第11讲非负数及其应用w

1第11讲非负数及其应用还会有什么科学比数学更高贵、更杰出、更有用……呢？——富兰克林知识方法扫描所谓非负数，是指零和正实数．常见的非负数有绝对值和平方式。非负数有如下的性质：(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数．(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a1，a2，…，an为非负数，则a1＋a2＋…＋an≥0．(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，an为非负数，且a1＋a2＋…＋an=0，则必有a1＝a2＝…＝an＝0．在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用得较多．(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数．(5)最小非负数为零，没有最大的非负数．应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决。其中，配方是一种重要的恒等变形技巧。经典例题解析例1（1993年郑州市初中数学团体赛题）已知x2+3|y-1|=x-41,求代数式4x2-3y+1之值。解将已知等式变形得：3|y-1|=x-241x=-21()2x因为-2)21(x≤0，即|y-1|≤0，①根据绝对值的意义|y-1|≥0②由①、②得，y-1=0，∴y=1。此时，x=21,∴4x2-3y+1=42)21(-3×11+1=-1评注1．实数的偶次方和实数的绝对值是常见的非负数．2．配完全平方是一种极为重要的恒等变形的技巧;由此得到的完全平方数是非负数，从而可用非负数的性质来解题。3．若a≥0,又a≤0,那么a=0.这种方法通常称为夹逼法。这样由不等关系可以得到等量关系。例2．（1994年浙江省初中数学竞赛试题）已知a，b，c为整数，且a2+b2+c2+48＜4a+6b+12c，求111()abcabc的值。[解]由a2+b2+c2+48＜4a+6b+12c，可得(a-2)2+(b-3)2+(c-6)21,显然(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2≥0，又由a，b，c为整数，得(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2为整数，于是(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2=0。所以a=2,b=3,c=6.2111()abcabc=111()236abc=1.例3．（1986年北京市中学生数学竞赛初二年级试题）已知a，b，c为实数，设222Aab，223Bbc，226Cca。证明：A，B，C中至少有一个值大于零．证明由题设有A+B+C=（222ab）+（223bc）+（226ca）=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+π-3=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3)．因为(a-1)2≥0，(b-1)2≥0，(c-1)2≥0，π-3＞0，所以A+B+C＞0．若A≤0，B≤0，C≤0，则A+B+C≤0与A+B+C＞0不符，所以A，B，C中至少有一个大于零．例4．(2002年全国初中数学联赛试题)求实数x,y,使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值解原式=5x2+6xy+3y2-30x-20y+46=5x2+(6y-30)x+3y2-20y+46=5(x+35y-3)2+5(35y-3)2+3y2-20y+46=5(x+35y-3)2+65y2-2y+1=5(x+35y-3)2+65(y-56)2+16当x+35y-3=0，y-56时，即x=52,y=56时有最小值16。例5．（2004年第二届创新杯数学邀请赛试题）已知,,,(1,2,,2004)iiabpqi是不等于零的实数，且满足：22222123200411223320042004222221232004;;.aaaapababababpqbbbbq求证：32004121232004aaaapbbbbq.证明由已知条件变形得：221pa＋222pa＋223pa＋…＋220042ap＝1(1)2pqba11＋2pqba22＋2pqba33＋…[phone]abpq＝2(2)221qb＋222qb＋223qb＋…＋220042bq＝1(3)3(1)－(2)＋(3)得：(qbpa11)2＋(qbpa22)2＋…＋(20042004abpq)2＝0，故有qbpa11＝qbpa22＝…＝20042004abpq＝0，所以qpba11,qpba22,…,20042004apbq。例6．(2006年第一届“南方杯”数学邀请赛试题)求所有的有理数x,y,z，使得5x2+2y2+2z2+2xy+2yz-4xz-6y-4z+6=0解：由已知等式可化为[(4x2-4xz+z2)+(4x-2z)+1]+[(x2+2xy+y2)-(4x+4y)+1]+[(y2+2yz+z2)+(2y+2z)+1]=0[(2x-z)2+2(2x-z)+1]+[(x+y)2-4(x+y)+4]+[(y+z)2-2(y+z)+1]=0(2x-y+1)2+(x+y-2)2+(y+z-1)2=0所以2102010xzxyyz解得243xyz例7．1（1992年北京中学生数学竞赛初中试题）设x,y,a都是实数，并且|x|=1-a,|y|=(1-a)(a-1-a2).试求|x|+y+a3+1的值等于多少？解∵|x|=1-a≥0，a2≥0,(1-a)2≥0∴|y|=(1-a)(a-1-a2)=-(1-a)2-(1-a)·a2=-[(1-a)2+(1-a)·a2]≤0又由绝对值的意义得：|y|≥0既要满足①又要满足②，只有y=0，即：1-a)(a-1-a2)=0∵a-1-a2=-[(a-21)2+43]≠0，∴1-a=0,a=1.故：|x|+y+a3+1=1-1+0+13+1=2.例8(2004年第9届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛试题)已知13223aaa，24323aaa，35423aaa，…,810923aaa，，911023aaa，102123aaa和a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=100，求a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10的值。解将已知的10个式子整理得，412323491011012320320320320aaaaaaaaaaaa再将上述10个式子的左边相加，其和为0。因为这10个式子的左边都是非负数，所以这10个式子的左边都等于0。即12323491011012320320320320aaaaaaaaaaaa于是12232334910101101122()2()2()2()aaaaaaaaaaaaaaaa所以a1-a2=2(a2-a3)=22(a3-a4)=…=29(a10-a1)=210(a1-a2),于是(210-1)(a1-a2)=0,a1=a2同理可证：a1=a2=a3=a4=…=a10。所以a1=a2=a3=…=a10=10.同步训练一选择题1．（2007年“创新杯”数学邀请赛初一试题）已知a,b,c都是负数，并且|x-a|+|y-b|+|z-b|=0，则xyz是（）（A）负数（B）非负数（C）正数（D）非正数2．（第六届“希望杯”数学邀请赛初二试题）已知实数a、b满足条件a2+b2+a2b2=4ab-1,则（A）11ba（B）1111baba或（C）11ba或11ba（D）11ba3．(2004年全国数学竞赛天津地区初赛试题)已知m2+n2+mn+m-n+1=0,则nm11的值等于()(A)–1(B)0(C)1(D)24．（1999年“五羊杯”初中数学竞赛题）a，b，c，d都是正数，则在以下命题中，错误的是（）（A）若a2+b2+c2=ab+bc+ca,则a=b=c（B）若a3+b3+c3=3abc,则a=b=c（C）若a4+b4+c4+d4=2(a2+b2+c2+d2)则a=b=c=d（D）若a4+b4+c4+d4=4abcd,则a=b=c=d5．（1994年河南初中数学竞赛题）已知a、b、c是实数，x=a2-b,y=b2-c,z=c2-a+1.则下列说法正确的是（A）x，y，z三个数中至少有一个是零（B）x，y，z三个数中至少有一个是正数5（C）x，y，z三个数中至少有一个是负数（D）x，y，z三个数中必为两正一负，或者必为两负一正二填空题6．（第15届“迎春杯”数学竞赛试题）已知2(98)|89|0aab,那么,代数式22aabb的值为.7．（2000年“我爱数学”夏令营数学竞赛试题）满足方程11x2+2xy+9y2+8x-12y+6=0的实数解（x,y）的个数等于8．（2000年天津市初中数学竞赛试题）已知a,b满足a3-3a5+5a=1,b3-3b2+5b=5,则a+b=.9．（2000年全国初中数学联赛试题）实数x、y满足x≥y≥1和2x2-xy-5x+y+4=0,则x+y=.10．（2007年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题）已知实数a,b,c满足a-b+c=7,ab+bc+b+c2=16,则ba的值等于.三解答题11．（第14届江苏省初中数学竞赛试题）如果三个非负数a,b,c满足3a+2b+c=5和2a+b-3c=1，若m=3a+b-7c,求m的最大值和最小值。12（重庆市初中数学竞赛题）设z，y，z为实数，且222)()()(xzyxzy.)2()2()2(222zyxyxzxzy求)1)(1)(1()1)(1)(1(222zyxxzxyz的值。13．设a,b,c都是正实数，p,q,r都是实数。p,q,r满足何种关系时，等式(a+b+c)(ap2+bq2+cr2)=(ap+bq+cr)2成立？14．(四川省初中数学联赛试题)解关于实数x、y、z的方程：(8zx2－27y2＋9yz2)2＋(3y2－yz＋2z2－8x)2＋9＝6x－x215．（1994年山东荷泽市初中数学竞赛试题）已知12,,,nxxx为实数，且622221212()nnxxxxxxn。求证：12.nxxx同步训练题参考答案1．D2．B∵a2+b2+a2b2=4ab-1,∴a2-2ab+b2+(ab)2-2ab+1=0,即(a-b)2+(ab-1)2=0,a=b,ab=1，故有(ab)2-2ab+1=0,即(a-b)2+(ab-1)2=0,a=b,ab=1，故有a2=1,∴a=±1.∴1111baba或。3．B由已知得2m2+2n2+2mn+2m-2n+2=0,即(m+n)2+(m+1)2+(n-1)2=0,m=-1,n=1.于是nm11=0.4．C对于命题（A），由已知等式得：21[a(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2+(b-c)2]=0∴a=b=c,故（A）为真。对于命题（B），a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ab-bc)由题设条件a3+b3+c3=3abc,故有a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,∴a=b=c，故（B）为真。对于命题（D），由已知等式得：a4-2a2b2+b4+c4-ac2d2+d4+2(a2b2-2abcd+c2d2),即(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0∴a=b=c=d.对于命题（C），由已知等式得：a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4=0，故有(a2-b2)2(c2-d2)2=0，∴a=b,c=d.原结论为a=b=c=d，所以，C为错误的命题5．Bx+y+z=a2-a+b2-b+c2-c+1=(a-21)2+(b-21)2+(c-2