第8讲复振幅分布角谱理论与菲涅耳衍射

陈世华[e-mail]2011-8-29DepartmentofPhysicsSoutheastUniversity第二章标量衍射的角谱理论2.2复振幅分布的角谱及角谱的传播2.3标量衍射的角谱理论复振幅分布的角谱,,,,,,exp2xyxyUxyzAffzUxyzjxfyfdxxdyy对复振幅在平面上作傅立叶变换，得,,x,,(angularspectrum)yyAffzUyz则称为复振幅分布的角谱。不同传播方则可以看作的平向面波的叠加。,,,,exp2xyxyxyUxyzAffzjxfyfdfdf相应地，coscos,coscoscoscos,,,,e2,xpxyffAzUxyzjxydxdy由于则上式还可以写为显然，空间频谱与平面波传播方向的角度有关系，故称之为角谱。平面波角谱的传播根据上面的分析，我们有下面两式:0coscoscoscos,,0,,0exp2coscos0UxyAxyddzj处：coscoscoscos,,,,exp2coscosUxyzAzjxydzzd处：coscoscoscos,,,,0AzA：找出与我们的其初始值之目的间的关系。复振幅分布及其传播示意图如下：数学推导22,,0HelmholtzkUxyz我们知道，平面波的复振幅必须满足即方程，22222,,1coscos0UxyzdAkAdz代入的表达式，化简得22coscoscoscos,,,exp1coscosAzCjkz求解，可得coscoscoscos,0,0,ACz当时，有22coscoscoscos,,,,0exp1coscosAzAjkz因此，我们有此即平面波角谱的传播。222coscos1cos1一般上，根据方向余弦条件，知。22coscos1evanescentwave但是，也是可能的，只不过此时的光波损耗大，传播不远，易故常称为（逝波）。22coscoscoscos,,,,0exp1coscosAzAjkz角谱的传播：0,,,xyxyxyAffAffHff把上式改写为熟悉的形式（线性不变系统）：222022coscos,,,coscos,,,0exp1,,01xyxyxyyyxxAffAzAffAjfkzffffHf当其他情形中：式22222exp1,,01xyxyxyjkzffHffff传递函数的表达式有当其他情形两层含义：1（1）在标量衍射近似条件下，我们可忽略易逝波。（2）只能传递频率小于，或者物体细度大于的信息。普通光学材料制作的相机因此，是不能拍摄小于的物体的。metamaterials但是，最近出现的将会颠覆这一传统概念，由于其能收集易逝波，因此由其制作的相机将能拍摄小于的物负折射率材料（超级体俗称（）透镜）。0z如右图所示，在处有一个无穷大的不透明屏，其上开一孔，则该孔的透射系数为衍射孔径对角谱的作用,,0,,,0itUxyUxy已知沿z传播的光波，在小孔的复振幅分布为则紧靠小孔前端面后端面的复振幅为1,,0,txyxy位于内其他情况，,,0,,0,tiUxyUxytxy两边做傅立叶变换，得衍射由于的性质，因此入射光波经小孔后会发生效应，产生额外的光频分量。（不同的传播方卷积运算具有展宽频向对应不同谱的频谱）coscoscoscoscoscos,,,tiAATcoscos,T式中为孔径函数的傅立叶变换。标量衍射理论的背景知识167818181882（1）经典的标量衍射理论最初由于年提出。年引入干涉的概念补充了惠更斯原理；年采用球面波来求解波动方程，导出了严惠更斯菲涅耳基尔霍夫标量衍格的射公式。（2）衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点的复振幅能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。—（3）提出的子波干涉原理与求解波动方程所得的结果一致，都可以表示惠更斯菲成类似的涅尔基尔霍夫衍射公式。基尔霍夫衍射公式0jkreUPCUPKdsr基尔霍夫衍射公式：cos,cos,1;2jCKCK复常数和倾斜因子由下面两式给出：nrnr0UPPP式中，为衍射孔径内的复振幅分布，为点光源，为孔径后面的任一观察点。0P（为指向点的径矢为面的法方向）、，线rrn基尔霍夫衍射公式的化简首先，孔径阴影部分的场分布为0，因此可以把积分区间扩展至无穷，即01jjkrUPUPKedsrcos,cos1,Knr其次，化简倾斜因子。由于点光源非常远，我们有cos,cos011112nrK同样，若观察点也离孔径较远（远大于孔径大小），此时因此基尔霍夫衍射公式的化简（续）22200220011122rzxxyyxxyyzzz0002200001,exp,exp2UxyjkzUxyjzkjxxyydxdyz利用上面的公式，我们最后得(此形菲涅耳衍式称射公式又)000,,,PPxyxy然后，设的坐标为点的坐标为，我们有平面波角谱的衍射理论（思路）本书重点是从频域上（即平面波角谱方法）来讨论（1）衍射问题。000,,0,Uxy前面已经讨论过频域的角谱传播问题，在由已知平面上的光场分布可通过傅里叶变换得到其（角谱2）0000000,,0,,0exp2xyxyAffUxyjxfyfdxdy zz其后，可以求出它传播到平面上的（角谱3）000, ,0Uxy最后，通过傅里叶逆变换进而得到用已知的表示的衍射光场分布，从而得到空域中的衍（4）射公式。2222,,,,0exp1xyxyxyAffzAffjkzff平面波角谱的衍射理论（基本公式）,,exp2,,xyxyyxUxyzjxfyAfffzdfdf根据上面的思路，我们有222200000002,,,,0exp1exp2xyxyxyzUxyzUxyjffjfxxfyydfdfdxdy返回到空域上，最终的表达式为222202(,,0)exp1exp2xxyyxxyyjfxAffydfjzfffdf此即平面波角谱衍射理论的基本公式。平面波角谱的衍射理论（应用）尽管推导出了平面波角谱衍射理论的基本公式，但是，依然不方便应用，还需要进一步化简。近场菲涅耳衍射区（）和夫琅和费衍射化简区的准则：（远场）菲涅耳衍射区（菲涅耳衍射公式）22220max0maxmaxmaxzxyzxy在菲涅耳衍射区，我们通常菲涅耳有(及衍射条件)00cos1,cos1xyxxyyffzz这样，假定孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度，并且只对轴附近的一个小区域内即进行观察。22222221112xyxyffff因此，做泰勒二次展开，推得220000000,,exp(),,0expexp2xyxyxyUxyzjkzUxyjzffjfxxfyydfdfdxdy基本代入平面波角谱衍射理式论中，化简得公2222expexp21expxyxyxyjzffjfxfydfdfjxyjzz另外，利用的傅里叶变换及高斯函数相似性定理有000220000exp,,,,0expjkzUxyzUxyjzjxxyydxdyz基本公式菲涅耳衍射公所以，最终化简为(此即为式形式)222222118xyzff菲涅耳衍射公式成立的条件为菲涅耳衍射公式成立条件222002221()()18zxxyyzz因此，我们有23222220001max0222200maxm1ax()()()()()44zxxyyLLLxyxyL推得式中、分别表示孔径和观察屏的最大线度。菲涅耳近似这种近似称为或近轴近似。逆水行舟用力撑,一篙松劲退千寻;古云此日足可惜,吾辈更应惜秒阴。董比武作业：2.1、2.2、2.3Thankyou!