第1章函数与极限习题解答

第1章函数与极限习题解答1第1章函数与极限习题解答1.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.解不一定.例如,当x0时,(x)2x,(x)3x都是无穷小,但32)()(lim0xxx,)()(xx不是无穷小.2.函数yxcosx在(,)内是否有界？这个函数是否为当x时的无穷大？为什么？解函数yxcosx在(,)内无界.这是因为M0,在(,)内总能找到这样的x,使得|y(x)|M.例如y(2k)2kcos2k2k(k0,1,2,),当k充分大时,就有|y(2k)|M.当x时,函数yxcosx不是无穷大.这是因为M0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的x,都有|y(x)|M.例如0)22cos()22()22(kkky(k0,1,2,),对任何大的N,当k充分大时,总有Nkx22,但|y(x)|0M.3.证明:函数xxy1sin1在区间(0,1]上无界,但这函数不是当x0+时的无穷大.证明函数xxy1sin1在区间(0,1]上无界.这是因为M0,在(0,1]中总可以找到点xk,使y(xk)M.例如当221kxk(k0,1,2,)时,有22)(kxyk,当k充分大时,y(xk)M.当x0+时,函数xxy1sin1不是无穷大.这是因为M0,对所有的0,总可以找到这样的点xk,使0xk,但y(xk)M.例如可取kxk21(k0,1,2,),当k充分大时,xk,但y(xk)2ksin2k0M.4.计算下列极限:(1)121lim22xxxx;第1章函数与极限习题解答2解2111211lim121lim2222xxxxxxxx.(2)13lim242xxxxx;解013lim242xxxxx(分子次数低于分母次数,极限为零)或012111lim13lim4232242xxxxxxxxxx.(3))1311(lim31xxx;解112lim)1)(1()2)(1(lim)1)(1(31lim)1311(lim212122131xxxxxxxxxxxxxxxxxxx.(4)xxx1sinlim20;解01sinlim20xxx(当x0时,x2是无穷小,而x1sin是有界变量).(5)xxxarctanlim.解0arctan1limarctanlimxxxxxx(当x时,x1是无穷小,而arctanx是有界变量).(6)xxxcotlim0;解1coslimsinlimcossinlimcotlim0000xxxxxxxxxxxx.(7)xxxxsin2cos1lim0;解法122200021cos21cos22limlimlim2sinxxxxxxxxxx.解法22sinlim2sinsin2limsin2cos1lim0200xxxxxxxxxxx.(8)nnnx2sin2lim(x为不等于零的常数).解xxxxxnnnnnn22sinlim2sin2lim.第1章函数与极限习题解答3(9)xxx10)21(lim;解22210221010)21(lim)21(lim)21(limexxxxxxxxx.(10)xxxx2)1(lim;解222)11(lim)1(limexxxxxxx.5.利用极限存在准则证明:(1)111limnn;证明因为nn11111,而11limn且1)11(limnn,由极限存在准则I,111limnn.(2)11211lim222nnnnnn;证明因为22222221211nnnnnnnnnn而1lim22nnnn,1lim22nnn,所以11211lim222nnnnnn(3)11lim0xxx.证明因为xxx1111,所以111xxx.又因为11lim)1(lim00xxx,根据夹逼准则,有11lim0xxx.6.无穷小概念题(1)当x0时2xx2与x2x3相比哪一个是高阶无穷小？解因为02lim2lim202320xxxxxxxxx,所以当x0时x2x3是高阶无穷小,即x2x3o(2xx2).(2)当x1时无穷小1x和(ⅰ)1x3,(ⅱ))1(212x是否同阶？是否等价？解(ⅰ)因为3)1(lim1)1)(1(lim11lim212131xxxxxxxxxxx,所以当x1时,1x和1x3是同阶的无穷小,但不是等价无穷小.(ⅱ)因为1)1(lim211)1(21lim121xxxxx,所以当x1时,1x和)1(212x是同阶的无穷小,而且是等价无穷小.第1章函数与极限习题解答47.利用等价无穷小的性质求下列极限:解(1)2323lim23tanlim00xxxxxx.(2)mnmnmnxxxxmnxmnx01lim)(sin)sin(lim00.(3)33001sin(1)tansincoslimlimsinsinxxxxxxxx2220011cos12limlimcossincos2xxxxxxxx.(4)因为sintantan(cos1)xxxx22312tansin~2()222xxxxx，(x0)，322111~3xx(x0)，111sin1~sin~22xxx(x0),所以3320021sintan2limlim311(11)(1sin1)32xxxxxxxxx.8.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类,如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122xxxy，x1，x2；解)1)(2()1)(1(23122xxxxxxxy.因为函数在x2和x1处无定义,所以x2和x1是函数的间断点.因为231limlim2222xxxyxx,所以x2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim11xxyxx,所以x1是函数的第一类间断点,并且是可去间断点.在x1处,令y2,则函数在x1处成为连续的.(2)xxytan,xk,2kx(k0,1,2,)；解函数在点xk(kZ)和2kx(kZ)处无定义,因而这些点都是函数的间断点.因xxkxtanlim(k0),故xk(k0)是第二类间断点;因为1tanlim0xxx,0tanlim2xxkx(kZ),所以x0和2kx(kZ)是第一类间断点且是可去间断点.令y|x01,则函数在x0处成为连续的;第1章函数与极限习题解答5令2kx时,y0,则函数在2kx处成为连续的.(3),1cos2xyx0；解因为函数xy1cos2在x0处无定义,所以x0是函数xy1cos2的间断点.又因为xx1coslim20不存在,所以x0是函数的第二类间断点.(4)1311xxxxy，x1。解因为0)1(lim)(lim11xxfxx2)3(lim)(lim11xxfxx,所以x1是函数的第一类间断点，跳跃间断点。9.讨论函数xxxxfnnn2211lim)(的连续性,若有间断点,判别其类型.解1||1||01||11lim)(22xxxxxxxxxfnnn.在分段点x1处,因为1)(lim)(lim11xxfxx,1lim)(lim11xxfxx,所以x1为函数的第一类间断点，跳跃间断点。在分段点x1处,因为1lim)(lim11xxfxx,1)(lim)(lim11xxfxx,所以x1为函数的第一类间断点，跳跃间断点。10.求下列极限:解(1)0011(11)(11)limlim(11)xxxxxxxx001limlim(11)11xxxxxx112011.(2)1154(54)(54)limlim1(1)(54)xxxxxxxxxxxx144lim(1)(54)xxxxx214154454lim1xxx.(3))())((lim)(lim22222222xxxxxxxxxxxxxxxxxx第1章函数与极限习题解答61)1111(2lim)(2lim22xxxxxxxxx.(4)eexxxxxx21212)11(lim)11(lim.(5)33tan3120cot2022)tan31(lim)tan31(limexxxxxx.(6)3161623233()(1)66xxxxxxx.因为exxx36)631(lim，232163limxxx，所以2321)63(limexxxx.(7)201tan1sinlim1sinxxxxxx2202(1tan1sin)(1sin1)lim(1sin1)(1tan1sin(1tan1sin)(1sin1))xxxxxxxxxxx220(tansin)(1sin1)limsin(1tan1sin)xxxxxxxx22200tan2tan(1cos)12limlim2sin2xxxxxxxxxx。11.设函数00)(xxaxexfx应当如何选择数a,使得f(x)成为在(,)内的连续函数？解要使函数f(x)在(,)内连续,只须f(x)在x0处连续,即只须afxfxfxx)0()(lim)(lim00.因为1lim)(lim00xxxexf,axaxfxx)(lim)(lim00,所以只须取a1.12.证明题(1)证明方程x53x1至少有一个根介于1和2之间.证明设f(x)x53x1,则f(x)是闭区间[1,2]上的连续函数.因为f(1)3,f(2)25,f(1)f(2)0,所以由零点定理,在(1,2)内至少有一点(12),使f()0,即x是方程x53x1的介于1和2之间的根.因此方程x53x1至少有一个根介于1和2之间.第1章函数与极限习题解答7(2)证明方程xasinxb,其中a0,b0,至少有一个正根,并且它不超过ab.证明设f(x)asinxbx,则f(x)是[0,ab]上的连续函数.f(0)b,f(ab)asin(ab)b(ab)a[sin(ab)1]0.若f(ab)0,则说明xab就是方程xasinxb的一个不超过ab的根;若f(ab)0,则f(0)f(ab)0,由零点定理,至少存在一点(0,ab),使f()0,这说明x