河海大学工程力学,第十四章.

HOHAIUNIVERSITY第十四章压杆稳定HOHAIUNIVERSITY§14-1压杆稳定性的概念受轴向压缩的直杆，其破坏有两种形式：1）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到材料的极限应力，为强度破坏。2）细长的直杆，其破坏是由于杆不能保持原有的直线平衡形式，为失稳破坏。HOHAIUNIVERSITY对于这些细长的压杆，其破坏并非由于强度不足，而是由于荷载（压力）增大到一定数值后，不能保持原有直线平衡形式而失效。工程中存在着很多受压杆件。HOHAIUNIVERSITY1.两端铰支细长压杆，当F力较小时，杆在力F作用下将保持原有直线平衡形式。此时，在其侧向施加微小干扰力使其弯曲，当干扰力撤除后，杆仍可回复到原来的直线形式。可见这种直线平衡形式是稳定的。HOHAIUNIVERSITY2.当压力超过某一数值时，如作用一侧向微小干扰力使压杆微弯，则在干扰力撤除后，杆不能回复到原来的直线平衡形式，而在微弯状态下保持平衡。压杆原来的直线平衡形式是不稳定的。这种丧失原有平衡形式的现象称为丧失稳定性，简称失稳。压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡时，轴向压力的临界值，称为临界力或临界荷载，用Fcr表示。HOHAIUNIVERSITY稳定性问题在其它一些构件，如板、壳。一些薄壁构件中也存在。如宽高比较小的悬臂梁，F力过大时会发生侧向失稳。HOHAIUNIVERSITY§14-2细长压杆的临界荷载在临界力Fcr作用下，细长压杆在微弯状态下平衡，若此时压杆仍处在线弹性阶段，可应用梁的挠曲线近似微分方程及杆端约束条件求解临界力Fcr。1.两端铰支的细长压杆设两端铰支的细长压杆在临界荷载Fcr作用下，在xOw平面内处于微弯状态。lxFcrwHOHAIUNIVERSITY挠曲线近似微分方程为lwxFcrxwEIw=-M(x)x截面的弯矩为M(x)=FcrwEIw=-FcrwEIw+Fcrw=0令k2=FcrEIw+k2w=0得二阶常系数线性微分方程其通解为w=Asinkx+BcoskxA、B、k待定常数xwxwFcrFcrM(x)HOHAIUNIVERSITY由杆的已知位移边界条件确定常数x=0，w=0x=l，w=0得B=0，w=Asinkx得Asinkl=0由Asinkl=0得A=0（不可能）或sinkl=0即kl=nπ(n=0,1,2…）因此:Fcr=n2π2EIl2最小的临界荷载（n=1）（Euler公式）Fcr=π2EIl2k2=FcrEI(n=0,1,2…）lxFcrww=Asinkx+BcoskxHOHAIUNIVERSITY压杆的挠曲线方程为A是压杆中点的挠度wmax。w=Asinxπl（半波正弦曲线）x=2l时wmax=Aw=Asinkx+Bcoskxk=π/llxFcrwHOHAIUNIVERSITY2.不同杆端约束下压杆的临界力xFcrwxwlABlwxFcrxwABwlxFcrxwABxFcrxwABwlHOHAIUNIVERSITYlFcrFcr2lFcrl类比法一端固定一端自由的细长压杆，长度2l范围内与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。Fcr=π2EI（2l）2HOHAIUNIVERSITYlFcrFcrl/2l/4l/4类比法Fcr=π2EI(0.5l)2两端固定细长压杆，长度0.5l范围内与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。HOHAIUNIVERSITY0.7lFcr0.3llFcr类比法Fcr=π2EI(0.7l)2一端固定，另一端铰支的细长压杆，在0.7l范围内与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。HOHAIUNIVERSITYEuler公式的统一形式Fcr=π2EI(μl)2约束越强，μ越小，临界力Fcr越大。μ——长度系数μl——相当长度一端固定一端自由一端固定一端铰支两端固定两端铰支μ=1.0μ=2.0μ=0.5μ=0.7HOHAIUNIVERSITYFcr=π2EI(μl)2公式讨论2.当杆端约束在各个方向相同时（如球铰、空间固定端），压杆只可能在最小抗弯刚度平面内失稳，即I取Imin值；1.Fcr与抗弯刚度成EI正比，与相当长度μl的平方成反比；最小抗弯刚度平面：惯性矩I为最小的纵向平面如矩形截面的Iy最小，xOz平面为最小抗弯刚度平面。HOHAIUNIVERSITY3.当杆端约束情况在各个方向不同时，如图柱形铰，xOz平面内为铰支（可绕y轴自由转动），xOy平面内为固定端（不能转动）。计算临界荷载应取I与μ2比值的最小值，压杆在相应的平面内失稳。轴销xyz压杆在xOz平面内失稳时：μ=1.0，I=Iy计算临界力Fcr1压杆在xOy平面内失稳时：μ=0.5，I=Iz计算临界力Fcr2临界力Fcr为两者中较小的值。Fcr=π2EI(μl)2HOHAIUNIVERSITY4.实际工程中的压杆。其杆端约束有很多变化，要根据具体情况选取适当的长度系数μ值。5.实际工程中的压杆，非理想的均质直杆，荷载也总会有小的偏心，因此其临界力比公式计算出的为小，这可以在安全系数里考虑，故实际工程中压杆仍可按该公式计算其临界荷载。HOHAIUNIVERSITY§14-3压杆的柔度与压杆的非弹性失稳当压杆在临界荷载Fcr作用下，并仍处于直线形式的平衡状态时，横截面上的正应力称为临界应力。一、压杆的临界应力与柔度σcr=FcrAπ2EI(μl)2=Ai2=IAμliλ=令σcr=π2Eλ2则有λ——称为压杆的柔度（或细长比），它综合反映了压杆的几何尺寸和杆端约束对压杆承载能力的影响。HOHAIUNIVERSITY二、欧拉公式的适用范围推导欧拉公式时，杆处于线弹性状态。σcr≤σP故欧拉公式的适用条件σcr=π2Eλ2≤σPλ≥√π2EσP令√λP=π2EσPλ≥λP满足该条件的压杆称为细长压杆（或大柔度杆）。HOHAIUNIVERSITYλP为材料参数，不同的材料有不同的值。如Q235钢，σP=200MPaE=200MPaλP=100三、非弹性失稳压杆临界力λ≥λPλλP为弹性失稳压杆的失稳称为非弹性失稳σcrσP此时欧拉公式不再适用，工程上常以试验结果为依据的经验公式来计算这类压杆的临界应力。如直线公式σcr=a-bλa、b为与材料有关的常数，由试验确定。如Q235钢，a=304MPab=1.12MPa这类压杆的临界力为σcrFcrA=称为中长杆(中柔度杆)HOHAIUNIVERSITY实际上时σcr≥σu压杆将发生强度破坏，而不是失稳破坏。直线公式的适用范围λλPλu四、失效应力总图oσcr=σsσcr=a-bλλuλpσcrλσcrσpσcr=E22πλQ235钢的失效应力总图σPσcrσu称为短粗杆(小柔度杆)=a-σcrλubHOHAIUNIVERSITY例TC13松木压杆,两端为球铰。压杆材料的比例极限σp=9MPa,强度极限σb=13MPa，弹性模量E=1.0×104MPa。压杆采用面积相同的两种截面:(1)h=120mm,b=90mm的矩形。(2)b=104mm正方形。试比较二者的临界荷载。Fcr3mhbFcr3mbb解：(1).矩形截面3min121hbI121213minminbbhhbAIiHOHAIUNIVERSITY该压杆为细长杆,临界力用欧拉公式计算:7.104MPa9MPa10ππ42p2pEpkN94.79)31(09.012.0121MPa10π)(π234222crlEIFFcr3mhb4.11509.012312blilHOHAIUNIVERSITY(2).正方形截面93.99104.012312blilpu该压杆为中长杆85bubaMPa3.10MPa)93.9919.03.29(crbakN4.111N104.0103.1026crcrAFFcr3mbb12biHOHAIUNIVERSITY例一压杆,长l=2m,截面为10号工字钢,材料为Q235钢,σs=235MPa,E=206GPa,σp=200MPa。压杆两端为柱形铰。试求压杆的临界荷载。轴销xyz解：先计算压杆的柔度。在xz面内，压杆两端可视为铰支，μ=1。查型钢表，得iy=4.14cm，故3.480414.021yyilHOHAIUNIVERSITY在xy面内，压杆两端可视为固支，μ=0.5。查型钢表，得iz=1.52cm，故8.650152.025.0zzil轴销xyzyz压杆将在xy面内失稳100pQ235钢60u故压杆为中长杆MPa3.230MPa)8.6512.1304(crbakN3.329N103.14103.23046crcrAF临界应力:横截面面积:2cm3.14A临界力:HOHAIUNIVERSITY§14-4压杆的稳定计算一、压杆的稳定条件压杆的稳定条件为][ststcrFnFFnst为稳定安全因数；[Fst]为稳定容许压力。用应力表示的稳定条件为][ststcrnAF[σst]为稳定容许应力。nst的选取除了要考虑在选取强度安全因数时的那些因素外，还要考虑影响压杆失稳的其它不利因素，如初曲率、荷载偏心等。HOHAIUNIVERSITY二、压杆的稳定计算1.安全因数法2.折减因数法][][st][AF][ststcrFnFF或][ststcrnAFφ称为折减因数；小于1。HOHAIUNIVERSITY例由Q235钢制成的千斤顶如图。丝杆长l=800mm，直径d=40mm，上端自由，下端可视为固定。材料E=2.1×105MPa。若该丝杆的稳定安全因数nst=3，是求该千斤顶的最大承载力。解：先求丝杆的临界压力Fcr丝杆lFmm1044/6424dddAIi160mm10mm8002il100pQ235钢故丝杆为细长杆kN7.101m)8.02(m04.064MPa101.2π)(π22445222crlEIFkN9.333kN7.101][stcrstnFFHOHAIUNIVERSITY例某钢柱长7m，由两根16b号槽钢组成，材料为Q235钢，横截面如图所示，截面类型为b类。钢柱的两端截面上有4个直径为30mm的螺栓孔。钢柱μ=1.3，受260kN的轴向压力，材料的[σ]=170MPa。（1）求两槽钢的间距h。（2）校核钢柱的稳定性和强度。解：(1)确定两槽钢的间距h钢柱两端约束在各方向均相同，因此，最合理的设计应使Iy=Iz,从而使钢柱在各方向有相同的稳定性。单根16b号槽钢的截面几何性质可由型钢表查得为:A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4，z0=1.75cm，δ=10mmHOHAIUNIVERSITY按惯性矩的平移公式，钢柱截面对y轴的惯性矩为Iy=2[Iyo+A(z0+h/2)2]由Iy=Iz的条件得到2×934.5=2×[83.4+25.15(1.75+h/2)2]整理后得到12.58h2+85.51h-1566.83=0解出h后,舍弃不合理的负值,得h=8.23cm。A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4，z0=1.75cm，δ=10mmHOHAIUNIVERSITY(2)校核钢柱的稳定性钢柱两端附近截面虽有螺栓孔削弱,但属于局部削弱,不影响整体的稳定性。钢柱截面的λ和i分别为cm1.615.2525.9342AIi2.149cm1.6m73.1ilA=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4，z0=1.75cm，δ=10mmHOHAIUNIVERSITY查表得φ=0.308，所以φ[σ]=0.308×170MPa=52.4MPa而钢柱的工作应力为MPa7.51cm15.252kN2602AF][钢柱满足稳定要求。(3)校核钢柱的强度对螺栓孔削弱的截面,应进行强度校