第14章整式的乘除与因式分解

14.1整式的乘法（一）教学目标1.感受生活中幂的运算的存在与价值．2.经历自主探索同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述这些性质，并会运用它们熟练地进行计算．3.逐步形成独立思考、主动探索的习惯．4.通过由特殊到一般的猜想与说理、验证，培养学生一定的说理能力和归纳表达能力．重点难点重点：幂的三个运算性质．难点：幂的三个运算性质．教学设计1.创设情境导入新课问题：一种电子计算机每秒可以进行1012次运算，它工作103s可以进行多少次运算?你能用学过的知识解决吗?从实际问题的导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识．从而构建新的知识体系，同时因为关于底数、指数、幂等概念是在有理数的乘法中学习的，学生可能生疏或遗忘，在新课讲解之前利用这个实际问题进行复习．学生略作思考后得出，它工作103s可以进行的运算次数是1012×103．怎样计算1012×103?根据乘方的意义可以知道：探究新知1．探一探根据乘方的意义填空：从引例到“探一探”，“猜一猜”，“说一说”是一个从特殊到一般，从具体到抽象，把幂的底数与指数分两步有层次地进行概括抽象的过程．在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得运算法则．学生独立思考后回答，教师板演．2．猜一猜问：看看计算结果，你能发现结果有什么规律吗?学生小组讨论后交流结果：不管底数是什么数，只要底数相同，结果就是指数相加．3．说一说am×an(m，n是正整数)?学生说出理由，教师板演共同得出结论：am×an=am+n(m，n都是正整数)即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．注意性质中的m、n的取值范围．注：要求学生用语言叙述这个性质，即“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．4．想一想am×an×ap=?5．做一做例1教科书第96页的例1(1)～(4)(5)-a3·a5；(6)(x+1)2·(x+1)3同底数幂的性质很容易推广到三个以上的同底数幂相乘．在例1的课堂教学中教师要求学生说明底数是什么，指数是什么，引导学生观察是不是同底数幂相乘，再利用性质进行计算．例1(5)中注意让学生说清“-a3”的底数是“a”还是“-a”．性质中的字母可以是单项式也可以是多项式，如例1(6)，把底数进一步扩充到式的范围．6．自主学习根据乘方的意义及同底数幂的乘法，让学生自主探究教科书第96页探究问题．学生在独立思考、合作交流的基础上，得出幂的乘方运算性质：(am)n=amn(m，n都是正整数)即幂的乘方，底数不变，指数相乘．7．做一做例2教科书第96页的例2(1)～(4)(5)-(x3)4·x28．想一想让学生自主探究教科书第97页的探究问题，并完成填空．尝试分析运算过程中用到哪些运算律?运算结果有什么规律?学生自己归纳出积的乘方的运算性质：(ab)n=anbn(n为正整数)即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．那么，(abc)n=?注：和前两个性质的教学一样，这个性质也是先用具体指数为例说明积的乘方的意义和导出性质的每一步依据，从而归纳出一般指数情形的性质．这个性质也很容易推广到三个以上因式的乘方．9．做一做例3教科书第97页的例3(1)～(4);(5)[-3(x+y)2]3例4计算：x·(x2)3-2x4·x2比一比这节课我们学习了三个运算性质：“同底数幂的乘法”、“幂的乘方”和“积的乘方”．组织学生进行计时比赛，在规定时间内完成教科书第96页、97页、98页的练习．深入探究例5计算：(1)(-8)2004·(-0.125)2005(2)(-2)2n+1+2·(-2)2n(n为正整数)．在这三个性质中的底数、指数中，指数注明为正整数，而底数可以是数、字母或式．把底数进一步扩充到式的范围．议一议下面的计算对不对?如果不对，应当怎样改正．(1)a3·a3=a6；(2)b4·b4=2b4；(3)x5+x5=x10;(4)y7·y=y8；(5)(a3)5=a8；(6)a3·a5=a15;(7)(a2)3·a4=a9；(8)(xy3)2=xy6；(9)(-2x)3=-2x3注：补充议一议与辨析题的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算性质的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．小结组织学生讨论和辨析三个运算性质．作业：1．必做题：教科书第104页习题14.1第1、2题．2．备选题：(1)计算：(2)计算：am-1·an+2+am+2·an-1+am·an+1(3)已知：am=7，bm=4，则(ab)2m=______(4)已知：3x+2y-3=0，则27x·9y=___________教学反思：14.1整式的乘法(二)教学目标:1.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．2.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力．重点难点重点：单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则．难点：单项式与多项式相乘去括号法则的应用．教学设计一、复习旧知1．知识回顾：回忆幂的运算性质：am·an=am+n(m，n都是正整数)即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．(am)n=amn(m，n都是正整数)即幂的乘方，底数不变，指数相乘．(ab)n=anbn(n为正整数)即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．2．练一练幂的三个运算性质是学习单项式与单项式、单项式与多项式乘法的基础，所以先组织学生对上述内容做复习．二、创设情境引入新课问题光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?注：从实际的问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系．地球与太阳的距离约为(3×105)×(5×102)千米．问题是(3×105)×(5×102)等于多少呢?学生提出运用乘法交换律和结合律可以解决：(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107(为什么?)在此处再问学生更加规范的书写是什么?应该是地球与太阳的距离约为1.5×lO8千米．请学生回顾，我们是如何解决问题的．三、探究新知1．问题：如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，你会算吗?学生独立思考，小组交流．注：从特殊到一般，从具体到抽象，在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则．学生分析：跟刚才的解决过程类似，可以将ac5和bc2分别看成a·c5和b·c2，再利用乘法交换律和结合律．ac5·bc2=(a·c5)·(b·c2)=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2=abc7注：在教学过程中注意运用类比的方法来解决实际问题．2．试一试：类似地，请你试着计算：(1)2c5·5c2；(2)(-5a2b3)·(-4b2c)ac5和bc2，2c5和5c2，(-5a2b3)和(-4b2c)都是单项式，通过刚才的尝试，谁能告诉大家怎样进行单项式乘法?注：先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，而是让学生类比，自己动手试一试，再相互交流，自己小结出如何进行单项式的乘法．要求学生用语言叙述这个性质，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．学生小结：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．3．算一算:教科书第98页例4在例题教学中应该先让学生观察有哪些运算，如何利用运算性质和法则。分析后再动手做，同时让学生说一说每一步的依据．提醒学生在单项式的运算中应该先确定符号．例2小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米?注：将运算法则应用在实际问题中，提高学生解决实际问题的能力．4．辩一辩:教科书第99页练习2注：辩一辩的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算法则的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．深入探究1．师生共同研究教科书第99页的问题，对单项式与多项式相乘的方法能有感性认识．注：这个实际问题来源于学生的生活实际，所以在教学中通过师生共同探讨，再结合分配律学生不难得到结论．2．试一试:计算2a2·(3a2-5b)(根据乘法分配律，不难算出结果吧!)注：因为整式的运算是在数的运算的基础上发展起来的，所以在解决问题时让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，自己尝试得出结论．3．想一想:从上面解决的两个问题中，谁能总结一下，怎样将单项式和多项式相乘?学生发言，互相补充后得出结论：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．4．做一做:教科书第100页例5(在学习过程中提醒学生注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号)注：学生在计算过程中，容易出现符号问题，要特别提醒学生注意．四、课堂小结单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．作业：1．必做题：教科书第104页习题14.1第3、4题2．备选题：(1)若(-5am+1b2n-1)(2anbm)=-10a4b4，则m-n的值为______(2)计算：(a3b)2(a2b)3(3)计算：(3a2b)2+(-2ab)(-4a3b)(4)计算：教学反思：14.1整式的乘法(三)教学目标1.探索并了解多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．2.让学生主动参与到一些探索过程中去，逐步形成独立思考，主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望和能力．重点难点重点：多项式与多项式相乘．难点：多项式与多项式相乘．教学设计一、复习引新1．前面这节课我们研究了单项式与单项式、单项式与多项式相乘的方法，请同学回忆方法．2．练一练：教科书第100页练习2我们再来看一看第一节课悬而未决的问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米(课件展示街心花园实景，而后抽象成数学图形，并用不同的色彩表示出原有部分及其新增部分)．提出问题：你能用几种方法表示扩大后绿地的面积?不同的表示方法之间有什么关系?用不同的方法怎样表示扩大后的绿地面积?用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢?这个问题激起学生的求知欲望，引起学生对多项式乘法学习的兴趣．学生独立思考后交换各自的解法：方法一：这块花园现在长(a+b)米，宽(m+n)米，因而面积为(a+b)(m+n)米2．方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为：am米2、an米2、bm米2、bn米2，故这块绿地的面积为(am+an+bm+bn)米2．(a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一块绿地的面积，所以有：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn即多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.注：借助几何图形的直观，使学生从图形中可以看到(a+b)(m+n)是一个长方形的面积，而这个长方形又可以分割成四小块，它们的面积和是am+an+bm+bn，因此，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn．让学生对这个结论有直观感受．二、探究新知引导学生观察等式的左边(a+b)(m+n)是两个多项式(a+b)与(m+n)相乘，我们从刚才问题的解决过程中发现了多项式与多项式相乘的方法．进一步引导学生，如果我们把(m+n)看成一个整体，那么两个多项式(a+b)与(m+n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学们试着做一做．注：把(m+n)看成一个单项式，因学生过去接触不多，可能不易理解．实际上，这是一个很重要的思想和方法．学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行．在此，如果学生真正理解了把(m+n)看成一个单项式，那么，两次运用单项式与