章节6不要财富值数值分析的key版本5

答案第六章课后习题解答(1)()()123(1)()213(1)()()312(01.21125551154213351010(1,1,1),17(4.0000186,2.99999kkkkkkkkkTxxxxxxxxxxx+++ìïï=---ïïïïïï=-+íïïïïï=-++ïïïî==-(17)解：(a)因系数矩阵按行严格对角占优，故雅可比法与高斯-塞德尔均收敛。（b)雅可比法的迭代格式为取迭代到次达到精度要求(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(0)(8)15,2.0000012)21125551154213351010(1,1,1),8(4.0000186,2.9999915,2.0000012)TkkkkkkkkkTTxxxxxxxxxx++++++-ìïï=---ïïïïïï=-+íïïïïï=-++ïïïî==-高斯塞德尔法的迭代格式为x取迭代到次达到精度要求1212:00.40.4.0.400.80.40.80||(0.8)(0.80.32)()1.09282031,00.40.4()00.160.6400.0320.672DLUIBDLUllll--骣--÷ç÷ç÷ç÷ç÷=+=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷--ç÷ç桫-=-+-=-æ--çççç=-=-ççççèlJJJS解(a)雅可比法的迭代矩阵B（）BB故雅可比迭代法不收敛高斯塞德尔法迭代矩阵131()||||0.81022101220||022023002SJBDLUIBDLUll¥--ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ç÷çø?骣-÷ç÷ç÷ç÷ç÷=+=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷--ç÷ç桫-=骣-÷ç÷ç÷ç÷ç÷=-=-ç÷ç÷÷ç÷ç÷çç桫llSJJSB故高斯-塞德尔迭代法收敛。(b)雅可比法的迭代矩阵B（），（B）=0〈1故雅可比迭代法收敛。高斯-塞德尔法的迭代矩阵B（）2||2SIBlll÷-=-lS（），（B）=2〉1故高斯-塞德尔法不收敛。(1limlimlim,(0,...0,1,0,...0)(1,2,...,)(kkkTikkiiinAxa．®萎==(k)kijijKkkKKnKi3：证明必要条件：由A=A,知a=a,从而有||A-A||0（K).故对任意的x，有||Ax-Ax||||A-A||||x||0(k)即AxAx,Ax=Ax.充分条件：对任意的xR有AxAx(k),取x)()()212(),,...,)()(,,...,)(1,2,...,;1,2,...),lim.kkTiniiTiiinikjijikkkaaAxkAxaaaaajninAAAA=?=?故即14.()12(),10.84||0.296aAA====lVVVJ23解：不一定，因其谱半径B不一定小于。对习题对称，又〉0，〉0，〉0，故A正定，但其雅可比迭代法不收敛5.解答见例6-4()()()()1123(1)()(1)()()22123(1)()(1)(1)33123()1221()55511(5)42313()10510kkkkkkkkkkkkkkxxwxxxxxwxxxxxwxxx+++++ìïï=+----ïïïïïï=++--íïïïïï=+-+-ïïïî(k+1)16.解：SOR迭代格式为0(1,1,1),Tx=取初始值计算如表.K()1kx()2kx()3kx00001-2.60000003.56500001.80055002-4.02749903.14006522.02282243-4.05728142.99084812.01012194-4.00425542.99357252.00004275-3.99811932.99976121.99960136--3.99965423.00023341.99996097-4.00004243.00003142.00001228-4.00001772.99999372.0000027(8)(7)4(8)||||0.00037710,(4.0000177,2.9999937,2.0000027).Txxx-¥-==-因故取||1|1()|120()22,0,||1,()1,.()wAwAwwBAmllmbl-l由〈，得故当0〈时更有从而有迭代格式收敛22323218.:1,21det10,det()(1)(12)01.000det()32()(2)(JJJaaaAaaaAaaBaaaaaaIBaaaaaaaaBllllllll-骣÷ç÷ç=-=-+÷ç÷ç÷ç桫骣--÷ç÷ç÷ç÷ç÷=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷--ç÷ç桫骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷-==-+=-+ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç桫l证明当时由故是正定的又雅可比法迭代矩阵故1111)|2|,,.229.:01,1,,()0,00iiriiinnnraaGJPGJJnnaJxGxgxgGll==´=-骣÷骣ç÷ç÷ç÷÷çç÷÷çç÷÷ç÷ç=÷ç÷ç÷÷çç÷÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç桫÷÷ç桫=+==åOO-1故当时雅可比迭代法收敛证明相似与它的若当标准行J,即存在可逆阵P,使G=P由于的特征值全为零,故J一定有如下形式J=方程组等价于(I-G)由于故***(1)*()*()*(0)*1()*()*()10,.()()0,,0(1,2,...,),.kknnnnnnGxgxxGxgxxGxxxxGxxGPJPxxoxxninASORl+-=?==+-=--=-==-==?ii(I-G)=12-从而I-G非奇异,即(I-G)有唯一解于是与所述迭代格式相减,有故又故即因此至多迭代次即可收敛到方程组的解.10.证明:因A严格对角占优,故a且非奇异法1()((1)),,,1,()1.)01[()((1))]}01det[(1(1))=--+=----?³=---+=?---l-1-1的迭代矩阵其中而分别为的对角,严格下三角与严格上三角.只需证明0时即可用反证法:设有一个特征值满足||1,则有det(I-从而有det{(D-L)det{(D-wL)1111]0det()0111,11|||11|[11|||||||||01)0jininiijjiwADwLwCwwUwC¹--==+=-?=--=--?-??９=邋?iiiiiiijijijj=1因对严格对角占优，哥另（（））D-L-则（）||a（）]|a|a|a|a|a这表明在〈时也严格对角占优，故detC0.这与det(I-矛盾，故假设不成立，从而||1wLll〈，即（）〈1，SOR迭代法收敛(1)()()123(1)()213(1)()()312(01.21125551154213351010(1,1,1),17(4.0000186,2.99999kkkkkkkkkTxxxxxxxxxxx+++ìïï=---ïïïïïï=-+íïïïïï=-++ïïïî==-(17)解：(a)因系数矩阵按行严格对角占优，故雅可比法与高斯-塞德尔均收敛。（b)雅可比法的迭代格式为取迭代到次达到精度要求(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(0)(8)15,2.0000012)21125551154213351010(1,1,1),8(4.0000186,2.9999915,2.0000012)2:TkkkkkkkkkTTxxxxxxxxxx++++++-ìïï=---ïïïïïï=-+íïïïïï=-++ïïïî==-高斯塞德尔法的迭代格式为x取迭代到次达到精度要求12100.40.4.0.400.80.40.80||(0.8)(0.80.32)()1.09282031,00.40.4()00.160.6400.0320.672DLUIBDLUllll--骣--÷ç÷ç÷ç÷ç÷=+=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷--ç÷ç桫-=-+-=-æ--çççç=-=-ççççççèlJJJS解(a)雅可比法的迭代矩阵B（）BB故雅可比迭代法不收敛高斯塞德尔法迭代矩阵131()||||0.81022101220||022023002|SJBDLUIBDLUll¥--ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø?骣-÷ç÷ç÷ç÷ç÷=+=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷--ç÷ç桫-=骣-÷ç÷ç÷ç÷ç÷=-=-ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç桫llSJJSB故高斯-塞德尔迭代法收敛。(b)雅可比法的迭代矩阵B（），（B）=0〈1故雅可比迭代法收敛。高斯-塞德尔法的迭代矩阵B（）2|2limlimlim,(0,..SkkkIBlll-=-．®萎lS(k)kijijKkkKKnKi（），（B）=2〉1故高斯-塞德尔法不收敛。3：证明必要条件：由A=A,知a=a,从而有||A-A||0（K).故对任意的x，有||Ax-Ax||||A-A||||x||0(k)即AxAx,Ax=Ax.充分条件：对任意的xR有AxAx(k),取x()()()1212()1.0,1,0,...0)(1,2,...,)(,,...,)()(,,...,)(1,2,...,;1,2,...),lim.4.()12(),10.84TikkkTkiiiniiTiiinikjijikkkinAxaaaAxkAxaaaaajninAAAAaA==?=?===lVVVJ23故即解：不一定，因其谱半径B不一定小于。对习题对称，又〉0，〉0，()()()()1123(1)()(1)()()22123(1)()(1)(1)33123()||0.2961221()55511(5)42313()10510kkkkkkkkkkkkkkAxxwxxxxxwxxxxxwxxx+++++=ìïï=+----ïïïïïï=++--íïïïïï=+-+-ïïïî(k+1)1〉0，故A正定，但其雅可比迭代法不收敛5.解答见例6-46.解：SOR迭代格式为0(8)(7)4(8)()(1,1,1),||||0.00037710,(4.0000177,2.9999937,2.0000027).7.(),(0,1,2,...),()TTkkxxxxxIwAxwbkBIwAwAml-¥=-==-=-+==-(+1)取初始值计算如表.因故取证明：迭代格式要改写成故迭代矩阵其特征值=1-