第10讲-隐函数组求导方法

《数学分析II》第10讲教案1第10讲隐函数组的导数及其几何应用授课题目隐函数组的导数及其几何应用教学内容1.隐函数组的定义；2.隐函数组定理；3.平面曲线的切线与法线方程；4.曲面的切平面与法线方程；5.空间曲线的切线与法平面方程.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握隐函数组的求导法则，了解隐函数组定理，熟记平面曲线的切线与法线方程，曲面的切平面与法线方程，空间曲线的切线与法平面方程．教学重点及难点教学重点：几何应用、隐函数组的求导法则；教学难点：隐函数组的求导法则.教学方法及教材处理提示(1)先介绍平面曲线（)0),(yxF的切线与法线方程，空间曲面)0),,((zyxF的切平面与法线方程，空间曲线))(),(),((tzztyytxx的切线与法平面方程.(2)从空间曲线（一般方程：)0),,(,0),,(zyxGzyxF以一般方程给出时的切线与法平面方程问题出发，引出隐函数组的概念.(3)隐函数组是教学难点，主要是介绍隐函数组的求导法则，要求学生学会隐函数组求导方法，可布置适量的习题加深他们的印象，要求较好的学生能熟记隐函数组的条件和结论。作业布置作业内容：教材157P:1，2(1，2，)，163P:2，3(2)，6，7.讲授内容一、几何应用1.平面曲线的切线与法线若平面曲线方程0),(yxF在点),(000yxP的某邻域内满足隐函数定理条件，则该曲线在点0P处存在切线和法线，其方程分别为切线：,0))(,())(,(000000yyyxFxxyxFyx法线：.0))(,())(,(000000yyyxFxxyxFxy事实上：由条件可知，0),(yxF在0P附近所确定的连续可微隐函数)(xfy，从而该曲线在点0P处存在切线斜率),(),()(00000yxFyxFxfkyx，其切线和法线方程分别为))(('000xxxfyy和)()('1000xxxfyy例1求笛卡儿叶形线09)(233xyyx在点)1,2(处的切线与法线。《数学分析II》第10讲教案2解：设,9)(2),(33xyyxyxF于是xyFyxFyx96,9622在xoy平面连续，且.012)1,2(,015)1,2(yxFF因此，分别求得曲线在点)1,2(的切线方程与法线方程分别为0)1(12)2(15yx即,0645yx0)1(15)2(12yx即.01354yx2.曲面的切平面与法线若由方程0),,(Fzyx所确定的曲面在点),,(0000zyxP的某邻域内满足隐函数定理条件（这里不妨设.0),,(000zyxFz），则该曲面在0P处有切平面与法线，它们的方程分别是00000000),,())(,,(yyzyxFxxzyxFyx0),,(0000zzzyxFz.),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx事实上：由条件知0),,(Fzyx在点0P附近确定惟一连续可微的隐函数),(yxfz使得),(000yxfz，且.),,(),,(,),,(),,(zyxFzyxFyzzyxFzyxFxzzyzx从而得到该曲面在0P处有切平面与法线方程..),,(),,()(),,(),,(000000000000000yyzyxFzyxFxxzyxFzyxFzzzyzx.1),,(),,(),,(),,(000000000000000zzzyxFzyxFyyzyxFzyxFxxzyzx例2求椭圆面632222zyx在(1,1,1)处的切平面方程与法线方程。解：设.632),,(222zyxzyxF由于zFyFxFzyx6,4,2在全空间上处处连续.在)1,1,1(处6,4,2zyxFFF.因此，切平面方程为,0)1(6)1(4)1(2zyx即632zyx，法线方程为.312111zyx3.空间曲线的切线与法平面（1）下面我们讨论由参数方程ttzztyytxx),(),(),(表示的空间曲线L，在某一点),,(0000zyxP处的切线和法平面方程.当0)(')('('20202)0tztytx时，则空间曲线L在某一点),,(0000zyxP处的切线方程为.)(')(')('000000tzzztyyytxxx法平面方程为.0))(('))(('))(('000000zztzyytyxxtx事实上：在曲线L上点0P附近选一点),,(),,(000zzyyxxPzyxP。连接L上的点0P与P《数学分析II》第10讲教案3的割线方程为,000zzzyyyxxx其中).()(),()(),()(000000tzttzztyttyytxttxx以t除上式各分母,得.000tzzztyyytxxx当0t时,0PP,且),('),('),('000tztztytytxtx即得曲线L在0P处的切线方程为.)(')(')('000000tzzztyyytxxx（2）设空间曲线L的方程为0),,(,0),,(zyxGzyxF.当0,),(0PyxGF，．则空间曲线．．．．0),,(,0),,(zyxGzyxFL：点．0P附．近可表示成参量方程如下：．．．．．．．．．．．．)(zx，．)(zy，．zz，．且．.),(),(),(),(,),(),(),(),(yxGFzxGFdzdyyxGFyzGFdzdx在．0P处．的切线方程为．．．．．．.100000zzdzdyyydzdxxxPP法平面方程为．．．．．．.000000zzyydzdyxxdzdxPP例3求球面50222zyx与锥面222zyx所截出的曲线在点(3,4,5)处的切线与法平面方程。解：设.),,(,50),,(222222zyxzyxGzyxzyxF它们在点(3,4,5)处的偏导数和雅可比行列式之值为：10,8,6zFyFxF，10,8,6zGyGxG，且.0,),(,120,),(,160,),(yxGFxzGFzyGF所以曲线在点(3,4,5)处的切线方程为：,0512041603zyx法平面方程为：.034yx二、隐函数组的求导法则设),,,(vuyxF和),,,(vuyxG为定义在区域4RV上的两个四元函数.若存在平面区域D，对于D中每一点),(yx分别有区间J和K上唯一的一对值KvJu,，它们与yx,一起满足方程组,0),,,(,0),,,(vuyxGvuyxF（1）则说方程组（1）确定了两个．．定义在2RD上，值域分别落在J和K内的函数.我们称这两个函数．．．．为由方程组（1）所确定的隐函数组.《数学分析II》第10讲教案4若由两个四元函数．．．．．．．．),,,(vuyxF和．),,,(vuyxG所确定的定义在区域．．．．．．．．．D上的隐函数组分别记为．．．．．．．．．．),(yxfu、．),(yxgv，则在．．．D上成立恒等式．．．．．．.0)),(),,(,,(,0)),(),,(,,(yxgyxfyxGyxgyxfyxF为了探索由方程组（1）确定隐函数组所需要的条件，不妨假设（1）中的函数F与G是可微的，而且由（1）所确定的两个隐函数u与v也是可微的。那么通过对方程组（1）关于yx,分别求偏导数，得到（2）,0,0xvxuxxvxuxvGuGGvFuFF，（3）,0,0yvyuyyvyuyvGuGGvFuFF欲从（．．．2．）解出．．．xu与．xv，从（．．．3．）解出．．．yu与．yv，其充分条件是它们的系数行列式不为零，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.0vuvuGGFF而行列式.vuvuGGFF称为函数),,,(vuyxF、),,,(vuyxG关于变量vu,的函数行列式（或雅可比)(Jacobi行列式），亦可记作.),(),(vuGFJ且有,),(),(1,),(),(1xuGFJxvvxGFJxu.),(),(1,),(),(1yuGFJyvvyGFJyu例4设方程组01),,,(,0),,,(222xyvuvuyxGyxvuvuyxF在点)2,1,1,2(0P近旁确定隐函数组),(),,(vuyyvuxx的，并求其偏导数。解:我们想求得),(),,(vuyyvuxx的偏导数，只需对方程组两边分别关于vu,求偏导数，得到,01,022uuuuxyyxyxxu，.01,022vvvvyxxyyxxv解出.222,21222yxyuxyyxxuxuu和.222,21222yxyvxyyxxvxuv例5求方程组010xyzzyx确定的隐函数组)(),(xzzxyy的导数dxdzdxdy,解：该方程组确定隐函数组)(),(xzzxyy.在方程组两边对x求导得：001zxyyxzyzzy，解方程得：)()()()(zyxyxzzzyxxzyy