第23讲正弦定理和余弦定理

2013年高考第一轮复习资料—理科数学1第23讲正弦定理和余弦定理【考点解读】1．理解并掌握正弦定理，余弦定理和面积公式；2．能正确运用正弦定理，余弦定理及关系式ABC，解决三角形中的计算和证明问题。【知识扫描】1．三角形的内角和定理：三角形三个内角和为（解题请不要忘记！）任意两角和与第三个角总互补，任意两个内角的半角和与第三个角的半角总互余，这样，就可以运用诱导公式了.如sin()sinABC，sincos22ABC等。2．正弦定理：2sinsinsinabcRABC(R为三角形外接圆的半径)。（1）正弦定理的一些变式：①sinsinsinabcABC；②sin2bBR（起到化角为边的作用）；③2sinaRA（起到化边为角的作用）。（2）已知三角形两边一对角，运用正弦定理求解三角形时，要注意判断解的情况。3．余弦定理：两种形式：2222cosabcbcA；222cos2bcaAbc，已知三角形两边一角，或三边时常用余弦定理，判断三角形的形状时也常用余弦定理.4．面积计算公式：（1）12aSah；（2）1sin2SabC（3）1()2Srabc，其中r为三角形内切圆的半径；（4）()()()Sppapbpc，其中1()2pabc。5．解含有边角混合关系的三角形时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化（包括化边为角；化角为边）。6．解斜三角形的常规思维方法：（1）已知两角和一边（如A、B、c），由ABC求角C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边及其夹角（如a、b、C），用余弦定理求边c；再用正弦定理先求较短边所对的角（A或B），然后利用ABC，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），用正弦定理求B（要注意解的结果可能有多种情况），由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求边c；（4）已知三边，用余弦定理求角。（5）三角形内切圆的半径2ABCSrabc，特别地直角三角形的内切圆的半径2abcr（其中c为斜边）；【考计点拨】牛刀小试：1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于()A.6B．2C.3D.2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sinC，2013年高考第一轮复习资料—理科数学2∴sinC＝12.又∵C为锐角，∴C＝30°，∴A＝30°，△ABC为等腰三角形，a＝c＝2.故选D.2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝π3，b＝1，△ABC的面积为32，则a的值为()A．1B．2C.32D.3解析：选D.由已知得：12bcsinA＝12×1×c×sin60°＝32⇒c＝2，则由余弦定理可得：a2＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3⇒a＝3.3．在△ABC中，cos2Bcos2A是AB的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.cos2Bcos2A⇒1－2sin2B1－2sin2A⇒sin2Bsin2A⇒sinAsinB⇒AB.4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝14(b2＋c2－a2)，则∠A＝________.解析：由已知得：12bcsinA＝14(b2＋c2－a2)⇒b2＋c2－a22bc＝sinA，由余弦定理可得cosA＝sinA⇒A＝π4.答案：π45．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a＋b＋c＝2＋1，sinA＋sinB＝2sinC，则c＝________；若C＝π3，则△ABC的面积S＝________.解析：依题意及正弦定理得a＋b＝2c，且a＋b＋c＝2＋1，因此c＋2c＝2＋1，c＝1，当C＝π3时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝1，∴(a＋b)2－3ab＝1.又a＋b＝2，因此2－3ab＝1，∴ab＝13，则△ABC的面积S＝12absinC＝12×13sinπ3＝312.答案：13126．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA2＝255，AB→·AC→＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若c＝1，求a的值．解：(1)因为cosA2＝255，所以cosA＝2cos2A2－1＝35，sinA＝45.又由AB→·AC→＝3，得bccosA＝3，所以bc＝5.因此S△ABC＝12bcsinA＝2.2013年高考第一轮复习资料—理科数学3(2)由(1)知，bc＝5，又c＝1，所以b＝5，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，所以a＝25.考点一正弦定理和余弦定理【例1】在ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且cos.cos2BbCac[（1）求角B的大小；（2）若23b，求ABC面积的最大值．【解析】（1）由coscossincos2cos2sinsinBbBBCacCAC得即2sincoscossinsincos0ABBCBC，2sincossin()0,sin(2cos1)0ABBCAB，又10,sin0,cos2AAB则，20,3BB（2）222222cos,123,4bacacBacacacac113sin43222ABCSacB（当且仅当ac时取等号）【变式训练】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B的值为（）A.6B.3C.6或56D.3或23【标准解析】考查余弦定理的运用【技巧点拨】先利用余弦定理变形，找到角的关系式，然后求解。【答案】D要点二正余弦定理在三角形中的运用【例2】已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sincos1BB，1b．（Ⅰ）若125A，求c；（Ⅱ）若ca2，求A．整理得21)6sin(B．因为B0，2013年高考第一轮复习资料—理科数学4所以6566B.故66B，解得3B.由512A，且CBA，得4C.由BbCcsinsin，即3sin14sinc，解得36c.………………7分（Ⅱ）因为Baccabcos2222，又32Bca，,所以21442222cccb，解得cb3.………………10分由此得222cba，故△ABC为直角三角形，2A△ABC中，a+b=10，而cosC是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值奎屯王新敞新疆【命题立意】本试题是考查运用余弦定理在解三角形中的简单运用。【标准解析】：由余弦定理可得Cabbaccos2222，然后运用函数思想加以处理奎屯王新敞新疆【误区警示】能分析已知，得到选择合适定理进行解答。[来源:Z§xx§k.Com]【变式训练】CBbaAcABC,,2,45,60和求中，【标准解析】考查正弦定理在解三角形中的运用【技巧点拨】正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:【答案】解：23245sin6sinsin,sinsin0aAcCCcAa0012060,sin或CcaAc1360sin75sin6sinsin,75600000CBcbBC时，当，2013年高考第一轮复习资料—理科数学51360sin15sin6sinsin,151200000CBcbBC时，当或0060,75,13CBb00120,15,13CBb问要点三方位角【例3】海中小岛A处周围38海里内有暗礁，一轮船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果该船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险解析：船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于小岛A到航线BC的距离和38海里的大小，所以我们只要先算出AC(或AB)的长,再算出A到直线BC的距离,将其与38海里比较即可在△ABC中,BC=30,∠ABC=30°,∠ACB=135°，所以∠BAC=15°.由正弦定理知，=,即=,AC==60cos15°=60cos(45°-30°)=60(cos45°cos30°+sin45°sin30°)=15(+).于是，A到BC所在直线的距离为：ACsin45°=15(+)×≈40.98(海里).它大于38海里,所以船继续向南航行,没有触礁的危险.变式练习：若P在Q的北偏东44°，则Q在P的()A.东偏北45°B.东偏北44°C.南偏西44°D.西偏南44°解析：由方位角的定义可知，Q应在P的南偏西44°.规律小结：注意方位与方位角，此类题常用三角应用问题联系起来，是常考内容。考点四：应用问题奎屯王新敞新疆例题四：在200米高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是30°、60°，求塔高解析：画出示意图(如图)，由题意可知，∠DAC=60°，∠OAC=∠DAB=30°，在△AOC中，AO=200，所以OC=,而AD=OC=,在△ABD中，BD=sinBCBACsinACABC30sin15sin30AC30sin30sin156226222003320033200333320032013年高考第一轮复习资料—理科数学6×=,因此塔高为(米)变式练习：如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B望对岸的标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120m，则这条河的宽度为m.规律小结：1．三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）；２．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；３．实际问题中有关术语、名称．（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．4003