第1章_绪论

1计计算算物物理理学学ComputationalPhysics刘金远大连理工大学物理学院2011.22第1章绪论计算物理学的英译文为“ComputationalPhysics”。通常人们也把它等同于计算机物理学（computerphysics）。在过去半个多世纪以来，计算物理学渗透到物理科学和工程学的各个研究方面，成为一门新兴的交叉科学。它是物理学、计算数学、计算机科学三者相结合的产物。计算物理学也是物理学的一个分支，它与理论物理、实验物理有着密切的联系，但又保持着自己相对的独立性。如果要给计算物理学做一个定义的话，我们可以采用下面这个有代表性的概括：计算物理学是以计算机及计算机技术为工具和手段，运用计算数学的方法，解决复杂物理问题的一门应用科学。计算物理学已经对复杂体系的物理规律、物理性质的研究提供了重要手段，对物理学的发展起着极大的推动作用。1.1计算物理学的起源和发展19世纪中叶以前，可以说物理学还基本上是一门基于实验的科学。1862年麦克斯韦（Maxwell）将电磁规律总结为麦克斯韦方程，进而在理论上预言了电磁波的存在。这使人们看到了物理理论思维的巨大威力。从此理论物理开始成为了一门相对独立的物理学分支。以后到了20世纪初，物理学理论经历了两次重大的突破，相继诞生了量子力学和相对论。理论物理开始成为一门成熟的学科。传统意义上的物理学便具有了理论物理和实验物理两大支柱，物理学便成为实验物理和理论物理密切结合的学科。正是物理学这样的“理论与实践相结合”的探索方式，大大促进了该学科的发展，并引发了20世纪科学技术的重大革命。这个革命对人类的社会生活产生了重大影响。其中一个重要的方面就是电子计算机的发明和应用。物理学研究与计算机和计算机技术紧密结合起始于20世纪40年代。当时正值第二次世界大战时期，美国在研制核武器的工作中，要求准确地计算出与热核爆炸有关的一切数据，迫切需要解决在瞬时间内发生的复杂的物理过程的数值计算问题。然而，采用传统的解析方法求解或手工数值计算是根本办不到的。这样，计算机在物理学研究中的应用就成为不可避免的事了，计算物理学因此得以产生。第二次世界大战之后，计算机技术的迅速发展又为计算物理学的发展打下了坚实的基础，大大增强了人们从事科学研究的能力，促进了各个学科之间的交叉渗透，使计算物理学得以蓬勃的发展。理论物理是从一系列的基本物理原理出发，列出数学方程，再用传统的数学分析方法求出解析解。通过这些解析解所得到的结论与实验观测结果进行对比分析，从而解释已知的实验现象并预测未来的发展。实验物理是以实验和观测为基本手段来揭示新的物理现象，奠定理论物理对物理现象作进一步研究的基础，从而为发现新的理论提供依据，或者检验理论物理推论的正确性及应用范围。计算物理则是计算机科学、数学和物理学三者间新兴的交叉学科，是物理计算科学的基础，是研究物理学中与数学求解相关的基本计算问题的学科。它研究的主要内容是如何应用高速计算机作为工具，去解决物理学研究中极其复杂的计算问题。计算物理学对解决复杂物理问题的巨大能力，使它成为物理学的第三支柱，并在物理学研究中占有重要的位置。计算物理学与理论物理和实验物理有着密切的联系。计算物理学的研究内容涉及物理学的各个领域。一方面，计算物理学所依据的理论原理和数学方程是由理论物理提供的，其结论还需要理论物理来分析检验；另一方面，计算物理学所依赖的数据是由实验物理提供的，其结果还要由实验来检验。对实验物理而3言，计算物理学可以帮助解决实验数据的分析、控制实验设备、自动化数据获取以及模拟实验过程等问题；对理论物理而言，计算物理学可以为理论物理研究提供计算数据，为理论计算提供进行复杂的数值和解析运算的方法和手段。总之，计算物理学是与理论物理、实验物理互相联系、互相依赖、相辅相成的。它为理论物理研究开辟了一个新的途径，也对实验物理研究的发展起了巨大的推动作用。1.2误差分析计算中误差是不可避免的，要求解是准确的是没有意义的（如何理解其含义？）。问题是怎样减少误差，提高准确度。1.2.1基本定义：1.误差误差是近似值与准确值之差，即：ZZE*（1-1）式中：E表示误差；*Z表示准确值，又称精确值、真值；Z表示近似值。2.误差限若存在一个小正数，使不等式*ZZ（1-2）成立，则称为近似值Z的绝对误差限，简称误差限。由此可得到下面的结果ZZZ*，E，*ZZ这表示准确值在[,]ZZ区间。绝对误差限不是唯一的，但是在实际应用中，一般按四舍五入的原则对准确值取近似值。所以按四舍五入方法得到近似数的绝对误差限是其末位的半个单位。3.相对误差绝对误差的大小还不能完全表示出近似值的精确程度，还必须考虑相对误差的大小。相对误差定义为：***||||||||rEZZEZZ（1-3）通常准确值*Z是无法求得的，而用其近似值代替：||/||rEEZ。（试证这种近似的误差与2*)/(ZE值同一数量级）。相对误差的绝对值上界称为相对误差限r，定义为：**rEZZZ【例题1.1】按四舍五入取的近似值3.14，试求其相对误差限解：按四舍五入取近似值3.14，其绝对误差限为0.005，0.0050.159%3.14r4.有效数字定义1：如果近似值Z的误差限不超过某一位上的半个单位，该位到Z的第一个非零数字共有n位，我们说，Z有n位有效数字。或者Z准确到该位。定义2：设近似数Z表示为120.10mnZxxx，(1,2,,)ixin取0~9的任意数字，但10x，n为正整数，m为整数。4若*1110101022nmmnZZ，则称Z为*Z的具有n位有效数字的近似值。例如：3.1415926，取3.14做为近似值，误差为3.14159263.14-21-30.001590.005=0.5100.510，有3位有效数字；若取3.141做为近似值，误差为-30.000590.0005=0.510，仍然是3位有效数字；若取3.142做为近似值，误差为-31-4-0.000410.0005=0.5100.510，有4位有效数字。【例题1.2】指出下列各数有几位有效数字，误差限是多少？2.0004，0.00200，9000，3109，3102【解】有效数字分别为：5,3,4,1,1；误差限分别为：0.00005,0.000005,0.5,500,0.0005【例题1.3】若近似数120.10mnZxxx有n位有效数字，证明其相对误差为(1)11102nrEx【证明】由于近似数120.10mnZxxx有n位有效数字，有关系*1102mnZZ，以及1110mZx，则*(1)1111101210102mnnrmZZEZxx例如，例题1.1近似数3.14的相对误差为0.005/3.140.005/3。关于有效数字，有如下几点结论：（1）由测量工具测得的数据，都是有效数字。例如由最小毫米刻度的尺子测量桌子的长度为1235.6毫米，有效数字5位，最后一位是估计数字，前面的4位是准确数字；反过来，由测得的数据，可以判断所用测量工具的最小刻度。（2）用四舍五入取准确值的前n位，都是有效数字。例如：3.1415926，取近似值3.14，是按四舍五入取近似值，则是3位有效数字；取近似值3.141，不是按四舍五入取近似值，仍然是3位有效数字；取近似值3.142，是按四舍五入取近似值，是4位有效数字。（3）由有效数字表示的近似数330010与300000是不同的：前者是3位有效数字，误差限不超过500；后者是6位有效数字，误差限不超过0.5。（4）准确值被认为有无穷位有效数字。1.2.2误差来源1.模型误差（ModelingError）：对实际物理问题做了某些近似假设后抽象出数学模型带来的误差。2.观测误差（MeasurementError）：实验测量得到测量值带来的误差。3.截断误差（TruncationError）：近似求解的方法误差。例如，在计算机计算函数值时，通常按泰勒展开式进行计算。实际计算时，只能取有限项计算，后面各项被截去了，产生截断误差。【例题1.4】已知函数xey，且1x，若要求截断误差的误差限为0.005，那么需要计算到多少项才能满足要求？【解】由于1x，)(!!212xRnxxxennx，)10(,)!1()(1xnnenxxR由于1x，)10(，可以估计：3eex，则得：005.0)!1(3)(nxRn，解不等式得5n，由此取5n，当1x时，计算得2.716667e，较准确的近似值为71828.2e，误差为：005.00016148.0716667.271828.2E，有3位有效数字。5实际上，根据截断误差限为0.005的要求，知有效数字为3位，结果一致。4.舍入误差（RoundoffError）计算时由于机器字长有限，对其小数指定位进行四舍五入而引起的误差。一般而言，一次舍入不会产生很大误差，但随着多次舍入运算，误差会积累放大。例如：kkkkkkzZzZ**,，kkkkkkkkzzzzZZE***)(设每次舍入计算时舍入误差为，则kkkzzE*，由此有kkkkkkzzZZE**其中kk是舍入误差的放大系数。误差积累会造成数值计算的不稳定性。例如：计算积分110nxnIxedx，1,2,n利用分部积分法得到1111110011nxnxnnIxedxnxedxnI，容易看出由1I可以递推计算出2I，依次递推3,I等。设初值1I的误差为，这样21132112()1221313(12)3!IIIIII递推计算到20I时，误差累计到20!，已相当可观，数值计算出现不稳定性，说明上面采用了不稳定的迭代格式。如果考虑下面迭代计算格式11nnIIn，,4,3,2,1n由关系：1110011nxnnIxedxxdxn取300I，递推计算到20I，误差会减小到1620!131030!31一个实际计算的物理问题往往会涉及多种近似。例如，计算地球的表面积采用的公式：24Sr，其中涉及模型误差：近似认为地球是球形的；测量误差：近似认为地球半径6370rkm；舍入误差：近似取的近似值。计算物理中多数情况下关心的是截断误差和舍入误差。1.2.3数值运算误差数值运算由于数据的误差必然引起函数值的误差。如计算),(yxfz,设**,yx为准确值，则函数运算的误差)(),()(),()(),()(),(),(),()(****yEyyxfxExyxfyyyyxfxxxyxfyxfyxfzE由此可得和、差、积、商的误差。1.3数值计算应注意的问题1.3.1避免相近二数相减6两个相近数的前几位有效数字是相同的，相减后有效数字位会大大减少。例如：64.311001，62.311000，求)10001001(的值。可以看到，直接相减结果为0.02，只有1位有效数字。计算中损失了3位有效数字。为了避免两个相近的近似值相减，可改变计算方式，如因式分解，分母有理化，三角公式变换，泰勒展开等。01581.062.3164.311)10001001(1)10001001()10001001)(10001001()10001001(另外还有其他一些方法，例如当1x接近2x时：)lg(lglg2121xxxx；当)(1xf与)(2xf很接近，计算，)()(12xfxf，可采用泰勒展开212112112))((''21))((')()(xxxfxxxfxfxf1.3.2防止大数吃掉小数计算机的位数有限，进行加减法运算时要对阶和规格化。例如在四位浮点机上做运算：53104506.0107