抛物线的简单几何性质PPT课件

2.4.2抛物线的简单几何性质(1)一、复习回顾：l定点F是抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.l.FMd.xOyK1、抛物线的定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.标准方程图形焦点准线)0(22ppxy)0(22ppyxxyoF.xyFo)0,2(pF.yxoF2px)2,0(pFxoyF2py)0(22ppxy)0,2(pF2px)0(22ppyx)2,0(pF2py2、抛物线的标准方程：标准方程抛物线的简单几何性质(一)22(0)ypxp图形焦点和准线焦点(,0)2pF和准线:2plx你认为这个标准方程对应的抛物线还有什么几何性质呢?对称性和顶点关于x轴对称,顶点(0,0)(抛物线和轴的交点)范围0x≥,yR(向右上方和右下方无限延伸)离心率e1e(即MFd)﹒xoMFdKp─焦点到准线的距离.2p─过焦点垂直轴的弦长.通径.二、讲授新课：方程图形范围对称性顶点离心率y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）e=1例1.已知抛物线关于x轴对称,顶点在坐标原点,并且过点M(2,),求它的标准方程.三、例题选讲：1234-1-1-2-312xyO1234-1-1-2-312xyOy2=4x22(2,3)5Fy练习、求焦点为，准线方程为的抛物线方程..FxOyP是抛物线上任意一点解：设),(yxP则由抛物线的定义知：5PFy到的距离等于到直线的距离|5|)3()2(22yyx即)4(4)2(2yx化简得：例2斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.解这题,你有什么方法呢?法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);法三:活用定义,运用韦达定理,计算弦长.法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.1lyx的方程为：2216104yxxxyx解法1F1(1,0),1212322322222222xxyy或221212AB=(x-x)+(y-y)=81lyx的方程为：2216104yxxxyx22[]=116418AB22121214kxxxx解法2F1(1,0),1212⇒x+x=6,xx=11lyx的方程为：2216104yxxxyx解法3F1(1,0),1212⇒x+x=6,xx=1|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=812345678-1-2123456xyOABFA1B1解法412345678-1-2123456xyOABFA1B1KFA=1cosAAKHpFAH,同理1cospFB,221cos1cos2228sinsin45ppABp∴1cospFA一般地,题目改为:倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,求线段AB的长.22sinpAB可以证明，不再赘述，感兴趣自行解决解:设1122(,),(,)AxyBxy22(,)xy问题:倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,求线段AB的长.由2cot22pxyypx消去x并整理得222cot0ypyp11(,)xy∴122cotyyp,212yyp221212()()ABxxyy=2212(1cot)()yy∵焦点(,0)2pF,直线AB的倾斜角为∴直线AB的方程为cot2pxy=221212(1cot)()4yyyy=22sinp与直线的倾斜角无关!11(,)xy11(,)xy问题:倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,求线段AB的长.解:设1122(,),(,)AxyBxy,焦点(,0)2pF11(,)xy22(,)xyMN由抛物线定义可知,FAMAFBNB准线:2plx,分别过点A、B作l的垂线,垂足分别为M、N.∴ABFAFB=12xxp∵直线AB的方程为cot2pxy由2cot22pxyypx消去y并整理得222(2cot)0xppxp∴AB=2222cot2sinppp练习P72412345-1-1-2-3-4-512345xyOx=3例3过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。22,xypx证明：以抛物线的对称轴为轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系。设抛物线的方程为02,pOAyxy则直线的方程为2px准线20.Dpyy联立可得2002(,0),.222pxpyFAFypyp又点直线为220.Bpyy与y=2px联立可得,//DByyDBx由知轴。xyOFABD200(,)2yAyp点220,.yp当时结论显然成立所以，直线DB平行于抛物线的对称轴。220()yp例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.xOyFABD22,xypx另证：以抛物线的对称轴为轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系。设抛物线的方程为当直线AB存在斜率时,设AB为()2pykx与y2=2px联立,得yAyB=-p22,ApOAyxy直线的方程为2.DApyy2.BApyy即,//DByyDBx由知轴。当直线AB存在斜率时,结论显然成立.所以，直线DB平行于抛物线的对称轴。例4已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?1(2).lykx解：直线的方程为xyxky4)2(12由方程组244(21)0kyyk可得⑴只有一个公共点200,16(21)0kkkk或△11,0,2kk或或k=⑵有两个公共点2016(21)0kkk△110,02kk或⑶没有公共点2016(21)0kkk△11,2kk或11,0,2kkk综上所述当或或时,直线与抛物线只有一个公共点;11002kk当或时,直线与抛物线有两个公共点;112kk当或时,直线与抛物线没有公共点。练习:过点(0,1)M且和抛物线C:24yx仅有一个公共点的直线的方程是__________________________.k联立214ykxyx消去x得2440kyy101yxyx或或k≠0k=0,或△=16-16k=0k=0,或k=1101yxyx或或判断直线与圆锥曲线位置关系的操作程序：把直线方程代入曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离总结作业P738,P742,3定值最值问题定值:学案P144例题1P145练习10最值：P144例题2P140例题2自我测评7,8要善于利用定义法解题22,,yxOAOBABx练习1、过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦求证:直线与轴的交点为定点.:,OAlykx解：(1)设xkylOB1:则xykxy22联立222,AAxykkxyxky212联立22,2BBxkyk(1)k22222212ABkkkkkkk.FxOyBA22222:y(),1(2)1kABxkkkkyxk即ABx直线与轴的交点为定点(2,0).1,,(2,0)kAByAB当时∥轴与x轴相交于点,(2,0).AB综上所述直线与x轴的交点为定点22222212ABkkkkkkk.FxOyBA1122(.),(,),AB:AxyBxyykxb另解设xybkxy22联立0)22(222bxkbxk2221kbxxkbyy221同理02121yyxxOBOA由kbkbkb20222即:2ABykxk)0,2(轴交点与x.FxOyBA22,,yxOAOBABx练习1、过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦求证:直线与轴的交点为定点.,(2,0)AByAB当∥轴时与x轴相交于点综上所述,直线AB与x轴的交点为定点(2,0).