第28讲区间套定理2009

《数学分析I》第28讲教案1第28讲上（下）确界与区间套定理授课题目上（下）确界与区间套定理教学内容1.数集合的上（下）界，2.数集合的上确界和下确界，3.确界原理；4.区间套定理及应用；．教学目的和要求通过本次课的教学，使一般的学生能够了解区间套定理，了解实数集合的有界性和确界概念；使对较好学生能够地掌握区间套定理及应用，理解实数集合的有界性和确界概念，会证明一些具体数集合的确界问题教学重点及难点教学重点：重点是区间套定理；教学难点：确界概念和确界原理.教学方法及教材处理提示(1)复习中学的有关实数的知识．(2)本讲的重点是区间套定理及其推论，明确区间套所确定的点就是区间列]},[nnba端点所对应数列}{na和}{nb的极限.(3)应用区间套定理及其推论来证明数列收敛的柯西准则，讲清讲透，使较好的学生能掌握.(4)本讲的难点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对较好学生可只布置证明具体集合的确界的习题．作业布置作业内容：教材9P:2;4(3,4);5；7。讲授内容一、有界集.确界原理定义1设S为R中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切Sx，都有xM(xL)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)．若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集．若S不是有界集，则称S为无界集．例1证明数集nnN|{为正整数}有下界而无上界．定义2设S是R中的一个数集．若数满足：（i）对一切Sx，有x，即是S的上界；（ii）对任何存在Sxo，使得ox即又是S的最小上界则称数为数集S的上确界，记作Ssup定义3设S是R中的一个数集．若数满足：（i）对一切Sx，有x，即是S的下界（ii）对任何，存在Sxo，使得,ox即又是S的最大下界，则称数为数集S的下确界，记作Sinf上确界与下确界统称为确界．例1设xxS|{为区间)1,0(中的有理数}.试按上、下确界的定义验证：.0inf,1supSS解：先验证:1supS（i）对一切Sx，显然有1x即1是S的上界．(ii)对任何1，若0，则任取Sxo都有ox；若0，则由有理数集在实数集中的稠密《数学分析I》第28讲教案2性，在)1,(中必有有理数ox即存在Sxo，使得ox．类似地可验证0infS注1由上(下)确界的定义可见，若数集S存在上(下)确界，则一定是唯一的．又若数集S存在上、下确界，则有SSsupinf．数集S的确界可能属于S，也可能不属于S．定理1.1(确界原理)设S为非空数集．若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界．证明略例2设BA,为非空数集，满足：对一切Ax和By有yx．证明：数集A有上确界，数集B下确界，且BAinfsup.证：由假设，数集B中任一数y都是数集A的上界，A中任一数x都是B的下界，故由确界原理推知数集A有上确界，数集B有下确界．现证不等式，对任何By，y是数集A的一个上界，而由上确界的定义知，Asup是数集A的最小上界，故有yAsup．而此式又表明数Asup是数集B的一个下界，故由下确界定义证得BAinfsup．二、区间套定理与柯西收敛准则定义1设闭区间列nnba,具有如下性质：（¡）nnba,11,nnba，,2,1n；（¡¡）0)(limnnnab，则称nnba,为闭区间套，或简称区间套。这里性质（¡）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：.1221bbbaaann（1）定理7.1（区间套定理）若nnba,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得nnba,，,2,1n，即nanb，.,2,1n（2）证：由（1）式，na为递增有界数列，依单调有界定理，na有极限，且有.,2,1,nan（3）同理，递减有界数列nb也有极限，并按区间套的条件（¡¡）有nnnnablimlim，（4）且.,2,1,nbn（5）联合（3）、（5）即得（2）式。《数学分析I》第28讲教案3最后证明满足（2）的是唯一的。设数也满足,,2,1,nbann则由（2）式有.,2,1,nabnn由区间套的条件（¡¡）得0)(limnnnab，故有.由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质：推论若),2,1(,nbann是区间套nnba,所确定的点，则对任给的0，存在N0，使得当nN时有nnba,．；U注：区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立。对于开区间列，如n1,0，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且001limnn，但不存在属于所有开区间的公共点.作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的“数列的柯西收敛准则”（定理2.10）.定理2.10数列na收敛的充要条件是:对任给的0,存在0N,使得对Nnm,有||nmaa.证：[必要性]设Aannlim.由数列极限定义,对任给的0,存在0N,当Nnm,时有,2Aam2Aan因而22AaAaaanmnm[充分性]按假设,对任给的0,存在0N,使得对一切Nn有Nnaa,即在区间NNaa,内含有na中几乎所有的项(这里及以下,为叙述简单起见,我们用“na中几乎所有的项”表示“na中除有限项外的所有项”).据此,令21,则存在1N,在区间21,2111NNaa内含有na中几乎所有的项.记这个区间为11,.再令221，则存在)(12NN，在区间2221,2122NNaa内含有na中几乎所有的项．记《数学分析I》第28讲教案4112222,21,21,22NNaa，它也含有na中几乎所有的项，且满足21,,222211及继续依次令,,21213n，，照以上方法得一闭区间列nn,，其中每个区间都含有na中几乎所有的项．且满足,,2,1,,,11nnnnn)(0211nnnn即nn,是区间套．由区间套定理，存在唯一的一个数nn,,,2,1n，现在证明数就是数列na的极限．事实上，由定理7.1的推论，对任给的0，存在0N，使得当Nn时有);(,Unn因此在);(U内除有限外的所有项，这就证得nnalim．