第27课时相似图形

1第27课时相似图形【基础知识梳理】1．比例线段对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即___________，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．注意：成比例线段一定要按顺序，线段成比例没有顺序．2.比例的性质⑴基本性质：如果a:b=c:d(dcba),那么___________；如果ad=bc（a、b、c、d都不等于0），那么___________．⑵合比性质：如果dcba,那么bba___________．⑶等比性质：如果nmdcba（b+d+···+n≠0），那么ndbmca___________．注意：⑴反比性质：如果dcba,那么cdab．⑵更比性质：如果dcba,那么dbca．⑶比例中项：如果cbba（acb2），那么b叫做a和c的比例中项．3．黄金分割在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），如果__________，那么线段AB被点C黄金分割。点C叫做线段的黄金分割点，AC与BC的比叫做黄金比，即BCAC___________≈___________．注意：⑴一条线段有两个黄金分割点．⑵黄金矩形：宽与长之比为黄金比（21-5长宽≈0.618）⑶黄金三角形：顶角为o36的等腰三角形，底与腰之比为黄金比（21-5腰底≈0.618）4.相似多边形⑴定义：各角对应__________、各边对应__________的两个多边形叫做相似多边形（定义也是判别）．相似多边形__________叫做相似比．⑵性质：①对应角__________，对应边__________；②周长比等于__________；面积比等于__________．注意：⑴各角对应相等的两个多边形不一定相似（如两个矩形）；⑵各边对应相等的两个多边形不一定相似（如两个菱形）；⑶两个边数相等的正多边形一定相似．5.相似三角形⑴性质：①对应角__________，对应边__________；②相似三角形___________的比、对应角平分线的比和___________的比都等于___________的比；周长比等于___________；面积比等于___________．⑵判别：①两角对应__________的两个三角形相似；②两边对应__________且夹角__________的两个三角形相似；③三边对应__________的两个三角形相似．2注意：(1)全等是特殊的相似，即相似比为1：1（2）相似三角形分类：①A型斜A型（DE∥BC）（DE不平行于BC）②X型斜X型（AB∥CD）（AB不平行于CD）（3）当条件中出现“某三角形与某三角形相似”往往要进行分类讨论；当出现“某三角形～某三角形”时是唯一确定的．6.位似图形⑴定义：如果两个图形不仅是__________，而且每组对应点所在的直线都经过__________，那么这样的两个图形叫做位似图形．这个点叫做__________，这时的相似比又称为__________．⑵性质：①位似图形上任意一对对应点到__________的距离之比等于__________．②对应线段的比等于__________；③周长比等于__________；面积比等于__________．注意：⑴相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；⑵位似图形的放大或缩小要考虑两种情况：同方向和反方向各做一个．7.相似三角形的应用相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，这一应用建立在数学建模和数形结合的思想的基础上，把实际问题转化为__________问题，通过求解数学问题达到解决__________问题的目的．注意：⑴黄金分割的应用：如舞台主持人的位置、妈妈穿高跟鞋的高度等问题；⑵利用相似测量物体的高度：如旗杆的高度、物体的影长等问题．【基础诊断】1．（2012甘肃凉山州）已知513ba，则abab的值是（）A．23B．32C．94D．492．（2012贵州铜仁）如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A．∠E=2∠KB．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKLABCDEABCDEABCDABCDEABCDO33．（2011重庆江津）已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB、CD交于O点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是()A.都相似B.都不相似C.只有(1)相似D.只有(2)相似4.（2012山东菏泽）如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：，使△ABC∽△ADE．5.（2012山东东营）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是（）A．（-2，3）B．（2，－3）C．（3，-2）或（－2，3）D．（-2，3）或（2，-3）【精典例题】例1.（2012贵州遵义）如图，在△ABC中，EF∥BC，=，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9B．10C．12D．13点拨：本题考查了相似三角形的性质和判定的应用：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．例2.（2012山东泰安）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB与△BDG的面积之比为（）A.9：4B.3：2C.4：3D.16：9点拨:本题综合考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方等知识，体现转化、数形结合等数学思想。例3（2012凉山州）如图，在矩形ABCD中，6AB，12AD，点E在AD边上，且8AE，EFBE交CD于F。（1）求证：~ABEDEF△△；（2）求EF的长。35°75°75°70°(1)ABCDO4368(2)4点拨：本题考查矩形的性质、平角的定义、同角的余角相等、相似三角形的性质与判别、勾股定理等知识，体现数形结合的思想和用相似或解直角三角形解决线段相关计算的经验。例4（2013学考预测）如图，在△ABC中，∠CBA=90°，AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，（1）几秒钟时△PBQ的面积等于8cm2？（2）几秒钟时△PQB的面积最大？（3）几秒钟时△PQB与△ABC相似？点拨：本题属于综合题，考查一元二次方程的应用，利用二次函数解决最值，相似三角形的知识，同时考查数形结合、分类讨论思想。【自测训练】A组—基础训练一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）1．（2011四川广安）下列命题中，正确的是（）A．过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条B．对角线相等的四边形是矩形C．两条边及一个角对应相等的两个三角形全等D．位似图形一定是相似图形2．（2010广西桂林）如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与△ABC的面积比为（）．A．1：2B．1：4C．2：1D．4：13．（2011浙江台州）若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们的周长之比为（）A.1:2B.1:4C.1:5D.1:16ADEBC54．（2012山东省聊城）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，下列结论不正确的是（）A.BC=2DEB.△ADE∽△ABCC.ACABAEADD.ADEABCSS35.（2012湖北咸宁）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（）．A．(2，0)B．(23，23)C．(2，2)D．(2，2)二、填空题1．（2012·湖南省张家界市）已知ABC△与DEF△相似且面积比为4∶25，则ABC△与DEF△的相似比为．2．(2012贵州黔西南州)如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若AD=1，BC=3，△AOD的面积为3，则△BOC的面积为___________．3.（2010上海）如图2，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，则DB=__________.4.（2012湖南湘潭）如图，在□ABCD中，点E在DC上，若EC：AB=2：3，EF=4，则BF=．5.（2012湖北随州）如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为______________。三、解答题1．（2012北京）已知023ab≠，求代数式225224ababab的值．（第5题）yxAOCBDEFDABC图262.（2012湖南株洲市）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）求证：△COM∽△CBA；（2）求线段OM的长度.3.（2012贵州黔东南州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D。（1）求证：△ABC∽△BDC。（2）若AC=8，BC=6，求△BDC的面积。4.(2013学考预测)如图△ABC是等边三角形,P为BC上一点,D为AC上一点,若∠APD=60°.（1）求证:△APB∽△PCD（2）若BP=1，CD=32，求△ABC的边长B组—提升训练一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）1.（2011山东省潍坊市）已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一点E,7沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A．215B．215C．3D．22.（2012四川省资阳市）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是A．63B．123C．183D．2433.（2012湖北荆州）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是()4.(2012山东日照)在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F,若EC=2BE,则FDBF的值是（）A.21B.31C.41D.515.（2012广西玉林）如图，正方形ABCD的两边BC、AB分别在平面直角坐标系内的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=23，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（）二、填空题1.（2012上海）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，那么AB的长为．ACBA．B．C．D．ABCDFENMDACB82.（2012浙江省衢州）如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若△DEF的面积为a，则□ABCD中的面积为.(用a的代数式表示)3.（2012江苏南京）如图，在平行四边形ABCD中，AD=10厘米，CD=6厘米，E为AD上一点，且BE=BC,CE=CD，则DE=厘米.4.（2011江苏苏州）如图，已知△ABC的面积是3的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于__________（结果保留根号）.5.（2012浙江嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交GD、CA于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接