc-BF=EH;//旋转后，原根结点和右孩子结点的平衡因子均为0LL_Rotate(T);break;caseLH://新结点插入在T的右孩子的左子树上，导致右子树的平衡因子为左高，进行双旋处理ld=rc-lchild;switch(ld-BF){caseRH://新结点插入在T的右孩子的左子树的右子树上T-BF=LH;//旋转后，原根结点的平衡因子为左高rc-BF=EH;//旋转后，原根结点的右孩子结点平衡因子为等高break;caseEH://新结点插入到T的右孩子的左孩子（