电子科大矩阵理论试题答案(2005级)

2005级硕士研究生《矩阵理论》试卷参考答案一、判断题（40分）（对者打，错者打）1、An为阶实对称矩阵，nRx对中的列向量，T||x||xAx定义,||x||x则为向量的范数.()2、设An为阶Hermite矩阵，12,,,n是矩阵A的特征值，则2221||||nmiiA.()3、如果mnAC，且0A，()HAAAA,则2||||AAn.()4、设||||a为丛属于向量范数||||ax的算子范数，2HHEuu(其中，E为n阶单位矩阵，2||||1nuCu且)，则||||aHn()5、设1/51/51/51/51/62/61/61/61/71/73/71/71/81/81/84/8A，则A矩阵的谱半径()1rA.()因为||||1A，故结论成立6、若(1)mmACm严格对角占优，则A的谱半径()||2||.mrAA()7、若设nxR，则212||||||||||||xxnx.()8、设111122223333A，则1||||1mA.()9、设G为矩阵()mnrACrn的广义逆A，ABD为A的最大秩分解，则秩()DGBn.()10、设A0.90.010.12=0.010.80.130.010.020.4，则A的特征值均为实数.()二、证明：(1)当0A时，||||0A；当0A时，存在,ij使得0ija，从而||||||0ijAmna。(2),||||max||ijijkAmnka,||max||ijijkmna||||||kA.(3),||||max||ijijijABmnab,max(||||)ijijijmnab,,(max||max||)ijijijijmnab||||||||AB.(4)22211||||||mnijjijAxax22111(||||)mnnijjijjax22111(||)||mnnijjijjax222max||||||ijijmnax222||||||||Ax三、证明：()||||1rAA|1|0EA1为A的特征值()1rA四、设mnDC为列满秩矩阵，D为M-P广义逆，nnAC,证明:2||||||||ADAD为nnC上的矩阵范数.(10分)证明：(1)当0A时，||||0A；当0A时，mnDC为列满秩矩阵,则1()HHDDDD,DDE。于是0DAD，从而2||||||||0ADAD。(2)2||||||()||kADkAD2||||||kDAD||||||kA(3)2||||||()||ABDABD2||||DADDBD22||||||DADDBD||||||||AB五、解：(1)122111112112A100101100000A⇒A的最大秩序分解为12100111011021ABD(2)6556HBB，16/11-5/11()-5/116/11HBB2002HDD，11/20()01/2HDD11()()HHHHADDDBBB417714171422417(3)线性方程组的最佳逼近解为：xAb2(1,1,1,1)11T六证：A为n阶正规矩阵⇒HAUU⇒Axx⇒HUUxx⇒UxUx'''xUxxx'''1(,,)Tnxxx设⇒',0iix时Ayy⇒HUUyy⇒UyUy⇒'''yUyyy'''1(,,)Tnyyy设⇒',0iiy时⇒''(,)0xy''0,()HxyUxUyHHxUUyHxy,xy另证：A为n阶正规矩阵⇒12(,,,)HnUAUdiag⇒1(,,)HHnUAUdiag⇒12(,,,)HnAUUdiag，设12(,,,)nUuuu⇒(1,2,,)HiiiAuuin⇒HAyy。(,)(,)xyxy(,)Axy(,)HxAy(,)xy(,)xy⇒()(,)0xy⇒()0(,)0xy七、证：(1)若矩阵范数||||A为自相容矩阵范数，则()||||.rAA(2)112(,,,)sPAPJdiagJJJ，其中11iiiiJ。对0，取对角矩阵1(1,,,)nDdiag，则112(,,,)sJDJDdiagJJJ，其中iiiiJ，于是1||||||||JDJD11||||DPAPD()rA记QPD，并定义1||||||||AQAQ，易知1||||||||AQAQ为自相容矩阵范数。于是1||||||||AQAQ()rA。八、证：1121111221122221200nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaEDAaaaaaa，(1)nnACn为严格对角占优矩阵⇒11()||||1rEDAEDA