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第1页第1章习题第2讲课下作业:教材第33-34页,1、2、4。1、根据算符▽的微分性与矢量性,推导下列公式:2()()()()()1()()2AABBABAABABAAAA2、设u是空间坐标x,y,z的函数,证明:(),(),().dffuududuududuuduAAAA4、应用高斯定理证明,VSdVdfSf应用斯托克斯(Stokes)定理,证明.SLddSl第3讲课下作业:教材第34-35页,5、6。5、已知一个电荷系统的偶极距定义为:()(,)VPtxtxdV利用电荷守恒定律0jt,证明P的变化率:(,)VdpjxtdVdt6、若m为常矢量,证明除0R点以外,矢量3mRAR的旋度等于标量3mRR的梯度的负值。即:A,其中R为坐标原点到场点的距离,方向由原点指向场点。第2页补充题1:直接给出库仑定律的数学表达式,写明其中各个符号的物理意义。并推导出真空中静电场的下列公式:()();()0xxEE。x第4讲课下作业:教材第35页,10。10、证明两个闭合的恒定电流圈之间的作用力大小相等,方向相反(但两个电流元之间的作用力一般并不服从牛顿第三定律)。补充题2:直接给出毕奥-萨伐尔定律的数学表达式,写明其中各个符号的物理意义,并推导出真空中静磁场的下列公式。JBB00第5讲课下作业::补充题3:直接给出法拉第电磁感应定律的积分形式和微分形式,写明其中各个符号的物理意义。补充题4:直接给出真空中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式,写明其中各个符号的物理意义。补充题5:设想存在孤立磁荷(磁单极子),试改写Maxwell方程组,以包括磁荷密度ρm和磁流密度Jm的贡献。第6讲课下作业:补充题6:场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式和微分形式,电磁场能量密度和能流密度表达式。补充题7:场和电荷系统的动量守恒定律的积分形式和微分形式,动量密度和动量流密度表达式。第3页习题解答:第2讲课下作业:教材第33-34页,1、2、4。1、根据算符▽的微分性与矢量性,推导下列公式:2()()()()()1()()2AABBABAABABAAAA解:(i)()()()BAABABAB(1)∵()()()abcbaccab∴()()()ABABABA()()()BABABAB代入(1)式得:()()()()()ABABBABBAB(ii)上式中令AB:则:()2()()AAAAAA∴21()()2AAAAA[毕]2、设u是空间坐标x,y,z的函数,证明:(),(),().dffuududuududuuduAAAA证:(i)()()()()dfududfududfudufuijkdudxdudydudz()()dfdudududfuijkududxdydzdu(ii)()()()()yxzdAudAudAudududuAududxdudydudz第4页()()()()()yxzdAudAudAudududuijkijkdxdydzdudududAudu(iii)()()()()xyzijkdddAudxdydzAuAuAu()yzdAdAduduidudydudz()()yxxzdAdAdAdAdudududujkdudzdudxdudxdudyyxzijkdudududAudxdydzdudAdAdAdududu[毕]4、应用高斯定理证明,VSdVdfSf应用斯托克斯(Stokes)定理,证明.SLddSl证:(1)证明,VSdVdfSf设C为任意非0的常矢量,则第5页()()()()()SSSVSVSVddddVddVddVcSfSfcSfcfcfcfcfcfccSfcfSff事实上,右边三个等式恒成立:SVSVSVddVddVddVSffSffS(2)证明.SLddSl根据斯托克斯(Stokes)定理:().SLddASAl令:Aa,其中a为任意非0的常矢量左边:()()SSadSaadSSSadSadS右边:Ladladl即:SadSadl由a的任意性得SLdSdl[证毕]第3讲课下作业:教材第34-35页,5、6。5、已知一个电荷系统的偶极距定义为:()(,)VPtxtxdV第6页利用电荷守恒定律0jt,证明P的变化率:(,)VdpjxtdVdt证明:方案1:(参考教材第163-164页)将整个电荷系统视为很多带电粒子的组合,第i个带电离子具有电荷qi和位置xi,速度vi。则,iiddtxv()(,)iiiVqPtxtxdVx(,)iiiiiiiiiVdxdqxqqvdtdtdpjxtdVdt方案2:选取系统内任一确定点x’,此点所在的dV’内,(',)tx只与t相关,x’、dV’与时间无关。或者说,设带电系统为n个命名体积元,体积元的位置、体积都不随时间变化,但该体积元的电荷密度随时间变化,既体积元固定,电荷流动。故有:''ddVdttpx()''0ddVdttjpjx()()()()()()()()jxjxjxjxjxjxjjxjxj第7页'()''()SddVdVdtdVdpjjxjSjx注意到在积分边界上jn=0,则有(,)VdpjxtdVdt方案3:随体方式,一般方式,普遍方式,带电粒子的位置和体积都随时间发生变化。(,)(,)VVdpddxtxdVxtxdVdtdtdt''(,)'dVdVddxdxtxxdVdtdtdt由于电荷既不会产生,也不会消失,所以,0'ddVdt'''pdVvdVdVddxjdtdt当然也可以利用公式:()()vvv计算如下:'''''(,)'(,)dVdVxxdVdVttxxvvdVtdddxtdVxtdtdtdtddt第8页)''0(vdVtjdVt∴'''pdVvdVdVddxjdtdt方案4:随体方式,一般方式,普遍方式,带电粒子的位置和体积都随时间发生变化。(,)(,)VVdVdpddxtxdVxtxdtdtdt利用公式:()()()vvvv''()()'[)]'()'(,)'(dxxxdtxxttxjvxtjvxtjjxtjddxtdtdtv∴'pdVdjdt[证毕]第9页6、若m为常矢量,证明除0R点以外,矢量3mRAR的旋度等于标量3mRR的梯度的负值。即:A,其中R为坐标原点到场点的距离,方向由原点指向场点。证:左边:3()RAmR利用()()()()()fggfgffgfg)()gffgf为常矢=(∵30rr∴左边333()()()RRRmmmrRR(R≠0)右边3()RmR利用:()()()()()fgfgfggfgf()()fgfgf为常矢;30rr∴右边333()()()RRRmmmRRR故:3()RAmR[证毕]补充题1:直接给出库仑定律的数学表达式,写明其中各个符号的物理意义。并推导出真空中静电场的下列公式:()();()0xxEE。x第10页第4讲课下作业:教材第35页,10。10、证明两个闭合的恒定电流圈之间的作用力大小相等,方向相反(但两个电流元之间的作用力一般并不服从牛顿第三定律)。证:两电流元之间的互作用121013121012121131212201121222312222)41[()()]4(4IdlrrIrdldlrrIdlrIdldFIdlrIdldl212111023211021122321210222211132121)41[()()]4(4IdlrrIrdldlrrIdlrIdldFIdlrIdldl(i)若电流元互相垂直:即120dldl则:212112120121231202112321()()1414dlrdldlrdldFIIrdFIIr2112dFdF,故一般并不满足牛顿第三定律。(ii)两稳定电流圈情况211210112223124LLIdlrFIdlr121201221312()4LLIIdldlrr()()()ABCBACCAB121212121201221331212()()4LLLLldrIIdlrdldlrr第11页同理:12120221113214LIdlrFIdlr121221212012121332121()()4LLLLdrIIdlrdldllrr∵212122331212()0LSdlrrdSrr12113210Ldlrr且有:1221rr,1221rr∴120121212213124()LLIIFrddllr1201221213214()LLIIrddllr21F[证毕]补充题2:直接给出毕奥-萨伐尔定律的数学表达式,写明其中各个符号的物理意义,并推导出真空中静磁场的下列公式。JBB00第5讲课下作业::补充题3:直接给出法拉第电磁感应定律的积分形式和微分形式,写明其中各个符号的物理意义。补充题4:直接给出真空中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式,写明其中各个符号的物理意义。补充题5:设想存在孤立磁荷(磁单极子),试改写Maxwell方程组,以包括磁荷密度ρm和磁流密度Jm的贡献。[解]:在没有磁单极子时,Maxwell方程组为:解1:第12页0ttEBBEEBJ0000在有磁单极子时,设磁荷量密度为ρm,则磁场的高斯定理便不再是0B,而是:mB这时,tBE便不再正确。因为对两边取散度,左边为0,而右边为:0mttB为了解决这个矛盾,利用磁流的连续性方程:0mmtJ把tBE,改写为:mtBEJ于是便得出,包括磁单极子时的Maxwell方程组:mmttEBBEJEBJ0000第13页解2:在有磁单极子时,设磁荷量密度为ρm,则磁场的高斯定理便不再是0B
本文标题:电动力学第1章习题
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