第2章232两个变量的线性关系知能优化训练

1．下列变量之间的关系是函数关系的是()A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a、c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4acB．光照时间和果树亩产量C．降雪量和交通事故发生率D．父母的身高和子女的身高解析：选A.B、C、D选项是相关关系．故选A.2．观察下列四个散点图，两变量具有线性相关关系的是()解析：选A.由线性相关关系的定义可知．3．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程y^＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费占人均工资收入的百分比约为()A．83%B．72%C．67%D．66%解析：选A.由y^＝0.66x＋1.562知，当y＝7.675时，x＝6113660，∴所求百分比为7.675x＝7.675×6606113≈83%.4．工人月工资y(元)与劳动生产率x(千元)的回归方程为y^＝50＋80x，当劳动生产率提高1000元时，月工资平均提高________元．解析：由b的意义可知．答案：801．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是()A．圆的半径和它的面积B．正方形边长和它的面积C．正n边形的边数和内角和D．人的年龄和身高解析：选D.函数关系是一种变量之间确定性的关系，A、B、C都是函数关系，甚至可以写出它们的函数表达式，分别为f(r)＝πr2，g(x)＝x2，h(n)＝(n－2)·180°，D不是函数关系，对于年龄相同的人，仍可以有不同身高．故选D.2．设有一个回归方程为y^＝2－1.5x，则变量x增加一个单位时，y平均()A．增加1.5个单位B．增加2个单位C．减少1.5个单位D．减少2个单位解析：选C.根据y^＝a＋bx中b的意义可知选C.3．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是()A.y^＝1.23x＋4B.y^＝1.23x＋5C.y^＝1.23x＋0.08D.y^＝0.08x＋1.23解析：选C.斜率为1.23，设为y＝1.23x＋a，适合(4,5)得a＝0.08.4．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y^＝7.19x＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是()A．身高一定是145.83cmB．身高在145.83cm以上C．身高在145.83cm以下D．身高在145.83cm左右解析：选D.回归直线是用来估计总体的，所以我们求的值都是估算值，所以我们得到的结果也是近似的，只要把自变量的值代入回归直线方程即可求得结果为145.83(cm)．5．(2010年高考湖南卷)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是()A．y＝－10x＋200B．y＝10x＋200C．y＝－10x－200D．y＝10x－200解析：选A.x的系数为负数，表示负相关，排除B、D，由实际意义可知x0，y0，在C中，其散点图在第四象限无意义，故选A.6．2010年，我国部分地区手足口病流行，党和政府采取果断措施防、治结合，很快使病情得到控制．下表是某医院记载的5月1日到5月12日每天治愈者数据及根据数据绘制的散点图.日期5.15.25.35.45.55.6人数100109115118121134日期5.75.85.95.105.115.12人数141152168175186203则下列说法：①根据此散点图，可以判断日期与治愈人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与治愈人数具有一次函数关系；③根据此散点图，可以判断日期与治愈人数呈正相关．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选C.由散点图可看出，所有的点并不都在一条直线上，因此②错误．而在一段时期内，人数随日期有增加的趋势，且是线性相关的．故选C.7．某地区近10年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合y^＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是________亿元．解析：将x＝15代入y^＝0.8x＋0.1，得y^＝12.1(亿元)．答案：12.18．某单位为了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(℃)181310－1用电量(度)24343864由表中数据得线性回归方程y^＝bx＋a中b＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．解析：x＝18＋13＋10－14＝10，y＝24＋34＋38＋644＝40，则a＝y^－bx＝40＋2×10＝60，则y^＝－2x＋60，则当x＝－4时，y^＝－2×(－4)＋60＝68.答案：689．有下列关系：(1)炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系；(2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系；(3)柑橘的产量与气温之间的关系；(4)森林的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系；(5)人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系．其中具有相关关系的是________．解析：(1)炼钢的过程就是一个降低含碳量进行氧化还原的过程，除了与冶炼时间有关外，还受冶炼温度等其他因素的影响，具有相关关系；(3)柑橘的产量除了受气温影响以外，还受肥量以及水分等因素的影响，具有相关关系；(4)森林的同一种树木，其横断面直径随高度的增加而增加，但是还受树木的疏松及光照等因素的影响．具有相关关系；(5)人的年龄越大财富可能也越大，但是也存在越小的可能，因为还受其他外界因素的影响．显然以上两个变量的取值都是具有随机性的，具有相关关系；(2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系是一一对应的，即是一种确定性关系，不具有相关关系．答案：(1)(3)(4)(5)10．有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童数量，如下表：人均GDP(万元)1086431患白血病的儿童数351312207175132180通过计算可得两个变量的回归直线方程为y^＝23.25x＋102.25，假如一个城市的人均GDP为12万元，那么断言：这个城市患白血病的儿童一定超过380人，请问这个断言是否正确？解：将x＝12代入y^＝23.25x＋102.25，得y^＝23.25×12＋102.25＝381.25380，即便如此，但因381.25只是一个估计值，会受其他情况的影响，所以不能断言这个城市患白血病的儿童一定超过380人．11．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表：转速x(转/秒)1614128每小时生产缺损零件数y(件)11985(1)作出散点图；(2)如果y与x线性相关，求出回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围？解：(1)根据表中的数据画出散点图如图：(2)设回归直线方程为：y^＝bx＋a，并列表如下：i1234xi1614128yi11985xiyi1761269640x＝12.5，y＝8.25，i＝14x2i＝660，i＝14xiyi＝438，∴b＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.73，a＝8.25－0.73×12.5＝－0.875，∴y^＝0.73x－0.875.(3)令0.73x－0.875≤10，解得x≤14.9≈15.故机器的运转速度应控制在15转/秒内．12．2010年春节，又是情人节．这是几十年难遇的“双节”．很多对“新人”赶在这一天申领结婚证．若新郎和新娘的年龄记为(y，x)．试考虑以下y关于x的回归问题：(1)如果每个新郎和新娘都同岁，则穿过这些点的回归直线的斜率和截距等于什么？(2)如果每个新郎都比新娘大5岁，则穿过这些点的回归直线的斜率和截距等于什么？(3)如果每个新郎都比新娘大10%，则穿过这些点的回归直线的斜率和截距等于什么？(4)若由一些数据求得回归直线方程为y^＝1.118x－1.091，则由此可得出关于新郎、新娘年龄的什么结论？解：(1)当y＝x时，易得b＝1，a＝0.故回归直线的斜率为1，截距为0.(2)当y＝x＋5时，易得b＝1，a＝5.故回归直线的斜率为1，截距为5.(3)当y＝x(1＋10%)时，易得b＝1.1，a＝0.故回归直线的斜率为1.1，截距为0.(4)回归直线方程为y^＝1.118x－1.091.从回归方程可以看出，新郎的年龄一般比新娘的年龄大，尤其是在大龄夫妇中．