1.4.2--正弦函数、余弦函数的性质(二)

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）1.请回答：什么叫做周期函数？2.正弦函数、余弦函数是否是周期函数？周期是多少？最小正周期是多少？对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.正弦函数、余弦函数都是周期函数，都是它们的周期，最小正周期均是.2k(kk0)Z且23.函数的周期性对于研究函数有什么意义？对于周期函数，如果我们能把握它在一个周期内的情况，那么整个周期内的情况也就把握了.这是研究周期函数的一个重要方法，即由一个周期的情况，扩展到整个函数的情况.1.结合函数图象理解正弦函数及余弦函数的奇偶性、单调性、最值；(重点）2.能熟练运用正弦函数、余弦函数的性质解题．(重点、难点）微课1奇偶性1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？xyO--1234-2-31223252722325正弦曲线关于原点O对称yxO--1234-2-31223252722325余弦曲线关于y轴对称提示:2.根据图象的特点，猜想正余弦函数分别有什么性质？如何从理论上验证？sin(-x)=-sinx(xR)y=sinx(xR)是奇函数cos(-x)=cosx(xR)y=cosx(xR)是偶函数定义域关于原点对称提示:y＝(sinx－cosx)2－1是()A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数D【即时训练】【方法规律】1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．判断下列函数的奇偶性：f(x)＝2sin2x＋52π；【解析】函数的定义域为R，f(x)＝2sin2x＋52π＝2sin2x＋π2＝2cos2x，显然有f(－x)＝f(x)成立．∴f(x)＝2sin2x＋52π为偶函数．【互动探究】微课2单调性1.当时，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？xyo--1234-2-31223252722325y=sinx3x[,]22提示:…0………2232y=sinx(xR)增区间为[，]其值从-1增至122xsinx-1010-1减区间为[，]其值从1减至-1223还有其他单调区间吗?5335,,,,,2222222,2,22kkkZxyo--1234-2-31223252722325y=sinx2.由上面的正弦曲线你能得到哪些正弦函数的增区间和减区间？怎样把它们整合在一起？增区间：减区间：3357,,,,,22222232,2,22kkkZ周期性提示:xyo--1234-2-31223252722325y=sinx3.正弦函数有多少个增区间和减区间？观察正弦函数的各个增区间和减区间，函数值的变化有什么规律？正弦函数有无数多个增区间和减区间.在每个增区间上，函数值从增大到，11在每个减区间上，函数值从减小到.11提示:正弦函数在每一个闭区间上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间上都是减函数，其值从1减小到-1.[2k,2k](k)22Z3[2k,2k](k)22Z4.余弦函数可以得到怎样相似的结论呢？2k,2k,kZ2k,2k,kZ在每个闭区间____________________上都是减函数，yxo--1234-2-31223252722325cosyx余弦函数在每个闭区间____________________上都是增函数，其值从____增大到____；11其值从____减小到____.11提示:若f(x)＝cosx在[－b，－a]上是增函数，则f(x)在[a，b]上是()A．奇函数B．偶函数C．减函数D．增函数C【即时训练】正弦函数当且仅当x=______________时取得最大值__；当且仅当x=_____________时取得最小值___.微课3最大值和最小值xyo--1234-2-31223252722325sinyx2k,k2Z12k,k2Z1提示:余弦函数当且仅当x=__________时取得最大值___；当且仅当x=___________时取得最小值___.2k,kZ12k,kZ1yxo--1234-2-31223252722325cosyx求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值各是多少.y2sinx,xRxx2k,k2Z最大值为2最小值为-2答案：xx2k,k2Z【即时训练】例1.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么.(1)ycosx1,xR.(2)y3sin2x,xR.【解析】这两个函数都有最大值、最小值.(1)使函数取得最大值的的集合为ycosx1,xRxxx2k,k,Z使函数取得最小值的的集合为ycosx1,xRxxx2k,k,Z最大值为112.最小值为110.使函数取得最大值的的集合是（2）令，2zxzz2k,k,2Z由，得2xz2k2xk.4y3sinz,zRz因此使函数取得最大值的的集合为xy3sin2x,xRxxk,k.4Z最大值为3.同理使函数取得最小值的的集合为xy3sin2x,xRxxk,k.4Z最小值为-3.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值各是多少.xy2cos,x3R【解析】xx36k,kZ最大值为3xx6k,kZ最小值为1【变式练习】例2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)sin()与sin().1810(2)cos()与cos().235174【解析】（1）因为021018，又y=sinx在上是增函数,[,0]2所以sin()sin().1810想一想：用正弦函数的哪个单调区间进行比较？(2)cos()=cos=cos,23523535cos()=cos=cos.1741744因为30,45所以coscos,435又y=cosx在上是减函数,[0,]即cos()cos().2351741.比较下列各组数的大小：(1)sin(－320°)与sin700°；(2)cos17π8与cos379π.【变式练习】【解析】(1)∵sin(－320°)＝sin(－360°＋40°)＝sin40°，sin700°＝sin(720°－20°)＝sin(－20°)，又函数y＝sinx在－π2，π2上是增函数，∴sin40°sin(－20°)，∴sin(－320°)sin700°.(2)∵cos17π8＝cos2π＋π8＝cosπ8，cos37π9＝cos4π＋π9＝cosπ9，又函数y＝cosx在[0，π]上是减函数，∴cosπ8cosπ9，∴cos17π8cos37π9.2.已知函数y＝sinx，x∈R，则下列说法不正确的是()A．定义域是RB．最大值与最小值的和等于0C．在－π2，π2上是减函数D．最小正周期是2πC例3.求函数的单调递增区间.1ysin(x),x2,223【解析】令1,23zx函数的单调递增区间是sinyz2k,2k.22由12kx2k,2232得54kx4k,k.33Z设2,2,A5Bx|4kx4k,k,33Z可得5AB,.33所以原函数的单调递增区间为5,.33【解析】函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)①2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)②解①得，kπ－π2≤x≤kπ(k∈Z)，解②得，kπ≤x≤kπ＋π2(k∈Z)．故函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别为kπ－π2，kπ(k∈Z)，kπ，kπ＋π2(k∈Z)．求函数y＝cos2x的单调区间．【变式练习】1．函数sin()4yx在闭区间（）上为增函数.A．3[,]44B．[,0]C．3[,]44D．[,]22A2.下列函数中，以π为周期的偶函数是（）A．|sin|yxB．sin||yxC．sin(2)3yxD．sin()2yxA3.(2018·全国卷I)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则()A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4B4.已知函数y＝cosx，x∈R，则下列说法错误的是()A．值域为[－1,1]B．是奇函数C．在定义域上不是单调函数D．在[0，π]上是减函数B5、观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的区间:(1)sin0x(2)sin0x(3)cos0x(4)cos0x2k,2k,kZ2k,22k,kZ(2k,2k),k22Z3(2k,2k),k22Z6、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝1＋sinx－cosx1＋sinx＋cosx；(2)f(x)＝sin4x－cos4x＋cos2x.解析：(1)当x＝π2时，f(π2)＝1有意义；而当x＝－π2时，f(－π2)无意义，故f(x)为非奇非偶函数．(2)显然定义域为R.因为f(－x)＝sin4(－x)－cos4(－x)＋cos(－2x)＝sin4x－cos4x＋cos2x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．奇偶性单调性（单调区间）奇函数偶函数[+2k,+2k],kZ22单调递增[+2k,+2k],kZ232单调递减[+2k,2k],kZ单调递增[2k,2k+],kZ单调递减函数余弦函数正弦函数霸祖孤身取二江，子孙多以百城降.豪华尽出成功后，逸乐安知与祸双？——王安石