清华第五版数值分析第二章课件.

上页下页1.函数表达式过于复杂而不便于计算，且又需要计算众多点处的函数值；2.已知由实验（测量）得到的某一函数y=f(x)在区间[a,b]中互异的n+1个xi(i=0,1,...,n)处的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n),须知道其他点的值。需要构造一个简单易算的函数P(x)作为y=f(x)的近似表达式第2章插值法必要性上页下页x0x1x2x3x4xP(x)f(x)f(x)y=f(x)≈P(x),使得P(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,...,n)其它点P(x)f(x)=y这类问题就称为插值问题，P(x)称为插值函数，P(x)一般取最简单又便于计算得函数。（多项式，三角函数，分段多项式等）上页下页2.1.1插值问题设y=f(x)是区间[a,b]上的一个实函数,xi(i=0,1,...,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知y=f(x)在xi的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n),求一个次数不超过n的多项式Pn(x)使其满足Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)(5-1)这就是多项式插值问题.2.1引言上页下页其中Pn(x)称为f(x)的n次插值多项式,f(x)称为被插函数,xi(i=0,1,...,n)称为插值节点,(xi,yi)(i=0,1,…,n)称为插值点,[a,b]称为插值区间,式(5-1)称为插值条件。从几何意义来看,上述问题就是要求一条多项式曲线y=Pn(x),使它通过已知的n+1个点(xi,yi)(i=0,1,…,n),并用Pn(x)近似表示f(x).上页下页即P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn其中ai为实数，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。上页下页问题•1.多项式是否存在？•2.若存在，是否唯一？•3.误差是多少？•4.若存在唯一，如何构造？上页下页定理1设节点xi(i=0,1,…,n)互异,则满足插值条件Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)的次数不超过n的多项式存在且唯一.证设所求的插值多项式为Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn则由插值条件式Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)可得关于系数a0,a1,…,an的线性代数方程组插值多项式的存在性和唯一性上页下页nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010此方程组有n+1个方程,n+1个未知数,其系数行列式是范德蒙(Vandermonde)行列式：20002111211()01nnjijinnnnxxxxxxxxxxx由克莱姆法则知方程组(5-3)的解存在唯一.证毕。上页下页定理2设f(x)在区间[a,b]上存在n+1阶导数,xi∈[a,b](i=0,1,…,n)为n+1个互异节点,则对任何x∈[a,b],有(1)1()()()()()(1)!nnnnfRxfxPxxn误差((,)ab且与x有关)10()()nniixxx其中上页下页证由插值条件和n+1(x)的定义,当x=xk时,式子显然成立,并且有n+1(xk)=0(k=0,1,…,n),这表明x0,x1,…,xn都是函数n+1(x)的零点,从而n+1(x)可表示为1()()()()()nntftPtKxt1()()()()()nnnRxfxPxKxx其中K(x)是待定函数。对于任意固定的x[a,b],xxk,构造自变量t的辅助函数上页下页1()()()()()nntftPtKxt由式n+1(xk)=0和式Pn(xk)=yk(k=0,1,…,n),以及1()()()()()nnnRxfxPxKxx可知：x0,x1,,xn和x是(t)在区间[a,b]上的n+2个互异零点,因此根据罗尔(Rolle)定理,至少存在一点=(x)(a,b),使(1)()0n(1)()()(1)!nfKxn即(1)1()()()()()(1)!nnnnfRxfxPxxn所以上页下页Lagrange法1736-18132.2拉格朗日插值上页下页00110()()()()()nnnniiiLxylxylxylxylx可知其满足2.2.2拉格朗日插值多项式利用拉格朗日基函数li(x),构造次数不超过n的多项式njyxLjjn,,1,0)()()(xLxPnn称为拉格朗日插值多项式,再由插值多项式的唯一性,得特别地,当n=1时又叫线性插值,其几何意义为过两点的直线.当n=2时又叫抛物（线）插值,其几何意义为过三点的抛物线.上页下页1)(0niixl注意:(1)对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无关;以xi(i=0,1,…,n)为插值节点,函数f(x)1作插值多项式,由插值多项式的唯一性即得基函数的一个性质(2)插值基函数li(x)仅由插值节点xi(i=0,1,…,n)确定,与被插函数f(x)无关;(3)插值基函数li(x)的顺序与插值节点xi(i=0,1,…,n)的顺序一致.上页下页1)(0niixl这是因为若取(x)=xk(k=0,1,…,n),由插值多项式的唯一性有0(),0,1,,nkkiiilxxxkn特别当k=0时,就得到上页下页所以019141()(9),()(4)495945xxlxxlxx1001111()()()2(9)3(4)55Lxylxylxxx1137(7)2.65L01,4,9,yxxx7例1已知用线性插值(即一次插值多项式)求的近似值。012,3,yy基函数分别为:解插值多项式为23(9)(4)55xx1(6)5x()上页下页4,3,1,13210xxxx)4)(3)(1(401)41)(31)(11()4)(3)(1()(0xxxxxxxl)4)(3)(1(121)41)(31)(11()4)(3)(1()(1xxxxxxxl)4)(1)(1(81)43)(13)(13()4)(1)(1()(2xxxxxxxl)3)(1)(1(151)34)(14)(14()3)(1)(1()(3xxxxxxxl例2求过点(-1,-2),(1,0),(3,-6),(4,3)的抛物线插值(即三次插值多项式).解以以为节点的基函数分别为:上页下页)()()()()(332211003xlyxlyxlyxlyxL)3)(1)(1(1513)4)(1)(1(81)6()4)(3)(1(1210)4)(3)(1(401)2(xxxxxxxxxxxx)3)(1)(1(51)4)(1)(1(43)4)(3)(1(201xxxxxxxxx3423xx()则拉格朗日的三次插值多项式为上页下页截断误差Rn(x)=f(x)-Ln(x)也称为n次Lagrange插值多项式的余项。以下为拉格朗日余项定理。(1)1()()()()()(1)!nnnnfRxfxLxxn2.2.3插值余项((,)ab且与x有关)10()()nniixxx其中上页下页),(,)()!1()(01baxxxnMxRniinn或),(,)(max)!1()(01baxxxnMxRniibxann。其中：)(max)1(1xfMnbxanniinnnxxnfxLxfxR0)1()()!1()()()()(上页下页25.0)4(,4.0)5.2(,5.0)2(210fyfyfy)45.2)(25.2()4)(2(4.0)42)(5.22()4)(5.2(5.0)(2xxxxxL)5.24)(24()5.2)(2(25.0xx15.1425.005.02xx,1)(xxf，节点4,5.2,2210xxx)(xf求的抛物插值多项式,且计算f(3)的近似值并估计误差。例3设解插值多项式为上页下页,6)(4xxf83|)2(||)(|max]4,2[3fxfMx213|(3)||(3)(3)||(32)(32.5)(34)|680.03125RfL因为故|)4)(5.2)(2(|8361|)4)(5.2)(2(|!3|)(|33xxxxxxMxR325.0)3()3(2Lf于是上页下页用二次插值计算ln11.25的近似值,并估计误差.例4给定函数表x10111213lnx2.3025852.3978952.4849072.564949解取节点x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值有302585.2)1210)(1110()1225.11)(1125.11(397895.2)1211)(1011()1225.11)(1025.11(484907.2)1112)(1012()1125.11)(1025.11(420426.2ln11.25L2(11.25)上页下页在区间[10,12]上lnx的三阶导数的上限M3=0.002,可得误差估计式00007.0|)1225.11)(1125.11)(1025.11(|!3)25.11(32MR实际上,ln11.25=2.420368,|R2(11.25)|=0.000058.上页下页2.3.1均差及其基本性质定义1称100110()()[,]fxfxfxxxx为f(x)在x0、x1点的一阶均差.一阶均差的均差(差商)120101220[,][,][,,]fxxfxxfxxxxx称为函数f(x)在x0、x1、x2点的二阶均差.英1642-17272.3均差与牛顿插值公式上页下页一般地，n-1阶均差的均差1101010[,,,][,,][,,,]nnnnnfxxxfxxfxxxxx称为f(x)在x0,x1,…,xn点的n阶均差。一般f(xi)称为f(x)在xi点的零阶均差，记作f[xi]。上页下页nknkkkkkkknxxxxxxxxxfxxxf011010)())(()()(],,,[它表明均差与节点的排列次序无关，即f[x0,x1,x2,...,xn]=f[x1,x0,x2,...,xn]=…=f[x1,x2,...,xn,x0]性质1均差可以表示为函数值的线性组合，即称之为均差的对称性（也称为对称性质）。上页下页性质2n次多项式f(x)的k阶差商,当kn时是一个n-k次多项式;当kn时恒等于0.性质3若f(x)在[a,b]上存在n阶导数,且节点x0,x1,…,xn∈[a,b],则至少存在一点[a,b]满足下式!)(],,,[)(10nfxxxfnn例1f(x)=－6x8+7x5－10,求f[1,2,…,9]及f[1,2,…,10].解f(8)(x)=－6·8!,f[1,2,…,9]=-6,f(9)(x)=0,f[1,2,…,10]=0.上页下页2.3.2牛顿插值多项式设x是[a，b]上一点，由一阶均差定义得)](,[)()(000xxxxfxfxf同理，由二阶均差定义)](,,[],[],[110100xxxxxfxxfxxf如此继续下去，可得一系列等式000)()(],[xxxfxfxxf110010],[],[],,[xxxxfxxfxxxf得得上页下页01010[,,,][,,,][,,,]()nnnnfxxxfxxxfxxxxx)](,[)()(000xxxxfxfxf)](,,[],[],[110100xxxxxfxxfxx