河北省沧州市第一中学2015年高三一模文数

Byliujia2015年河北省沧州一中高考数学一模试卷（文科）第1页（共21页）2015年河北省沧州一中高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则=（）A．1B．﹣1C．2D．2．已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（）A．B．C．D．3．若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A．5B．4C．3D．24．设m＞1，当实数x，y满足不等式组时，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m的值是（）A．2B．3C．D．5．如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．9B．10C．12D．18Byliujia2015年河北省沧州一中高考数学一模试卷（文科）第2页（共21页）6．已知函数，若方程f（x）﹣kx+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，+∞）D．7．（理科）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作一条直线l交抛物线于A、B两点，以AB为直径的圆和该抛物线的准线l的位置关系是（）A．相切B．相离C．相交D．不能确定8．若函数f（x）=x2+ax+b有两个零点cosα，cosβ，其中α，β∈（0，π），那么在f（﹣1），f（1）两个函数值中（）A．只有一个小于1B．至少有一个小于1C．都小于1D．可能都大于19．已知抛物线C：y2=8x与点M（﹣2，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若=0，则k=（）A．B．C．D．210．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC为球O的直径，且SC⊥OA，SC⊥OB，△OAB为等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，则球O的半径为（）A．3B．1C．2D．411．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos2A+cos2B=2cos2C，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．12．抛物线y2=12x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，则△FPM的外接圆的方程为（）A．（x﹣3）2+=5B．C．（x﹣3）2+（y±3）2=9D．二.填空题13．若正数x，y满足4x2+9y2+3xy=30，则xy的最大值是．Byliujia2015年河北省沧州一中高考数学一模试卷（文科）第3页（共21页）14．定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2012x+log2012x，则在R上，函数f（x）零点的个数为．15．已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为．16．已知数列{an}的前n项和sn满足an+3sn•sn﹣1=0（n≥2，n∈N*），a1=，则nan的最小值为．三.解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知a=2c，且．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）当b=1时，求△ABC的面积S的值．18．为了比较“传统式教学法”与我校所创立的“三步式教学法”的教学效果．共选100名学生随机分成两个班，每班50名学生，其中一班采取“传统式教学法”，二班实行“三步式教学法”（Ⅰ）若全校共有学生2000名，其中男生1100名，现抽取100名学生对两种教学方式的受欢迎程度进行问卷调查，应抽取多少名女生？（Ⅱ）下表1，2分别为实行“传统式教学”与“三步式教学”后的数学成绩：表1数学成绩90分以下90﹣120分120﹣140分140分以上频数1520105表2数学成绩90分以下90﹣120分120﹣140分140分以上频数54032完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为这两种教学法有差异．班次120分以下（人数）120分以上（人数）合计（人数）一班二班合计参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d参考数据：P（K2≥k0）0.400.250.100.050.0100.005k00.7081.3232.7063.8416.6357.879Byliujia2015年河北省沧州一中高考数学一模试卷（文科）第4页（共21页）19．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a的值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD⊥PA，DB平分∠ADC，E为PC的中点，∠DAC=45°，AC=．（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；（Ⅱ）若PD=2，BD=2，求四棱锥E﹣ABCD的体积．21．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．22．设函数f（x）=x2（ex﹣1）+ax3（1）当时，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．Byliujia2015年河北省沧州一中高考数学一模试卷（文科）第5页（共21页）参考答案与试题解析一、选择题1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则=（）A．1B．﹣1C．2D．考点：等差数列的前n项和．分析：由等差数列的求和公式和性质可得=，代入已知可得．解答：解：由题意可得====1故选A点评：本题考查等差数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属基础题．2．已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（）A．B．C．D．考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．Byliujia2015年河北省沧州一中高考数学一模试卷（文科）第6页（共21页）分析：设椭圆的方程为，根据题意可得=1．再由AB经过右焦点F2且垂直于x轴且|AB|=3算出A、B的坐标，代入椭圆方程得，两式联解即可算出a2=4，b2=3，从而得到椭圆C的方程．解答：解：设椭圆的方程为，可得c==1，所以a2﹣b2=1…①∵AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且|AB|=3∴可得A（1，），B（1，﹣），代入椭圆方程得，…②联解①②，可得a2=4，b2=3∴椭圆C的方程为故选：C点评：本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程．着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题．3．若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A．5B．4C．3D．2考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解ω．解答：解：由函数的图象可知，（x0，y0）与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期T=2（）=，Byliujia2015年河北省沧州一中高考数学一模试卷（文科）第7页（共21页）所以T==，所以ω==4．故选B．点评：本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力．4．设m＞1，当实数x，y满足不等式组时，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m的值是（）A．2B．3C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．解答：解：约束条件对应的平面区域如下图示：由得A（，），故当直线z=x+my过A（，）时，Z取得最大值2，∴+=2，m=．故选D．Byliujia2015年河北省沧州一中高考数学一模试卷（文科）第8页（共21页）点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．5．如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．9B．10C．12D．18考点：由三视图求面积、体积．专题：探究型；空间位置关系与距离．分析：根据三视图确定空间几何体的结构，然后求几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知该几何体是底面是直角梯形，侧棱和底面垂直的四棱锥，其中高为3，底面直角梯形的上底为2，下底为4，梯形的高为3，所以四棱锥的体积为．故选A．点评：本题主要考查三视图的识别和应用，利用三视图将几何体进行还原是解决三视图题目的关键．要求熟练掌握空间几何体的体积公式．6．已知函数，若方程f（x）﹣kx+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，+∞）D．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数f（x）的表达式，由f（x）﹣kx+k=0得f（x）=kx﹣k，然后分别作出y=f（x）和y=kx﹣k的图象，利用图象确定k的取值范围．解答：解：当0≤x＜1时，﹣1≤x﹣1＜0，所以f（x）=，由f（x）﹣kx+k=0得f（x）=kx﹣k，分别作出y=f（x）和y=kx﹣k=k（x﹣1）的图象，如图：由图象可知当直线y=kx﹣k经过点A（﹣1，1）时，两曲线有两个交点，又直线y=k（x﹣1）过定点B（1，0），Byliujia2015年河北省沧州一中高考数学一模试卷（文科）第9页（共21页）所以过A，B两点的直线斜率k=．所以要使方程f（x）﹣kx+k=0有两个实数根，则≤k＜0．故选B．点评：本题主要考查函数零点的应用，将方程转化为两个函数，利用数形结合，是解决本题的关键．7．（理科）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作一条直线l交抛物线于A、B两点，以AB为直径的圆和该抛物线的准线l的位置关系是（）A．相切B．相离C．相交D．不能确定考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题．分析：设P为AB中点，A、B、P在准线l上射影分别为M、N、Q，根据抛物线的定义，可知AP+BP=AM+BN，从而，所以以AB为直径作圆则此圆与准线l相切．解答：解：设AB为过抛物线焦点F的弦，P为AB中点，A、B、P在准线l上射影分别为M、N、Q，∵AP+BP=AM+BN∴，∴以AB为直径作圆则此圆与准线l相切故选A．点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线过焦点弦的性质，关键是正确运用抛物线的定义，合理转化，综合性强．8．若函数f（x）=x2+ax+b有两个零点cosα，cosβ，其中α，β∈（0，π），那么在f（﹣1），f（1）两个函数值中（）A．只有一个小于1B．至少有一个小于1C．都小于1D．可能都大于1考点：二次函数的性质；函数的零点．专题：函数的性质及应用．Byliujia2015年河北省沧州一中高考数学一模试卷（文科）第10页（共21页）分析：因为cosα，cosβ是函数f（x）=x2+ax+b有两个零点，所以可用cosα及cosβ表示f（1）、f（﹣1），再对α、β分①当时；②当时；③当0＜α≤＜β＜π时，及当0时讨论即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b有两个零点cosα，cosβ，∴cosα+cosβ=﹣a，cosα×cosβ=b．∴f（1）=1+a+b=1﹣cosα﹣cosβ+cosαcosβ=（1﹣cosα）（1﹣cosβ），f（﹣1）=1﹣a+b=1+cosα+cosβ+cosαcosβ=（1+cosα）（1+cosβ）．∵α，β∈（0，π），下面对α，β分以下三种情况讨论（不妨设α＜β）．①当时，0≤cosβ＜cosα＜1，∴1＞1﹣cosα＞0，1≥1﹣cosβ＞0，1+cosα＞1，1+cosβ≥1，∴f（1）＜1，f（﹣1）＞1．②当时，﹣1＜cosβ＜cosα≤0，∴0＜1+