第21讲三角函数值域问题的破解策略

黄金试题高考必练三角函数值域问题的破解策略策略1：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数bkxy型,再由三角函数的有界性得解.(其中x为正弦或余弦函数,bk,为常数)1.1形如cbaycossin的函数,可设22sinbab,22cosbaa,逆用和角公式得到,sin22cbay化为一次函数bkxy型.例1：定义在R上的函数xxxfcos3sin)(的最大值是.1.2形如dxcxxbxay22coscossinsin的函数可先逆用倍角公式化归为例1的形式再求解.例2：已知函数)cos(sinsin2)(xxxxf.求函数)(xf的最大值.1.3形如)cos(sinxbxay或)cos(sinxxay的的函数（式中也可以是同名函数），可先用和角公式展开，化归为例1、例2的形式求最值.例3：函数)80sin(5)20sin(300xxy的最大值是（）A.211B.637C.7D.60000:20,3sin5sin(60)3sin5(sincos60cossin60)xy解设则11531153sincos7(sincos)7sin()221414(其中1435sin,1411cos)，7,1)sin(取得最大值时当y.例4：求函数xxycos)6sin(的最小值.解:xxycos)6sin(231(sincoscossin)cossincoscos6622xxxxxx31111sin2cos2sin(2)444264xxx43,1)62sin(取得最小值时当yx.1.4形如sinsinaxbycxd的函数可分离常数，利用有界性求解.例5：求函数的最大值和最小值.1.5形如dxcbxaycossin的函数可将y看作参数，化归为例1的形式求解.例6：一条河宽1km，两岸各有一座城市A与B，A与B的直线距离为4km，今需铺设一条电缆线连接A与B。已知地下的电缆修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km。假定河两岸是平行的直线，问应如何铺设电缆方可使总施工费用达到最少解：设CAD，则,sec,ADtgCDACDBtgDBCB15,15设总费用为y万元，则42sin4sec2215215(0)cos2ytg现求)20(cossin24u的最小值:黄金试题高考必练22minmin4cos2sin4,sin()432,1,,sin()12444,44,23,2323215,153uuuuarctgarctguuyBD由可得故若取最小值即即水下电缆应从距B城（3315）km处向A城铺设。1.6参数型,注意分类讨论,特别小心定义域对值域的限制.例7：函数baxxaxaycossin32sin22的定义域为2,0,值域为1,5,求常数ba,的值.:(1cos2)3sin2(3sin2cos2)22(sin2coscos2sin)22sin(2)2666yaxaxabaxxabaxxabaxab解702,2666xx由知1sin(2)126x故,)62sin(22,0)axaaai则若2sin(2)23()3.6baxababbfxab即312,55ababb由已知得即)0,(),)0,2sin(2)2,3().6iiafxbiiiaaaxaabfxb若则不合题意若则得1222,35151baaaabbbb由已知得即综上所述或策略2：通过换元转化为二次函数cbtaty2型,求一元二次函数在区间上的值域问题.2.1求形如cxbxaysinsin2的函数的值域可利用换元化归为一元二次函数在区间上的值域问题，小心定义域对值域的限制.例8：求函数32,3,4cos4sin32xxxy的值域.222maxmin21:3cos4cos13(cos),332112111cos,,,,3(),,,3322332211511115,;,,,242444yxxxtxxtytttyty解设由得当时当时故函数值域为2.2求同时含有xxcossin与xxcossin（或xxcossin）的函数的值域，一般令txxcossin(或txxcossin)可以化归为求cbtaty2在区间上的值域，要注意t的取值范围.例9：当Rx时,求函数xxycossin+2cossin2xx的最值.若2,0x呢？黄金试题高考必练2221:sincos,sincos,2sin()2,224131()24ttxxxxtxyttt解设则且23,2,43,21maxminytyt时当时当minmax0,,1,2,1,3,2,322xttyty又若则当时当时2.3参数形,分类讨论，注意定义域对值域的限制.例10：函数)0(sincos2abxaxy的定义域为2,0，值域为0,4，求常数ba,.解;bxaxysincos2bxaxsinsin1222sin1,24aaxb22sin1,1,1,1,124aatxytbt令则)2,1,0,0(1)1,4,4(2).(1)(2)2,2iatybatybaab若则当时取最大值即而当时取最小值即联立解得2)02,,0,10(3),1,4,4(4).24(3)(4),26,,,.,2,2aaiiatybtybaaaab若则当时取最大值即而当时取最小值即联立解得或经检验都不合题意舍去综上所述练习：1、求xxxxy22cos3cossin2sin的最小值，并求使y取最小值时x的集合.2、求)cos(sinsin2xxxy的值域。1、求1)32cos(2sinxxy的值域.1、若函数4cossin2xaxy的最大值为1，则a=2、函数的xxbxaycos)sincos(有最大值2，最小值-1，求实数ba,的值。3、若函数baxaxay2cossin22的定义域为2,0，值域为1,5，求常数ba,的值。4、求函数cos2sin2y的最大值和最小值.1、求函数4sin5cos22xxy的值域；2、求函数32,3,cos2sin2xxxy的值域。1、函数)26)(1)(cos1(sinxxxy的最小值是2、求函数xxxxycossincossin的最大值。1、函数baxaxaysin22sin22的定义域为2,0，值域为1,5，求常数ba,的值。2、函数)(2cos2sin2cos211)(Raxxaxxf的最大值为3，求a的值。