中南财经政法大学金融工程课件(7)利率与债券7

金融保险学院金融保险学院金融保险学院金融保险学院金融工程金融工程20102010－－20112011利率与债券利率与债券利率与债券利率与债券李志生李志生中南财经政法大学新华金融保险学院Copyright@2011Li,Z.金融保险学院金融保险学院利率的度量利率的度量金融保险学院金融保险学院„假设年利率为10％复利的频率$100在1年末的终值每一年(m=1)$100×1.1＝$110.00每半年(m=2)$100×1.052＝$110.25每季度(m=4)$100×1.0254＝$110.38()每月(m=12)110.47每天(m=365)110.52每天()连续复利110.52连续复利与每天计复利得到的效果接近，因此，从实用的角度，通常认为连续复利与每天计复利等价Copyright@2011Li,Z.22011-3-20实用的角度，通常认为连续复利与每天计复利等价金融保险学院金融保险学院连续复利连续复利金融保险学院金融保险学院„假设$1以年利率r投资了t年‰如果每年计一次复利，则投资终值为：mtr⎛⎞()1tr+‰如果每年计m次复利，则投资终值为：当趋于无穷大时就称为连续复利（Continos1rm⎛⎞+⎜⎟⎝⎠‰当m趋于无穷大时，就称为连续复利（ContinuousCompounding），此时终值为：rt⎡⎤lim1mtmrm→∞⎛⎞+⎜⎟⎝⎠lim1rtmrmrm→∞⎡⎤⎛⎞⎢⎥=+⎜⎟⎢⎥⎝⎠rte=(极限公式：)m⎝⎠1lim1xe⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠mm→⎢⎥⎝⎠⎣⎦Copyright@2011Li,Z.32011-3-20()xx→∞⎜⎟⎝⎠金融保险学院金融保险学院连续复利连续复利金融保险学院金融保险学院„金融工程分析中通常使用连续复利‰连续复利的终值表达式()有很好的数学性质„容易进行求导、积分和求极限等分析rte容易进行求导、积分和求极限等分析„指数可以把乘法（除法）变成加法（减法)‰我们可以在很多连续自然增长或衰退的模型中发‰我们可以在很多连续自然增长或衰退的模型中发现e的踪影，如生物增长模型，其中P表示生物的数量，m和n分别表示出生率和死亡率()0()mntPtPe−=表示生物的数量，m和n分别表示出生率和死亡率尽管在实际金融活动中真正应用连续复利的情况很少，但是为了研究的方便，任意一般复利都可以通过适当的转换变成连续复利，反之也成立Copyright@2011Li,Z.42011-3-20金融保险学院金融保险学院连续复利连续复利金融保险学院金融保险学院„连续复利rc与有限复利rm的关系：()1mcmtrrte=+()ln1mrcmrm⎧=+⎪⇒⎨⎛⎞()1me=+1crmmrme⇒⎨⎛⎞=−⎪⎜⎟⎝⎠⎩‰例1：债券年利率为10%（每半年计息一次），该利率对应的连续复利为：()0.12ln19.758%2r=+=利率对应的连续复利为：‰例2：某公司拟发行债券，债券的年利率为8%(连()2ln19.758%2cr+续复利)。但实际操作中是每季度计息一次，那么该债券的票面利率应是：()8%4418.08%mre=−=Copyright@2011Li,Z.52011-3-20()m金融保险学院金融保险学院即期利率和远期利率即期利率和远期利率金融保险学院金融保险学院„即期利率(SpotRate，ZeroRate)‰某个固定时点上无息(或到期还本付息)证券的到期收益率率‰例子：某无息国债的发行价为1000元，5年后支付1284元，它的即期年利率(连续复利)是：1284元，它的即期年利率(连续复利)是：510001284cre××=5%cr⇒=„即期年利率(连续复利)公式1P01lnTcPrTP=Copyright@2011Li,Z.62011-3-20金融保险学院金融保险学院即期利率和远期利率即期利率和远期利率金融保险学院金融保险学院„零息国债的即期利率偿还期(年)即期年利率(连续复利)0.55.0%15.8%1.56.4%268%26.8%Copyright@2011Li,Z.72011-3-20金融保险学院金融保险学院即期利率和远期利率即期利率和远期利率金融保险学院金融保险学院„远期利率‰远期利率是由当前即期利率的期限结构隐含的未来一段时间内的利率来率‰例：1年和2年期的即期年利率分别为5.8%和6.8%(连续复利)，那么1年后一年期的远期利率为：(连续复利)，那么1年后年期的远期利率为：期利率求解15.8%16.8%2Freee×××=7.8%Fr⇒=„远期利率求解112122()FrTrTTrTeee−=112122()FrTrTTrT⇒+−=22111221()FrTrTTrrrrTTTT−⇒==+−−−Copyright@2011Li,Z.82011-3-202121TTTT−−金融保险学院金融保险学院远期利率协议远期利率协议金融保险学院金融保险学院„在未来某一特定日期，按照规定的货币、金额、期限和利率进行交割的一种协议‰例子：市场上2年期的LIBOR年利率为4%(连续复例子：市场年期的年利率为(连续复利)，1年后1年期的远期LIBOR利率为5%(连续复利)。某远期利率协议中，从签订之日起1年后的1利)某远期利率协中，签订起年的年里按照6%的年利率(连续复利)交割$100000。该协议的价格为多少？协的价格为多少„远期协议在第2年末的现金流(相对于LIBOR)：(6%5%)$100000100000$1005e−=„协议的价格：()$100000100000$1005e−=0.042$1005$928e−×=Copyright@2011Li,Z.92011-3-20金融保险学院金融保险学院债券债券金融保险学院金融保险学院„债券表达的是一种债权和债务关系„债券作为投资对象时，需要考虑两个问题‰时间:货币的时间价值(TimeValueofMoney)‰时间:货币的时间价值(TimeValueofMoney)‰风险:风险回报(RiskAdjustedPremium)债券回报率是由货币的时间价值(实际利率)和合理的风险回报水平决定的„债券投资人所承担的风险包括了两个方面通货膨胀风险‰通货膨胀风险‰发行方经营风险(信用风险)Copyright@2011Li,Z.102011-3-20金融保险学院金融保险学院债券债券金融保险学院金融保险学院„债券价格的理论值‰债券的定价一般采用折现现金流的方法单利TtCMP∑‰单利：„C：第t期的利息收益；M：本金；r：偿还期为t的无1(1)(1)ttTttTPrr==+++∑„Ct：第t期的利息收益；M：本金；rt：偿还期为t的无息债券的预期(实际)收益率；T：偿还期TT∑‰连续复利：1tTrtrTttPCeMe−−==+∑债券价会受前市率市未来债券的价格会受到当前市场利率、市场对未来通胀水平的预期、债券的期限和利息支付结构等的影响Copyright@2011Li,Z.112011-3-20金融保险学院金融保险学院债券债券金融保险学院金融保险学院„债券的理论价格：例子‰如果1年期无息国债的面值是$1000，其市场均衡价格为$943.65，则：1000ln()58%r==价格为$943.65，则：‰能否用上述利率计算2年期国债的价格？ln()5.8%943.65cr==比如，2年期国债面值是$1000，每年付息$100，到期还本付息1100美元。按照5.8%的利率则有：率„实际上上述2年期国债的价格为$1054.495.8%5.8%210011001073.89PVee−−×=+=„实际上上述2年期国债的价格为$1054.49„问题出在第2年的贴现率上，由于长偿还期意味着高风险，所以两年期的即期利率要高于一年期Copyright@2011Li,Z.122011-3-20险，所以两年期的即期利率要高于一年期金融保险学院金融保险学院债券债券金融保险学院金融保险学院„债券评价：到期内部收益率‰表示投资债券的即期收益率无息国债的即期利率偿还期即期利率‰例子：某两年期的国债面值偿还期(年)即期利率(连续复利)0550%‰例子：某两年期的国债面值为$100，该国债每半年支付$3的利息，到期还本，该国0.55.0%15.8%1564%$3的利息，到期还本，该国债的价格为：-5.0%0.5-5.8%1-6.4%1.5333eee⋅⋅⋅++1.56.4%26.8%‰到期内部收益率y为-6.8%233310398.39eeee⋅+++=‰到期内部收益率y为：0.511.5233310398.39yyyyeeee⋅−−−-+++=676%Copyright@2011Li,Z.132011-3-206.76%y⇒=金融保险学院金融保险学院债券债券金融保险学院金融保险学院„债券评价：利率的期限结构‰利率期限结构是指在给定的风险水平下某一时点上债券的到期时间与到期收益率之间的关系债率···到期‡不同风险水平(同信用·期收益率不同风险水平(同信用等级)的债券具有不同的期限结构曲线率‡相同风险水平的债券在不同时间具有不同偿还期2480的利率期限结构曲线Copyright@2011Li,Z.142011-3-20金融保险学院金融保险学院债券债券金融保险学院金融保险学院„债券评价：久期（Macaulay’sDuration）‰收回债券初始投资的加权平均时间„n年期的无息债券和到期还本债券收回投资的加权平均„n年期的无息债券和到期还本债券收回投资的加权平均时间为n„n年期的附息债券收回投资的加权平均时间？„n年期的附息债券收回投资的加权平均时间？‰久期的计算公式11()ytyTTtTttCeTCMeDPP−−−=+=+∑1TytyTttPPCeMe−−=+∑其中为债券的价格，1t=Copyright@2011Li,Z.152011-3-201t=金融保险学院金融保险学院债券债券金融保险学院金融保险学院„久期的经济学含义111(),ytyTTTytyTtTttttCeTCMeDPCeMePP−−−−−==+=+=+∑∑1TytyTttPtCeTMeyΔΔ−−=⎛⎞⇒=−−⎜⎟⎝⎠∑dPPydyΔΔ≈DPyΔ=−PPPDyDPyΔΔΔΔ⇒=−⇒=−‰久期表示单位收益率变化带来的债券价格变化率„久期越长，债券对利率的敏感性就高，风险越大影响久期的三个因素：(1)T越短，D越短；(2)到期内部收益率y越高，D越短；(3)票面利率越高，D越短Copyright@2011Li,Z.162011-3-20部收益率y越高，越；()票面利率越高，越金融保险学院金融保险学院债券债券金融保险学院金融保险学院„久期例题：某两年期国债面值是$1000，每年付息$100，其当前市价为$1090，求该国债的久期。‰求债券的到期内部收益率‰求债券的到期内部收益率210011001090yyee−-+=5%y⇒=‰计算久期1()ytyTTtCeTCMe−−−+11()yyTtTttCeTCMeDPP=+=+∑0.050.11100211001.9110901090eeD−−××××⇒=+=Copyright@2011Li,Z.172011-3-20金融保险学院金融保险学院债券债券金融保险学院金融保险学院„久期例题:A向B借$1000，B可以选择三种不同的还款方式：(1)3个月后一次性还$1000；(2)第1个月末还$200，第2个月末还$300，第3个月末还$500；(3)每个月末平均还$1000/3从资金安全的角度看B会选种均还$1000/3。从资金安全的角度看，B会选哪种？0010001233D×+×+×11233100010001000D=×+×+×=200300500结论：方案(3)是最安全!22003005001232.3100010001000D=×+×+×=100010001000是最安全!31000100010003331232100010001000D=×+×+×=Copyright@2011Li,Z.182011-3-20