河南省郑州市2016年高中毕业年级第一次质量预测数学理试题

河南省郑州市2016年高三第一次模拟考试理科数学（时间120分钟满分150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1.设全集*N4Uxx，集合1,4A，2,4B，则UABð（）A.1,2,3B.1,2,4C.1,4,3D.2,4,32.设1zi（i是虚数单位），则2zz（）A.iB.2iC.1iD.03.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若sin3cosbaAB，则cosB（）A.12B.12C.32D.324.函数cosxfxex在点0,0f处的切线方程为（）A.10xyB.10xyC.10xyD.10xy5.已知函数1cos2xfxx，则fx在0,2上的零点的个数为（）A.1B.2C.3D.46.按如下的程序框图，若输出结果为273，则判断框？处应补充的条件为（）A.7iB.7iC.9iD.9i7.设双曲线22221xyab的一条渐近线为2yx，且一个焦点与抛物线214yx的焦点相同，则此双曲线的方程为（）A.225514xyB.225514yxC.225514xyD.225514yx8.正项等比数列na中的14031,aa是函数3214633fxxxx的极值点，则20166loga（）A.1B.2C.2D.19.右图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰开始结束是否1i0S3iSS2ii?S输出直角三角形，正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（）A.23B.43C.83D.210.已知函数4fxxx，2xgxa，若11,12x，22,3x使得12fxgx，则实数a的取值范围是（）A.1aB.1aC.2aD.2a11.已知椭圆222210xyabab的左右焦点分别为1F、2F，过点2F的直线与椭圆交于,AB两点，若1FAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A.22B.23C.52D.6312.已知函数222,02,0xxxfxxxx，若关于x的不等式220fxafxb恰有1个整数解，则实数a的最大值是（）A.2B.3C.5D.8第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包含必考题和选考题两部分，第13-第21题为必考题，每个题目考生都必须作答.第22-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.二项式66xx的展开式中，2x的系数是_______.14.若不等式222xy所表示的平面区域为M，不等式组0026xyxyyx表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________.15.ABC的三个内角为,,ABC，若3cossin7tan123sincosAAAA，则2cossin2BC的最大值为________.16.已知点0,1A，3,0B，1,2C，平面区域P是由所有满足AMABAC(2,m2)n的点M组成的区域，若区域P的面积为16，则mn的最小值为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明及演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列na的首项为11a，前n项和nS，且数列nSn是公差为2的等差数列.（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）若1nnnba，求数列nb的前n项和nT.18.（本小题满分12分）某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元7.5万元若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.（Ⅰ）若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；（Ⅱ）该基地是否应该外聘工人，请说明理由.19.（本小题满分12分）如图，矩形CDEF和梯形ABCD所在的平面互相垂直，90BADADC，12ABADCD，BEDF.（Ⅰ）若M为EA中点，求证：AC∥平面MDF；（Ⅱ）求平面EAD与平面EBC所成二面角的大小.EFDCABM20.（本小题满分12分）已知点1,0M，1,0N，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的3倍.（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）已知0m，设直线1:10lxmy交曲线E于,AC两点，直线2:0lmxym交曲线E于,BD两点，,CD两点均在x轴下方.当CD的斜率为1时，求线段AB的长.21.（本小题满分12分）设函数21ln2fxxmx，21gxxmx.（Ⅰ）求函数fx的单调区间；（Ⅱ）当0m时，讨论函数fx与gx图象的交点个数.请考生在22-24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.把答案填在答题卡上.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，BAC的平分线与BC和ABC的外接圆分别相交于D和E，延长AC交过,,DEC的三点的圆于点F.（Ⅰ）求证：ECEF；（Ⅱ）若2ED，3EF，求ACAF的值.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为32212xtyt，曲线2C的极坐标方程为22cos4.以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求曲线2C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线2C上的动点M到曲线1C的距离的最大值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数21fxxx（Ⅰ）解不等式1fx；（Ⅱ）当0x时，函数210axxgxax的最小值总大于函数fx，试求实数a的取值范围.ABEFCD河南省郑州市2016年高三第一次模拟考试理科数学参考答案一、选择题ADBCCBDAAADD二、填空题13.60；14.;2415.3;216.422.三、解答题（共70分）17.⑴解：由已知条件:1(1)221,nSnnn22nSnn-----2分当2n时，221=221143.nnnaSSnnnnn当1n时，111,aS而4131，43nan，------6分⑵解：由⑴可得(1)(1)43,nnnnban-----7分当n为偶数时，1591317......4342,2nnTnn---9分当n为奇数时，1n为偶数112(1)(41)21.nnnTTbnnn---11分综上，2,(2,),21,(21,).NNnnnkkTnnkk--------12分18.⑴解：设下周一有雨的概率为p，由题意，20.36,0.6pp，-------2分基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5，则(20)0.36,(15)0.24,(10)0.24,(7.5)0.16,PXPXPXPX所以基地收益X的分布列为：-------6分基地的预期收益()200.36150.24100.247.50.1614.4EX，所以，基地的预期收益为14.4万元.---------8分⑵设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益()200.6100.416EYaa（万元），--------10分X2015107.5p0.360.240.240.16()()1.6EYEXa，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以.------12分19.⑴证明：设EC与DF交于点N，连结MN，在矩形CDEF中，点N为EC中点，因为M为EA中点，所以MN∥AC，又因为AC平面MDF，MN平面MDF，所以AC∥平面MDF.-----4分⑵解：因为平面CDEF平面ABCD，平面CDEF平面ABCDCD，DE平面CDEF，DECD，所以DE平面ABCD，------6分以D为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，设,DAaDEb，(,,0),(0,0,),(0,2,0),(0,2,)BaaEbCaFab，(,,),(0,2,),(,,0)BEaabDFabBCaa，因为BEDF，所以22(,,)(0,2,)20BEDFaababba，2ba，--8分设平面EBC的法向量(,,)mxyz，由20,mBEaxayazmBCaxay得到m的一个解为(1,1,2)m，注意到平面EAD的法向量(0,1,0)n，--10分而1cos,,2||||mnmnmn所以，平面EAD与EBC所成锐二面角的大小为60.12分20.⑴解：设曲线E上任意一点坐标为(,)xy，由题意，2222(1)3(1)xyxy，-----2分整理得22410xyx，即22(2)3xy，为所求.-----4分⑵解：由题知12ll，且两条直线均恒过点(1,0)N，设曲线E的圆心为E，则(2,0)E，线段CD的中点为P，则直线EP：2yx,设直线CD：yxt，由2,yxyxt，解得点22(,)22ttP，-----6分由圆的几何性质，221||||||||2NPCDEDEP，而22222||(1)()22ttNP，2||3ED，22|2|||()2tEP，解之得0t或3t，又,CD两点均在x轴下方，直线CD：yx.由22410,,xyxyx解得21,2212xy或21,221.2xy不失一般性，设2222(1,1),(1,1)2222CD，--9分由22410,(1)xyxyux消y得：2222(1)2(2)10uxuxu，⑴方程⑴的两根之积为1，所以点A的横坐标22Ax，又因为点22(1,1)22C在直线1:10lxmy上，解得21m，直线1:(21)(1)lyx，所以(22,1)A，--11分同理可得，(22,1)B，所以线段AB的长为22.--12分21.⑴解：函数()fx的定义域为(0,)，2()xmfxx，当0m时，()0fx，所以函数()fx的单调增区间是(0,)，无减区间；--2分当0m时，()()()xmxmfxx；当0xm时，()0fx，函数()fx的单调递减；当xm时，()0fx，函数()fx的单调递增.综上：当0m时，函数()fx的单调增区间是(0,)，无减区间；当0m时，函数()fx的单调增区间是(,)m，减区间是(0,)m.----4分⑵解：令21()()()(1)ln,02Fxfxgxxmxmxx，问题等价于求函数()Fx的零点个数，----5分当0m时，21(),02Fxxxx，有唯一零点；当0m时，(1)()()xxmFxx，当1