第2章数列习题课3常见的数列求和及应用

习题课3数列的实际应用对点讲练一、等差数列模型的应用例1某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解因购房时先付150万元，则欠款1000万元，依题意分20次付款，则每次付款数额顺次构成数列{an}．∴a1＝50＋1000×1%＝60，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5，a3＝50＋(1000－50×2)×1%＝59，a4＝50＋(1000－50×3)×1%＝58.5，∴an＝50＋[1000－50(n－1)]×1%＝60－12(n－1)(1≤n≤20，n∈N*)．∴{an}是以60为首项，以－12为公差的等差数列，∴a10＝60－9×12＝55.5，a20＝60－19×12＝50.5，∴S20＝12(a1＋a20)×20＝10(60＋50.5)＝1105.∴实际共付1105＋150＝1255(万元)．所以第10个月应付55.5万元，实际共付1255万元．总结与等差数列有关的实际应用题，要抓住其反映等差数列特征，仔细审题，用心联想，如本例中，每月比上一月都少付了50万元的月息，即0.5万元，所以每月付款成等差数列．►变式训练1从多个地方抽调了一批型号相同的联合收割机，收割一片小麦．若这些收割机同时到达，则24小时可收割完毕，但它们由于距离不同，是每隔一段相同的时间顺序投入工作的，如果第一台收割机总工作时间恰好是最后一台总工作时间的5倍，问以这种收割方式收割机在这片麦地上工作了多长时间？解设这n台收割机的工作时间依次为a1，a2，…，an小时，依题意a1，a2，…，an组成一个等差数列，又每台收割机每小时的工作效率为124n，则有a1＝5an，a124n＋a224n＋…＋an24n＝1.①②由②得n(a1＋an)2×24n＝1，即a1＋an＝48.③联立①、③解得a1＝40(小时)．所以用这种收割方式在这片麦地上工作了40小时．二、等比数列模型的应用例2国家计划在西部地区退耕还林6370万亩，2002年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增．(1)试问从2002年底，到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划？(1.128＝2.476,1.127＝2.211)(精确到年)(2)为支持退耕还林工作，国家财政从2003年起补助农民当年退耕地每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元折算，并且补助当年退耕地每亩20元．试问：西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付多少亿元？(精确到亿元)解(1)设从2002年底起以后每年的退耕还林的土地依次为(单位：万亩)a1，a2，a3，…，an，….则a1＝515×(1＋12%)，a2＝515×(1＋12%)2，…，an＝515×(1＋12%)n，…Sn＝a1＋a2＋…＋an＝515×(1＋0.12)(1－1.12n)1－1.12＝6370－515，∴515×1.12×(1.12n－1)＝5855×0.12，即1.12n≈2.218.又因为n∈N*，当n＝7时，1.127≈2.211，此时完不成退耕还林计划．所以n＝8.故到2010年底西部地区才能完成退耕还林计划．(2)设财政补助费为W亿元．则W＝(300×0.7＋20)×(6370－515)×10－4≈134.7(亿元)，所以西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付134.7亿元．总结构建等比数列模型解实际问题，要弄清a1与n的实际含义，分清是求通项an还是求前n项和Sn.►变式训练2有纯酒精aL(a1)，从中取出1L，再用水加满，然后再取出1L，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________L.答案1－1a82－1a解析用{an}表示每次取出的纯酒精，a1＝1，加水后浓度为a－1a＝1－1a，a2＝1－1a，加水后浓度为1－1aa－1a＝1－1a2，a3＝1－1a2，依次类推：a9＝1－1a8L，a10＝1－1a9L.∴1－1a8＋1－1a9＝1－1a82－1a.三、递推数列型应用题例3某企业投资1000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg2＝0.3)解设该项目逐年的项目资金数依次为a1，a2，a3，…，an.则由已知an＋1＝an(1＋25%)－200(n∈N*)．即an＋1＝54an－200.令an＋1－x＝54(an－x)，即an＋1＝54an－x4，由x4＝200，∴x＝800.∴an＋1－800＝54(an－800)(n∈N*)故数列{an－800}是以a1－800为首项，54为公比的等比数列．∵a1＝1000(1＋25%)－200＝1050.∴a1－800＝250，∴an－800＝25054n－1.∴an＝800＋25054n－1(n∈N*)．由题意an≥4000.∴800＋25054n－1≥4000，即54n≥16.两边取常用对数得nlg54≥lg16，即n(1－3lg2)≥4lg2.∵lg2＝0.3，∴0.1n≥1.2，∴n≥12.即经过12年后，该项目资金可以达到或超过翻两番的目标．总结如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的递推关系式，那么我们就可以用递推数列的知识求解问题．►变式训练3某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律，6小时后细胞存活数是()A．33B．64C．65D．127答案C解析设细胞数目按分裂顺序组成数列{an}，a1＝2，a2＝2a1－1＝3，…，一般地an＝2an－1－1，∴an－1＝2(an－1－1)＝…＝(a1－1)·2n－1＝2n－1.∴an＝2n－1＋1,6小时后细胞数目即a7＝26＋1＝65.课堂小结1．在日常生活中我们经常遇到存款利息、购房贷款、资产折旧、企业股金、人口增长等方面的问题，这些问题的解决常常涉及到数列的有关知识．2．解数列应用题的思路和方法：具体方法步骤是：(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是递推数列问题？是求an还是Sn？特别要注意准确弄清项数为多少．②弄清题目中主要的已知事项．(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式．课时作业一、选择题1．某工厂预计今年十二月份产量是今年一月份产量的m倍，则该厂今年的月平均增长率应是()A.m11B.m12C.11m－1D.12m－1答案C解析设月平均增长率为p，则(1＋p)11＝m，∴p＝11m－1.2．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程都增加2km，在达到离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是()A．10秒钟B．13秒钟C．15秒钟D．20秒钟答案C解析设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，则数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，由求和公式得na1＋n(n－1)d2＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15.3．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是()A．不增不减B．约增1.4%C．约减9.2%D．约减7.8%答案D解析设原价为1，则现价为(1＋20%)2(1－20%)2＝0.9216，∴1－0.9216＝0.0784，约减7.8%.4．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还()A.a(1＋γ)(1＋γ)5－1万元B.aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1万元C.aγ(1＋γ)5(1＋γ)4－1万元D.aγ(1＋γ)5万元答案B解析设每年偿还x万元，则：x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，∴x＝aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1二、填空题5．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．答案46656解析每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a1＝6，q＝6，∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a6＝66＝46656只．6．一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上共放了______支铅笔．答案7260解析从下向上依次放了1,2,3，…，120支铅笔，∴共放了铅笔1＋2＋3＋…＋120＝7260(支)．三、解答题7．某林场去年年底森林中木材存量为3300万立方米，从今年起每年以25%的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的木材量为b，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标，每年冬季木材的砍伐量不能超过多少？(取lg2＝0.3)解设a1，a2，…，a20表示今年开始的各年木材存量，且a0＝3300，则an＝an－1(1＋25%)－b.∴an＝54an－1－b，an－4b＝54(an－1－4b)，即数列{an－4b}是等比数列，公比q＝54.∴a20－4b＝(a0－4b)·5420.令t＝5420，则lgt＝20lg54＝20(1－3×0.3)＝2.∴t＝100，于是a20－4b＝100(a0－4b)，∴a20＝100a0－396b，由a20≥4a0，得100a0－396b≥4a0，b≤833a0＝800.故每年冬季木材的砍伐量不能超过800万立方米．8．假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.085≈1.47)解(1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列．其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋n(n－1)2×50＝25n2＋225n.令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.∴到2018年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．(2)设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列．其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1.由题意可知an0.85bn，有250＋(n－1)·50400×1.08n－1×0.85.由1.085≈1.47解得满足上述不等式的最小正整数n＝6，∴到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.