《金融数学》精算师培训

1《金融数学》精算师培训利率风险Interestraterisk2马考勒久期（Macaulayduration）假设资产未来的一系列现金流为Rt，则资产的价格：实际收益率i也可以用名义收益率i(m)和利息力表示，故：001ttttttPRiRv()()00(1)1e1emtmttmtmtttttiimiPRRm3资产的价格：为简化表述，用y表示名义收益率，当m=1时，y就是实际收益率。未来现金流为Rt的资产的价格可以表示为()001emtmtttttiPRRm001emttttttyPRRm4马考勒久期：未来现金流到期时间的加权平均值，权数为每个现金流的现值在总现值中所占的比率，即：马考勒久期越大，加权到期时间越长，从而资产价格对收益率的敏感性越高，资产的利率风险越大。马考勒久期是一个时间概念，可以用年、月等时间单位计量。001emttttttMacDytRtRmPP5例：一笔贷款的本金为L，期限为n，年实际利率为y，按年等额分期偿还。试求该笔贷款的马考勒久期。解：假设每年末的偿还金额为R|01|0111()11nttnyttnttnytttRytyIaMacDaRyy6例：一项15年期按月等额偿还的贷款，每月复利一次的年名义利率为24％，试计算这项贷款的马考勒久期。解：应用上例的结果|1215|0.02|1215|0.02()()45.755445.75543.8112nynyIaIaMacDaa=（月）（年）7利息力（收益率）对马考勒久期的影响将马考勒久期对求导可得（请检验）注：马考勒久期是利息力的减函数，利息力越高，风险越小。00ed()dddetttttttRMacDR2200020eeeettttttttttttRtRtRR220000eeeetttttttttttttRtRRR22uuvuvvv（到期时间的方差）80204060510•债券到期时间对马考勒久期的影响（一个反例）注：用债券的到期时间衡量利率风险可能是不恰当的。息票率r=5%，收益率y=15%久期到期时间900.10.20.30.4101520•债券的息票率对马考勒久期的影响注：马考勒久期随着债券息票率的上升而减小，但减小的幅度越来越小。n＝20年，y=10%息票率久期10修正久期修正久期（modifiedduration）：收益率变化时资产价格的单位变化速率。修正久期反映了资产价格随收益率变化而变化的速度：ModD越大，资产价格的波动幅度越大，资产的利率风险就越大。ModD越小，资产价格的波动幅度越小，资产的利率风险就越小。()()PyModDPy11资产价格对收益率y（假设每年复利m次）求导可得：100d()1/1/dmtmtttttPyRymtRymy01/1/mttttRymym()1/MacDPyym1/MacDModDym12修正久期与马考勒久期的关系：当m→∞时，而当m→∞时，名义收益率趋于利息力，即y→，因此1/MacDModDym()()limlim()()mmPyPMacDModDPyPlimmModDMacD注：请与前面给出的马考勒久期进行比较。13资产价格与修正久期的关系：()1d1()dPyPPModDModDPyPyPy%()PPModDyP注：%△P表示资产价格变化的百分比。△y表示收益率的变化，通常用基点（basepoints）表示。一个基点为0.01%。例：已知某债券的价格为115.92元，收益率为7.00%，修正久期为8.37。试计算当收益率上升为7.05%时，该债券的价格。解：当收益率上升时，债券价格下降的百分比为：所以新的债券价格可近似为：%()(7.05%7%)8.370.42%PyModD115.92(10.42%)115.4315资产价格随收益率变动的近似线性关系yyy()Py()Pyyˆ()Pyyˆˆ()()()()()()()()%()PyyPyPyyPyPyPyyModDyyPyPyPPModDyP近似的误差是多少？16有效久期（effectiveduration）假定债券未来的现金流是固定的，可以计算债券价格对收益率的一阶导数P(y)，从而可以计算修正久期。如果未来的现金流不是固定的（可赎回债券），可估计：符号：P0当前收益率下的债券价格P+当收益率增加时的债券价格P-当收益率减少时的债券价格()2PPPyy17债券价格随收益率变动的近似线性关系注：对P(y)的估计是以割线AB的斜率来近似在点(y0，P0)的切线斜率()2PPPyy18如果在修正久期中，用近似值代替P(y)，则可以得到有效久期：即0()()2PPPyModDEffDPyPy02PPEffDPy19例：已知一个6年期可赎回债券的现价为100元，当收益率上升100个基点时，该债券的价格将降为95.87元。当收益率下降100个基点时，该债券的价格将升至104.76元。试计算该债券的有效久期。解：0100P95.87P104.76P0.01y0104.7695.874.45210020.01PPEffDPy20基于名义收益率的凸度C：修正久期度量了收益率变化时债券价格的稳定性；凸度则度量了收益率变化时修正久期的稳定性。()()PyCPy()()()()PyPyModDCPyPy修正久期：凸度：凸度(convexity)注：不叫修正凸度21债券价格对收益率求二阶导数可得所以凸度可按下式计算：可以证明，凸度是收益率的减函数。10020d()1/1/d1()1mtmtttttmtttPyRymtRymymtyPytRmm20()11()1()()mtttPyyCttRPyPymm--轾骣ⅱ犏÷ç==++÷ç犏÷ç桫犏臌å22凸度对债券价格的影响凸度是对债券价格曲线的弯曲程度的一种度量，债券A的凸度大于债券B的凸度：当利率下降时，A的价格上升快当利率上升时，A的价格下降慢PBAy23用利息力（连续复收益率）代替名义收益率y，即可得到马考勒凸度：201mtttytRmP22200ddttttttRetRePP1myem马考勒凸度()PMacCP24例：一项15年期按月等额偿还的贷款，每月复利一次的年名义利率为24％，试计算这项贷款的马考勒凸度。解：y=24%，m=12，t=1/12，2/12，…，15。贷款的现值为P=48.5844152201/1211mtmtttttyytRtRmm152121/12(1.02)ttt1238.912011238.9125.5048.5844mtttytRmMacCP而故25马考勒久期与马考勒凸度的关系2d()dMacD()()PMacDP222()()()d()d()PPPMacDP2()()()()PPPP2MacCMacD22MacCMacD（到期时间的方差）注：到期时间越分散，马考勒凸度越大。26有效凸度的近似计算：022PPPy()Py22d()dPPyy002)(PPPPy2()()Py27有效凸度EffC是对凸度C的一种近似计算：即0202PPPEffCyP0202()PPPPyCEffCPyP28例：已知一个6年期可赎回债券的现价为100元，当收益率上升100个基点时，该债券的价格将降为95.87元。当收益率下降100个基点时，该债券的价格将升至104.76元。试计算该债券的有效凸度。解：该债券的有效凸度为：02202(95.87104.762100)630.01(100)PPPEffCyP29证券组合的久期：方法一：计算组合中每种证券的久期以组合中每种证券的市场价值为权数计算这些久期的加权平均数。方法二：将证券组合设想为一种证券，将证券组合的现金流看作是设想证券的现金流根据设想证券的现金流计算久期。30例：假设某证券组合由n种债券构成，债券k具有现值Pk，久期Dk，则该证券组合的价格为：该证券组合的久期为：类似地，假设债券k的凸度为Ck，则证券组合的凸度为：12nPPPP1nkkPPDPP1nkkkPDP1nkkkPCCP1kknkkPPPP31例：一个债券组合由两种面值为100的债券构成，两种债券到期后均按面值偿还，且年实际收益率均为5%。第一种债券的年息票率为6%，期限为5年。第二种债券为10年期的零息债券。试计算该债券组合的修正久期。解：第一种债券的价格为5111tttPRy556100(1)yay104.3332该债券价格对收益率的一阶导数为：于是第一种债券的修正久期为：511(1)dd1ttttRyPyy111()444.924.26104.33PyModDP556500(1)1yIayy444.9233类似地，第二种债券的价格为：该债券价格对收益率的一阶导数为：102100(1)61.39Py1012(1)dd1ttttRyPyy101000(1)1yy584.6834于是第二种债券的修正久期为：债券组合的价格为：该债券组合的修正久期为：12126.21PPDDDPP222()584.689.5261.39PyModDP12165.72PPP35001e()()()()mttttttytRtRPmMacDPPP()()1/PyMacDModDPyym02PPEffDPy马考勒久期：修正久期：有效久期：001emttttttyPRRm价格：小结3620()11()1()()mtttPyyCttRPyPymm22001()()()()mttttttytRtRePmMacCPPPy0202PPPEffCyP马考勒凸度：凸度：有效凸度：37久期和凸度的综合应用将债券的价格函数用泰勒级数展开，则有其中o(y–y0)是关于(y–y0)的高阶无穷小量由此可得近似公式：210000002()()()()()()()PyPyPyyyPyyyyy21%()()2PPyyP修正久期凸度38应用上式时，恰当选择久期和凸度：修正久期和凸度：名义收益率，固定现金流的资产。马考勒久期和马考勒凸度：利息