清华大学电子系孙长征老师电动力学期末点评

2015《电动力学》期末试题点评今年期末考试没有全新的题目，所有的题均是往年考过的。其中，计算题有的是课堂上讲过的原题，也有的是与讲过或者作业练习过的类似题目。但从整体答题情况上来看，感觉并不理想。一、简答题虽然都是往年考过的基本概念，但还是有一些同学没有能够很好地掌握。出现问题较多的地方是以下几点：1.关于真空与良导体交界面两侧电磁场的边值关系。部分同学错误地写成了理想导体表面的边值条件了。与理想导体情况不同，良导体具有有限的电导率，其中存在交变电磁场，因此应写出界面两侧真空中和良导体内电磁场的联系，大家可以参考王蔷老师书中164页的讨论。这里需要特别注意，与理想导体不同，在良导体表面没有面电流分布。虽然在讨论良导体内Joule热损耗时曾引入等效面电流的概念，但物理上看，良导体内只有体电流密度分布，而没有面电流。这一点在教材126页讨论良导体表面的电磁波反射与折射的公式(3.26)中就有所体现，不知同学们是否注意到了。另一方面，由于导电媒质中电荷密度随时间指数衰减，所以其内部没有体电荷分布，所有电荷是以面电荷的形式分布在良导体表面的。还有些同学仅写出了切向的边值关系，这是不够全面的。虽然我们课上讲到，对于时变电磁场，其切向与法向边值条件并非独立。在确定电磁场时，只需要考虑切向的边值关系，（教材117页中也提到这一点）。但在求解电磁场后，进一步确定界面的面电荷分布时，还是需要利用法向的边值关系。因此，在描写电磁场边值关系时，应当同时写出切向和法向的结果。正如我们在书写Maxwell方程组时，也要求同时写出四个方程，虽然可以利用电荷守恒定律从两个旋度方程推导出两个散度方程。2.关于全反射时透射媒质中的电磁波发生全反射时，透射媒质中出现倏逝波（又称消逝场或渐消场）。它是沿平行界面方向传输的非均匀平面波，其振幅沿垂直界面方向指数衰减。倏逝波的等相位面垂直于界面方向，而等振幅面平行于交界面。有些同学对此表述不够准确，还希望注意，确保正确理解。二、计算题1.这道题在课堂上讨论谐振腔时曾讲解过，利用了积分形式的复数Poynting定理，并结合理想导体边界条件，推导出关于封闭谐振腔的一般性结果。大家可以参考补充讲义。不少同学试图用微分形式的复数Poynting定理去证明，并错误地认为谐振腔中电场储能和磁场储能在各点都相等。实际上，封闭的理想导体谐振腔可以看作是LC谐振回路的推广。在LC谐振回路发生谐振时，电容C中的电场储能和电感L中的磁场储能相互转换，其总能量不变。但显然电场储能集中在电容中，而磁场储能集中在电感中，电路中不同位置处的电场和磁场储能并不相等。类似的，封闭谐振腔中的电磁场在振荡过程中，电场储能与磁场储能相互转换。其中，电场集中的区域以电场储能为主，而磁场集中的区域则以磁场储能为主，同一点的电场和磁场储能密度并不一定相等。同学们可以根据教材130页中给出的谐振腔电场表达式，确定相应的磁场分布，从而讨论矩形谐振腔中电场储能和磁场储能集中的区域分别在哪里，能否给出合理的物理解释。本题的结论是具有一般性的，并不局限于矩形谐振腔。不过，确实有同学写出了矩形谐振腔的电场表达式，可惜没能进一步确定其储能密度。谐振腔中电场和磁场的求解，属于时变电磁场边值问题，本课程并不要求。在后续微波课程中，同学们会有机会学习如何确定包括矩形谐振腔在内的谐振腔频率和其中的电磁场模式。2.本题考察P波在理想导体表面的反射情况，与我们课上讨论的N波在理想导体表面反射的分析思路完全一致。但几乎没有哪个同学按照课上所讲的步骤，按部就班地进行分析：先确定反射波矢方向（即反射角大小），再确定反射电场和磁场的振幅，最后得到合成场。当然，还是有相当多的同学得到了正确的答案，不过还是建议大家再认真梳理一下对这类问题求解的基本思路，有助于未来处理更为复杂的问题。部分同学在确定了电场的振幅关系后，直接将入射波和反射波的振幅矢量叠加作为合成场，而未能考虑电磁和磁场的波动性，导致了错误的答案。实际上，正是由于电磁场的波动性，导致理想导体表面的面电流和面电荷也表现出波动性。请这些同学再仔细考虑一下。在获得了入射波与反射波的合成场后，面电流和面电荷不难由理想导体表面的边值关系得到。作为计算是否正确的一个检验，大家可以自行验证二者满足连续性方程。部分同学未能掌握利用表面电阻的概念进行良导体Joule热损耗的计算，而是按照导电媒质表面反射与透射的思路考虑。不过采用这个思路的同学均未能将最后的结果用入射电磁场振幅和良导体的电导率等参数表达出来。虽然我相信这个思路应该能够得到与表面电阻方法一致的结果，但没有验算过，建议有兴趣的同学们尝试确认一下。3.本题在若干年前考过一次，这次再出江湖，同样是血雨腥风，哀鸿遍野。其实，此题与教材第五章习题13非常类似，只不过将介质球替换为理想导体球，求解思路基本相同。但解答情况不幸证实了我对同学们独立完成作业情况的担心。由于a，这个问题可以用准静态场的方法处理。感应电偶极子的求解可以等效为放置在均匀外电场中导体球的问题，其求解过程完全类似于教材51页例3。部分同学在确定电偶极矩时遇到了麻烦，不知道导体球的极化该怎么处理。实际上，电势求解结果中与r2成正比的一项就是导体球表面感生面电荷对应的电偶极场，类比电偶极矩的电势公式，可以立刻确定感生电偶极矩。与作业题中的介质球不同，理想导体球表面的面电流分布会形成感生磁偶极矩。由于理想导体内部无交变电磁场，这个问题可以等效为放置在均匀外磁场中的完全抗磁球体。该问题可以利用磁标量位求解，过程也与前面电偶极矩的求解类似，但需要注意，理想导体表面的磁场法向分量为零，因此对应的磁标位的边值条件是0armn。与电偶极子求解时的情况类似，磁标位中与r2成正比的一项对应于磁偶极场，从而可以确定感生磁偶极矩。这个问题与处于外磁场中的超导体球非常类似，可以参考教材第3版101页例3。估计是大家对静磁场问题未能给予足够的重视，印象中只有无34班王邦彦等少数同学得到了正确的结果。在求解电偶极矩时，有同学利用了静电场部分的知识，将求解均匀外场中导体球的边值问题转化为确定能够在球内形成匀强电场的球面电荷分布问题，而这可以通过研究两个球心相互错开的分别均匀分布正负电荷的球体来解决。类似的，在学习静磁场时，我们曾说明具有eJˆsin0Js形式的面电流分布会在球内形成匀强磁场。感兴趣的同学可以尝试根据这个结论，利用理想导体表面磁场与面电流的关系sJHnˆ，来确定均匀外磁场中理想导体球表面的面电流分布，从而确定磁偶极矩。顺便说一句，此题还可以假定导体球具有介电常数，类似于教材49页例2得到介质球的感应电偶极矩。根据电场垂直于导体表面，令，就能得到正确的电偶极矩。至于磁偶极矩的求解，只需假定介质球磁导率为，进行类似的运算后，令0即可保证满足磁场沿理想导体表面切向方向的要求。请同学们考虑一下为什么可以这样操作？感生时谐电偶极矩和磁偶极均会产生辐射，从而造成理想导体球对均匀平面波的散射。我们在课上强调过，当电偶极子和磁偶极子的辐射同时存在的情况下，在计算辐射能流时，应将二者的电场和磁场分别叠加后，再代入能流计算公式。不少同学在这里犯了错误，请再仔细考虑一下：先进行场的叠加再计算能流，与分别计算能流再进行求和，二者的差别在哪里？为避免过于复杂的运算，题目中只要求确定沿着电磁波传播的正方向和反方向上的散射能流。利用磁偶极矩与电偶极矩垂直的结论，考察沿入射波正方向和反方向上传播的辐射场的叠加结果，容易发现在正、反方向上电偶极子和磁偶极子的辐射场方向并不一致，造成辐射能流在两个方向上的不对称。部分同学认为磁偶极子与电偶极子的辐射场的比值应是~a/量级，由于a，可以忽略磁偶极子的辐射。但实际上本题中电偶极子和磁偶极子的辐射场是同一数量级的。请大家自己考虑一下这与课上的分析是否矛盾，为什么？不少同学试图从计算得到的电偶极矩所对应感应面电荷来计算导体球上的面电流分布，进而得到磁偶极矩，结果发现没法得到正确的答案。请这部分同学考虑一下，问题出在哪里？对本题感兴趣的同学可以进一步参考J.D.Jackson书中459-460页的讨论，（J.D.Jackson,ClassicalElectrodynamics,3rded.,NewYork:Wiley,1999）。4.本题考察的是同学们对均匀平面波、电偶极辐射、以及电磁波偏振等基本概念的掌握和综合分析能力。太阳发出的光可以视为均匀平面波，其电场矢量方向与传播方向垂直。气体分子的极化方向与入射阳光的电场方向一致，也垂直于阳光的传播方向。根据电偶极辐射的理论，偶极子的辐射电场方向垂直于偶极子与观察点的连线。若以电偶极子方向为极轴，辐射电场矢量的沿经线方向，振幅正比于极角的正弦。根据以上分析，容易判断不同方向观察到的散射光的偏振状态。不少同学错误地将非偏振光与圆偏振光混为一谈。实际上，非偏振光（自然光）指电磁波电场矢量方向随时间做无规则变化。这种无规则变化的根源在于形成自然光的辐射源可以看成由众多取向和初相均随机的电偶极子组成，因此其发射的电磁波的电场矢量方向随机变化，且在各个方向上的电矢量平均值相等。这种非偏振光与圆偏振光有着显著的不同：如果将自然光的电场矢量投影到垂直的两个方向上，得到的两个分量之间的相位是随机的，而将圆偏振光的电场矢量进行类似的分解，得到的两个垂直分量之间有确定的相位差/2或/2。实际上，对于线偏振、圆偏振和椭圆偏振，其垂直方向上的分量均具有固定的相位差，这与非偏振光（自然光）是有本质区别的。从这道题我们知道，天空中的散射光一般是部分偏振光。同学们可以利用偏振片对此进行实验验证。