空间解析几何及多元微分学练习题参考答案

空间解析几何和多元微分学练习题参考答案1．若kjia863，2b，则与a，x轴均垂直的向量b56,58,0。2．以点A)0,0,2(，B)0,3,0(，C)6,0,0(，D)8,3,2(为顶点的四面体的体积V=14。3．曲线4)2(4)2(2222yxzx在yoz面上的投影曲线方程为：044422xyz，投影柱面方程为：44422yz。4．xoz面上的曲线19422zx分别绕x轴和z轴旋转所成旋转曲面方程为：1994222zyx，1944222zyx。5．求两平面0622:1zyx，0884:2zyx所成二面角的角平分面方程。解：法一，设),,(zyxP为所求平面上任意一点，则由题意有：2222228)1(4884)2(21622zyxzyx消去绝对值得)884()6222(3zyxzy即026147010257zyxzyx和法二，所求平面过两平面1与2的交线，故可设其方程为：0)622(884zyxzyx在该平面上任取一点，如令4430zyx可得，然后由点)443,0,0(到两平面的距离相等可解得3，从而得到所求平面方程。6．设有直线L1和L2的方程分别为：L1：891202zyx，L2：1242611zyx（1）证明L1与L2异面；（2）求两直线之间的距离；（3）求与两直线距离相等的平面方程；（4）求与两直线都垂直相交的直线方程。解：直线L1，L2上分别有定点P1（-2，2，-9），P2（1，-6，-4），其方向向量分别为8,1,01s，12,2,12s（1）由于0815831221810)(2121PPss，所以两直线异面。（2）由于kjikjiss84122181021故过2L与1L平行的平面方程为04884zyx则两直线的距离转化为求点P1到该平面的距离：91)8(448)9(128)2(4222d另解：公垂线的方向向量kjissl8421，kjiPP58321，则99811Pr2121PPnnPPjdn（3）由题意，所求平面过线段21PP的中点)213,2,21(P，其法向量为kjiss8421，故所求平面方程为：021584zyx。（4）设公垂线为L，其方向向量kjisss8421，则：1LL与相交所成平面1的法向量kjikjiss432651848101，1的方程为03043265zyx，1与2L的交点（即公垂线与2L的交点）)8,4.2(Q2LL与相交所成平面2的法向量kjikjiss16479818412212，2的方程为0120164798zyx，2与1L的交点（即公垂线与1L的交点）)7,4.2(P，所以，公垂线方程为178442zyx注：实际只需求一个交点即可，这里只是为了理解将两个交点都求出，这样亦可以得到（2）的另一解法。另解：设公垂线与两直线的交点分别为QP,，则可设uuP89,2,2，tttQ124,26,1，由于21,sPQsPQ，可得：0)8125(12)28(2)3(10)8125(8)28(1ututtutut，解得1,2tu，即)7,4.2(P，)8,4.2(Q，从而得到公垂线方程。7．设xzyu，则)1,1,3(dudzdy33，)1,1,3(gradukj33。8．yzxeu在点)2,0,2(0M沿2,2,1l的方向导数0Mlu3。9．曲面22yxz上垂直于直线2212zyzx的切平面方程是222zyx。10．曲面2xyz的切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为9。11．过直线120zyxzyx且与曲面1222zyx相切的平面方程为：144,122zyxzyx。12．函数zyxxyzyxzyxf62332),,(222在点)1,1,1(M处方向导数的最大值为53。13．设)ln,,(yyxyxefzx，求yxz2。解：xz21)1(yffexx，22xz])ln1([])ln1([)1(232221312fyxfyffyxfexx。14．设函数),(yxzz由方程0)ln(32zxyyzxz所确定，求)2,3(dz。解：方程两边取全微分有：0)(13322dzxdyydxzxyydzzdyxdzzdx则1)32)(()33()22(22yxzxydyxzxyzdxyzxyzdz，当2,3yx时，代入原方程得7z，从而dydxdz2412)2,3(。15．证明函数2cos4yyezx有无穷多个极大值但没有极小值。16．假定容器的形状为旋转抛物面（22yxz），现将长为l的细棒防入容器中，求细棒中点的最低位置。)2,2(ek为极大值点解：法一，细棒必定处在容器的某个轴截面内，故可设细棒的两端点BA,在抛物线2xy上移动；设),(211xxA，),(222xxB，则AB的中点)(21),(21222121xxxxM，于是问题转化为求)(212221xxy在条件222221221)()(lxxxx下的最小值。法二，记)(2121xxx，)(212221xxy，由222221221)()(lxxxx可解出222164xlxy（实际是得到细棒中点的轨迹方程），由0)164(322'222xxlxy得驻点)1(21,0llxx，因为最小值一定存在，所以当1l时，y在唯一驻点0x处取得最小值4)0(2ly；当1l时，4412)21(2llly，最小值为412)21(lly。法三，令AB与x轴的夹角为（不妨假定20），可推出tan21x，)cos(tan41222ly（将细棒中点轨迹换个角度来表示），17．在椭球面122222zyx上求一点，使得函数222),,(zyxzyxf沿点)1,1,1(A到点)1,0,2(B方向的方向导数具有最大值。解：法一，设所求点为),,(zyxP，函数222),,(zyxzyxf在点P的梯度为：zyxgradfP2,2,2，由于函数沿梯度的方向导数最大，故Pgradf就是AB的方向，而0,1,1AB，所以可设ABgradP，即0222zyx，又122222zyx，解得1，从而)0,21,21(P。法二，