第2章数列§2.5等比数列前n项和(二)

§2.5等比数列前n项和(二)对点讲练一、等比数列前n项和的证明问题例1设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明：log0.5Sn＋log0.5Sn＋22log0.5Sn＋1.证明设{an}的公比为q，由题设知a10，q0，当q＝1时，Sn＝na1，从而Sn·Sn＋2－S2n＋1＝na1·(n＋2)a1－(n＋1)2a21＝－a210.当q≠1时，Sn＝a1(1－qn)1－q，从而Sn·Sn＋2－S2n＋1＝a21(1－qn)(1－qn＋2)(1－q)2－a21(1－qn＋1)2(1－q)2＝－a21qn0.综上知，Sn·Sn＋2S2n＋1，∴log0.5(Sn·Sn＋2)log0.5S2n＋1.即log0.5Sn＋log0.5Sn＋22log0.5Sn＋1.总结本题关键是证明Sn·Sn＋2S2n＋1.证明时要分q＝1和q≠1两种情况．►变式训练1已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．证明方法一设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q＝1时，则Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，S2n＋S22n＝n2a21＋4n2a21＝5n2a21，Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a21，∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．当q≠1时，则Sn＝a11－q(1－qn)，S2n＝a11－q(1－q2n)，S3n＝a11－q(1－q3n)，∴S2n＋S22n＝a11－q2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝a11－q2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．又Sn(S2n＋S3n)＝a11－q2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．方法二根据等比数列性质，有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，∴S2n＋S22n＝S2n＋[Sn(1＋qn)]2＝S2n(2＋2qn＋q2n)，Sn(S2n＋S3n)＝S2n(2＋2qn＋q2n)．∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．二、等比数列前n项和的实际应用例2为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.解(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a·0.9n－1(n≥1)．(2)10年的出口总量S10＝a(1－0.910)1－0.9＝10a(1－0.910)．∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，即a≤81－0.910，∴a≤12.3.故2010年最多出口12.3吨．总结本题建立等比数列的模型及弄清项数是关键，运算中往往要运用指数或对数不等式，常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算，对其结果要按照要求保留一定的精确度．►变式训练2一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？解用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an＋1＝45an，因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝45的等比数列．热气球在前n分钟内上升的总高度为：Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1(1－qn)1－q＝25×1－45n1－45＝125×1－45n125.故这个热气球上升的高度不可能超过125m.三、等差数列、等比数列的综合问题例3设{an}是等差数列，bn＝12an，已知：b1＋b2＋b3＝218，b1b2b3＝18，求等差数列的通项an.解设等差数列{an}的公差为d，则bn＋1bn＝12an＋112an＝12an＋1－an＝12d.∴数列{bn}是等比数列，公比q＝12d.∴b1b2b3＝b32＝18，∴b2＝12.∴b1＋b3＝178b1·b3＝14，解得b1＝18b3＝2或b1＝2b3＝18.当b1＝18b3＝2时，q2＝16，∴q＝4(q＝－40舍去)此时，bn＝b1qn－1＝18·4n－1＝22n－5.由bn＝125－2n＝12an，∴an＝5－2n.当b1＝2b3＝18时，q2＝116，∴q＝14q＝－140舍去此时，bn＝b1qn－1＝2·14n－1＝122n－3＝12an，∴an＝2n－3.综上所述，an＝5－2n或an＝2n－3.总结(1)一般地，如果{an}是等差数列，公差为d，且cn＝can(c0且c≠1)，那么数列{cn}是等比数列，公比q＝cd.(2)一般地，如果{an}是各项为正数的等比数列，公比为q，且cn＝logaan(a0且a≠1)，那么数列{cn}为等差数列，公差d＝logaq.►变式训练3在等比数列{an}中，an0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当S11＋S22＋…＋Snn最大时，求n的值．解(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a23＋2a3a5＋a25＝25，又an0，∴a3＋a5＝5.又a3与a5的等比中项为2，∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，∴a3a5，∴a3＝4，a5＝1.∴q＝12，a1＝16，∴an＝16×12n－1＝25－n.(2)bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1，∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴Sn＝n(9－n)2，∴Snn＝9－n2，∴当n≤8时，Snn0；当n＝9时，Snn＝0；当n9时，Snn0.∴当n＝8或9时，S11＋S22＋S33＋…＋Snn最大．课堂小结：1．深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键．两类数列的性质既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同样，用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．2．在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处．3．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求an还是求Sn的问题．课时作业一、选择题1．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为()A．1.14aB．1.15aC．10(1.15－1)aD．11(1.15－1)a答案D解析注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)．2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a21＋a22＋…＋a2n等于()A．(2n－1)2B.12(2n－1)2C．4n－1D.13(4n－1)答案D解析易知{an}为等比数列且an＝2n－1.∴{a2n}也是等比数列，a21＝1，公比为4.∴a21＋a22＋…＋a2n＝1－4n1－4＝13(4n－1)．3．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)()A．300米B．299米C．199米D．166米答案A解析小球10次着地共经过100＋100＋50＋…＋100×128＝2993964≈300.4．若等比数列{an}的公比q0，且q≠1，又a10，那么()A．a2＋a6a3＋a5B．a2＋a6a3＋a5C．a2＋a6＝a3＋a5D．a2＋a6与a3＋a5的大小不确定答案B解析(a2＋a6)－(a3＋a5)＝a1(q＋q5)－a1(q2＋q4)＝a1q(q4－q3－q＋1)＝a1q(q－1)2(q2＋q＋1)∵a10，q0且q≠1，q2＋q＋10，∴a1q(q－1)2(q2＋q＋1)0，∴a2＋a6a3＋a5.5．用砖砌墙，第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，…，依此类推，每一层都用去了前一层剩下的一半多一块，如果到第九层恰好砖用光，那么，共用去的砖块数为()A．1022B．1024C．1026D．1028答案A解析设从上层到底层砖块分别为a1，a2，…，a9，则an＝12Sn＋1，那么an－1＝12Sn－1＋1,(n≥2)，那么a1＝2，an－an－1＝12an，即an＝2an－1，因此，每层砖块数构成以2为首项，以2为公比的等比数列，∴S9＝2(1－29)1－2＝210－2＝1022.二、填空题6．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.答案－13解析显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝13·3n＋t，∴t＝－13.7．如果b是a，c的等差中项，y是x与z的等比中项，且x，y，z都是正数，则(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝______.答案0解析∵a，b，c成等差数列，设公差为d，则(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝－dlogmx＋2dlogmy－dlogmz＝dlogmy2xz＝dlogm1＝0.8．等比数列{an}的首项a1＝511，公比q＝12，记Cn＝a1·a2·a3·…·an，则当Cn达到最大时，n的值是________．答案9解析由an＝511×12n－11，解得n≤9.即a1a2…a91a10a11….∴当n＝9时，Cn最大．三、解答题9．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，其中ak1，ak2，…，akn恰为等比数列，若k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1＋k2＋…＋kn.解由题意知a25＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)．∵d≠0，由此解得2d＝a1.公比q＝a5a1＝a1＋4da1＝3.∴akn＝a1·3n－1.又akn＝a1＋(kn－1)d＝kn＋12a1，∴a1·3n－1＝kn＋12a1，∵a1≠0，∴kn＝2·3n－1－1.∴k1＋k2＋…＋kn＝2(1＋3＋…＋3n－1)－n＝3n－n－1.10．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；(2)至少经过多少年旅游业的总收入才能超过总投入？解(1)第一年投入为800万元，第二年投入为800×1－15万元，…，第n年投入为800×1－15n－1万元．所以n年内总投入为：an＝800＋800×1－15＋…＋800×1－15n－1＝800×1＋45＋…＋45n－1＝4000×1－45n.第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400×1＋14万元，…，第n年旅游业收入为400×1＋14n－1万元，所以n年内的旅游业总收入为：bn＝400＋400×1＋14＋…＋400×1＋14n－1＝400×1＋54＋…＋54n－1＝1600×