第3章-有限元分析的数学求解原理-三大步骤

第三章有限元分析的数学求解原理1一、求解方程的方法1.直接法：解析法、半解析法、有限差分法。2.间接法：加权残值法、虚功原理、最小势能原理、变分方法。231.直接法：解析法42.直接法：逆解法53.直接法：半逆解法64.直接法：有限差分法785.间接解法：加权残值法加权残值法先假定满足一定边界条件的试函数，然后将其代入需要求解的方程中，通过使与原方程的误差残值最小来确定试函数中的待定系数，为提高求解或逼近精度，可以采用较多项数的试函数进行计算。9试函数既要满足所有边界条件，又具有较高的连续性要求，但不需要定义新的能量泛函。106.间接解法：虚功原理图表示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡方程：图表示杠杆绕支点C转动时的刚体位移图：综合可得：即：上式是以功的形式表述的。表明：图a的平衡力系在图b的位移上作功时，功的总和必须等于零。这就叫做虚功原理。abPPBAabABABBAPbPa0AABBPP11虚功原理虚功原理进一步分析。当杠杆处于平衡状态时，和这两个位移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足的关系。将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析和计算结构。对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假想，故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图a中的和所作的功就不是发生在它本身(状态a)的位移上，(因为它本身是平衡的，不存在位移)，而是在状态(b)的位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a)来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。ABAPBP12虚功原理应用范围必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。这时该约束力叫做被动力。(如图中的反力由于支点C没有位移，故所作的虚功对于零)。反之，如图中的和是在位移过程中作功的力，称为主动力。因此，在平衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。cRAPBPcR13虚功原理与虚功方程虚功原理表述如下：在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功(各力所作的功的代数和)恒对于零。虚功原理用公式表示为：这就是虚功方程，其中P和相应的代表力和虚位移。0WP14虚功原理----用于弹性体的情况虚功方程是按刚体的情况得出的，即假设图的杠杆是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程中没有内功项出现，而只有外功项。将虚功原理用于弹性变形时，总功W要包括外力功(T)和内力功(U)两部分，即：W=T-U；内力功(-U)前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。根据虚功原理，总功等于零得：T-U=0外力虚功T=内力虚功U弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功)。15虚功原理----用于弹性体的情况xxyyzzxyxyyzyzzxzxVVUdVXuYvZwdVXuYvZwdW虚应变能虚应变分量外力虚功内力虚功即应力在虚应变上做的的虚功，也称虚应变能外力虚功即作用于弹性体上的外力在虚位移上做的功由于虚位移是微小的，可认为在虚位移发生过程中外力保持为常量，则上式的变分符号可提到积分号外。0WU虚功原理的矩阵表示i点外力分量j点外力分量外力分量用表示；引起的应力分量用表示yZX0iViUiWiiwiviujUjujWjwjVjvj图1-9iiiWVU、、jjjWVU、、FzxyzxyzyxjjjiiiWVUWVUF，17虚功原理的矩阵表示假设发生了虚位移虚位移分量为用表示；引起的虚应变分量用表示yZX0iViUiWiiwiviujUjujWjwjVjvj图1-9******jjjiiiwvuwvu、、、、、****************zxyzxyzyxjjjiiiwvuwvu，18虚功原理的矩阵表示在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：式中是的转置矩阵。同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚功是：因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：根据虚功原理得到：这就是弹性变形体的虚功方程，它通过虚位移和虚应变表明外力与应力之间的关系。这是以后推导有限元方程的基础。FwWvVuUwWvVuUTjjjjjjiiiiii*******T**Tzxzxyzyzxyxyzzyyxx*******dxdydzT***TTFdxdydz19207.间接解法：最小势能原理最小势能原理0在有限元的理论中，最小势能原理是在所有满足给定边界条件的位移时，满足平衡微分方程的位移使得势能取得最小值。最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定平衡状态。或者说在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值最小势能原理：表明在满足位移边界条件的所有可能位移中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功原理完全等价。0WU11nmeiieiFu21228.间接解法：变分原理2324二、简单力学问题1.拉压杆：262.平面梁的弯曲问题27①解析法②加权残值法③虚功原理求解④最小势能原理法⑴解析法28⑵加权残值法29试函数既要满足所有边界条件，又具有较高的连续性要求，但不需要定义新的能量泛函。⑶虚功原理求解30⑷最小势能原理法31试函数只要求满足位移边界条件，对函数连续性要求相对较低。三大步骤：⑴.结构离散⑵.单元分析⑶.整体分析三、有限元法的基本流程结构离散:就是用假想的线或面将连续物体分割成有限个单元组成的集合体且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。（基本要求）注意的问题单元：满足一定几何特性和物理特性的最小结构域节点：单元与单元间的连接点节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力节点载荷：作用于节点上的外载⑴.结构离散1).选择插值（位移）函数。插值函数：用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该近似函数常由单元节点物理量值插值构成，故称为插值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。选择位移函数的一般原则位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）；所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。位移函数一般采用多项式形式，在单元内选适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解⑵.单元分析构造位移函数：如平面问题位移函数的一般形式为⑴.多项式项数越多，则逼近真实位移的精度越高，项数的多少由单元的自由度数决定。⑵.多项式选取应由低阶到高阶，尽量选择完全多项式以提高单元精度。⑶.选取多项式时，还应使所选取的多项式具有坐标的对称性，即按Pascal（帕斯卡）三角形来选择2).构造位移函数位移函数构造方法：⑴.广义坐标法：⑵.插值函数法：即将位移函数表示为各个节点位移与已知插值基函数积的和单元特性分析的基本任务就是建立单元的平衡方程，也称为刚度方程。在选择了单元类型和相应的位移函数后，即可按弹性力学的几何方程、物理方程导出单元应变与应力的表达式，最后利用虚位移原理或最小势能原理或直接法或加权残值法建立单元的平衡方程，即单元节点力与节点位移间的关系。3).单元特性分析整体分析的基本任务包括建立整体平衡方程，引入边界条件，完成整体方程求解。整体平衡方程的建立有多种方法，可基于能量原理（势能变分或虚位移原理）推导，也可基于节点力平衡得到。在引入边界条件之前，整体平衡方程是奇异的，这意味着整体方程是不可解的。方程求解包括边界条件引入和数值计算，一旦利用适当的数值方法求出未知的节点位移，则可按前述的应力应变公式计算出各个单元的应变、应力等物理量⑶.整体分析刚度由使其产生单位变形所需的外力值来量度，刚度是指零件在载荷作用下抵抗弹性变形的能力。单元的刚度矩阵：单元刚度矩阵反应的是单元节点力与单元节点位移的关系；总刚度矩阵反应的是整体的节点力与节点位移的关系；刚度矩阵将总体坐标下的节点位移与整个结构的总体力联系在一起。四、刚度矩阵单元刚度矩阵行数等于位移向量的分量个数，列数等于为位移的列向量的分量个数，由于两者相等所以单刚是个方阵。结构的总体刚度矩阵即结构的原始刚度矩阵，每1个元素的物理意义就是当其所在列对应的节点位移分量等于单位位移（其余结点位移分量为0）时，其所在行对应的节点力的数值。表示由于第j个自由度的单位位移dj在第i个自由度需要的力ijkiijFka.单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和材料性质有关。仅与单元的横截面积A、惯性矩I、单元长度l、单元的弹性模量E有关。b.单元刚度矩阵是一个对称阵。在单元刚度矩阵对角线两侧对称位置上的两个元素数值相等，即，根据是反力互等定理。c.单元刚度矩阵是一个奇异阵。d.单元刚度矩阵可以分块矩阵的形式表示。具有确定的物理意义。单元的刚度矩阵的性质整体刚度矩阵中位于主对角线上的子块，称为主子块，其余为副子块。a.中主子块由结点i的各相关单元的主子块扩展之后叠加求得，即b.当结点i、j为单元e的相关结点时，中副子块为该单元e相应的副子块，即。c.当结点i、j为非相关结点时，中副子块为零子块，即。d.仅与各单元的几何特性、材料特性，即A、I、l、E等因素有关。e.为对称方阵，f.为奇异矩阵，其逆矩阵不存在，因为建立整体刚度矩阵时没有考虑结构的边界约束条件。KiiKijKKeiiiikKKijKeijijkKKijK0ijKKKjiijKKK42整体刚度矩阵的性质g.为稀疏矩阵，整体刚度矩阵中的非零元素分布区域的宽度与结点编号有关，非零元素分布在以对角线为中心的带状区域内，称为带状分布规律，见图a。在包括对角线元素在内的区域中，每行所具有的元素个数叫做把半带宽，以d表示。最大半带宽等于相邻结点号的最大差值加1与结点自由度数的乘积，结点号差越大半带宽也就越大。计算机以半带宽方式存储，见图b。半带宽越窄，计算机的存储量就越少，而且可以大幅度减少求解方程所需的运算次数。其效果对大型结构显得尤为突出。图整体刚度矩阵存储方法h.整体刚度矩阵稀疏阵。故整体刚度矩阵不能求逆，必须作约束处理方能正确地将结点位移求出，进而求出结构的应力场。(a)带状分布规律(b)带状存储