空间几何体的结构及练习题

§1－2空间几何体的结构【知识要点】1．简单空间几何体的基本概念：(1)(2)特殊的四棱柱：(3)其他空间几何体的基本概念：几何体基本概念正棱锥底面是正多面形，并且顶点在底面的射影是底面的中心正棱台正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是正棱台圆柱以矩形的一边所在的直线为轴，将矩形旋转一周形成的曲面围成的几何体圆锥以直角三角形的一边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周形成的曲面围成的几何体圆台以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周形成的曲面围成的几何体球面半圆以它的直径为轴旋转，旋转而成的曲面球球面所围成的几何体2．简单空间几何体的基本性质：几何体性质补充说明棱柱(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形(1)直棱柱的侧棱长与高相等，侧面及对角面都是矩形(2)长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和正棱锥(1)侧棱都相等，侧面是全等的等腰三角形(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形球(1)球心和球的截面圆心的连线垂直于截面(2)球心到截面的距离d，球的半径R，截面圆的半径r满足22dRr(1)过球心的截面叫球的大圆，不过球心的截面叫球的小圆(2)在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度(两点的球面距离)3．简单几何体的三视图与直观图：(1)平行投影：①概念：如图，已知图形F，直线l与平面相交，过F上任意一点M作直线MM1平行于l，交平面于点M1，则点M1叫做点M在平面内关于直线l的平行投影．如果图形F上的所有点在平面内关于直线l的平行投影构成图形F1，则F1叫图形F在内关于直线l的平行投影．平面叫投射面，直线l叫投射线．②平行投影的性质：性质1．直线或线段的平行投影仍是直线或线段；性质2．平行直线的平行投影是平行或重合的直线；性质3．平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；性质4．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；性质5．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．(2)直观图：斜二侧画法画简单空间图形的直观图．(3)三视图：①正投影：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，这样的平行投影叫做正投影．②三视图：选取三个两两垂直的平面作为投射面．若投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图；若投射面放置在正前方，叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，投射到这个平面内的图形叫做左视图．将空间图形向这三个平面做正投影，然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面内，这样构成的图形叫空间图形的三视图．③画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．4．简单几何体的表面积与体积：(1)柱体、锥体、台体和球的表面积：①S直棱柱侧面积＝ch，其中c为底面多边形的周长，h为直棱柱的高．②chS21正棱锥形面积，其中c为底面多边形的周长，h＇为正棱锥的斜高．③hccS)(21正棱台侧面积，其中c＇，c分别是棱台的上、下底面周长，h＇为正棱台的斜高．④S圆柱侧面积＝2Rh，其中R是圆柱的底面半径，h是圆柱的高．⑤S圆锥侧面积＝Rl，其中R是圆锥的底面半径，l是圆锥的母线长．⑥S球＝4R2，其中R是球的半径．(2)柱体、锥体、台体和球的体积：①V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．②ShV31锥体，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．③)(31SSSShV台体，其中S＇，S分别是台体的上、下底面的面积，h为台体的高．④3π34RV球，其中R是球的半径．【复习要求】1．了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；2．会画出简单几何体的三视图，会用斜二侧法画简单空间图形的直观图；3．理解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式．【例题分析】例1如图，正三棱锥P－ABC的底面边长为a，侧棱长为b．(Ⅰ)证明：PA⊥BC；(Ⅱ)求三棱锥P－ABC的表面积；(Ⅲ)求三棱锥P－ABC的体积．【分析】对于(Ⅰ)只要证明BC(PA)垂直于经过PA(BC)的平面即可；对于(Ⅱ)则要根据正三棱锥的基本性质进行求解．证明：(Ⅰ)取BC中点D，连接AD，PD．∵P－ABC是正三棱锥，∴△ABC是正三角形，三个侧面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形．∵D是BC的中点，∴BC⊥AD，且BC⊥PD，∴BC⊥平面PAD，∴PA⊥BC．(Ⅱ)解：在Rt△PBD中，,4212222abBDPBPD∴.442122abaPDBCSPBC∵三个侧面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形，∴三棱锥P－ABC的侧面积是.44322aba∴△ABC是边长为a的正三角形，∴三棱锥P－ABC的底面积是,432a∴三棱锥P－ABC的表面积为)312(434434322222abaaabaa(Ⅲ)解：过点P作PO⊥平面ABC于点O，则点O是正△ABC的中心，∴,63233131aaADOD在Rt△POD中，,3332222abODPDPO∴三棱锥P－ABC的体积为.3123334331222222abaaba【评述】1、解决此问题要求同学们熟悉正棱锥中的几个直角三角形，如本题中的Rt△POD，其中含有棱锥的高PO；如Rt△PBD，其中含有侧面三角形的高PD，即正棱锥的斜高；如果连接OC，则在Rt△POC中含有侧棱．熟练运用这几个直角三角形，对解决正棱锥的有关问题很有帮助．2、正n(n＝3，4，6)边形中的相关数据：正三角形正方形正六边形边长aaa对角线长a2长：2a；短：a3边心距a632aa23面积243aa22233a外接圆半径a33a22a例2如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC的中点．(Ⅰ)求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)求证：AB1∥平面BEC1．【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考．证明：(Ⅰ)∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴BE⊥AA1．∵△ABC是正三角形，E是AC的中点，∴BE⊥AC，∴BE⊥平面ACC1A1，又BE平面BEC1，∴平面BEC1⊥平面ACC1A1．(Ⅱ)证明：连接B1C，设BC1∩B1C＝D．∵BCC1B1是矩形，D是B1C的中点，∴DE∥AB1．又DE平面BEC1，AB1平面BEC1，∴AB1∥平面BEC1．例3在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，542DCAB．(Ⅰ)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；(Ⅱ)求四棱锥P－ABCD的体积．【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M是PC上的动点分析知，MB，MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD内“不动”的直线BD是否垂直平面PAD．证明：(Ⅰ)在△ABD中，由于AD＝4，BD＝8，54AB，所以AD2＋BD2＝AB2．故AD⊥BD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，又BD平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD．(Ⅱ)解：过P作PO⊥AD交AD于O，由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．因此PO为四棱锥P－ABCD的高，又△PAD是边长为4的等边三角形．因此.32423PO在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为5585484，即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为.2455825452S故.316322431ABCDPV例4如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的主视图和左视图在下面画出(单位：cm)(Ⅰ)画出该多面体的俯视图；(Ⅱ)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(Ⅲ)在所给直观图中连结BC＇，证明：BC＇∥平面EFG．【分析】画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”，根据此原则及相关数据可以画出三视图．证明：(Ⅰ)该几何体三视图如下图：(Ⅱ)所求多面体体积).cm(32842)2221(316442正三棱锥长方体VVV(Ⅲ)证明：在长方体ABCD－A'B'C'D'中，连结AD'，则AD'∥BC'．因为E，G分别为AA'，A'D'中点，所以AD'∥EG，从而EG∥BC'．又BC'平面EFG，所以BC'∥平面EFG．例5有两个相同的直三棱柱，底面三角形的三边长分别是3a，4a，5a，高为a2，其中a＞0．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的一个是四棱柱，求a的取值范围．解：直三棱柱ABC－A1B1C1的三个侧面的面积分别是6，8，10，底面积是6a2，因此每个三棱柱的表面积均是2×6a2＋6＋8＋10＝12a2＋24．情形①：将两个直三棱柱的底面重合拼在一起，只能拼成三棱柱，其表面积为：2×(12a2＋24)－2×6a2＝12a2＋48．情形②：将两个直三棱柱的侧面ABB1A1重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面积一定是：2×(12a2＋24)－2×8＝24a2＋32．情形③：将两个直三棱柱的侧面ACC1A1重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面积一定是：2×(12a2＋24)－2×6＝24a2＋36．情形④：将两个直三棱柱的侧面BCC1B1重合拼在一起，只能拼成四棱柱，其表面积为：2×(12a2＋24)－2×10＝24a2＋28在以上四种情形中，②、③的结果都比④大，所以表面积最小的情形只能在①、④中产生．依题意“表面积最小的一个是四棱柱”，得24a2＋28＜12a2＋48，解得,352a所以a的取值范围是)315,0(例6在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求三棱锥F－A1ED1的体积．【分析】计算三棱锥F－A1ED1的体积时，需要确定锥体的高，即点F到平面A1ED1的距离，直接求解比较困难．利用等积的方法，调换顶点与底面的方式，如1111EFDAEDAFVV，也不易计算，因此可以考虑使用等价转化的方法求解．解法1：取AB中点G，连接FG，EG，A1G．∵GF∥AD∥A1D1，∴GF∥平面A1ED1，∴F到平面A1ED1的距离等于点G到平面A1ED1的距离．∴.8183313132111111111aaaDASVVVEGAEGADEDAGEDAF解法2：取CC1中点H，连接FA1，FD1，FH，FC1，D1H，并记FC1∩D1H＝K．∵A1D1∥EH，A1D1＝EH，∴A1，D1，H，E四点共面．∵A1D1⊥平面C1CDD1，∴FC⊥A1D1．又由平面几何知识可得FC1⊥D1H，∴FC⊥平面A1D1HE．∴FK的长度是点F到平面A1D1HE(A1ED1)的距离．容易求得.811053453131,1053321111aaaFKSVaFKEDAEDAF练习1－2一、选择题：1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为()(A)2(B)4(C)8(D)162．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()(A)9(B)10(C)11(D)123．有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4cm，高为12cm．现要为100个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计)．如果所用涂料每0.5kg可以涂1m2，那么为这批笔筒涂