电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)第4章

1第四章静电场4-1已知一根长直导线的长度为1km，半径为0.5mm，当两端外加电压6V时，线中产生的电流为61A，试求：①导线的电导率；②导线中的电场强度；③导线中的损耗功率。解（1）由IRV，求得366/16R由SR，求得导线的电导率为mS1054.3105.036107233RS（2）导线中的电场强度为mV10610633VE（3）单位体积中的损耗功率2EPl，那么，导线的损耗功率为W122LrEP4-2设同轴线内导体半径为a，外导体的内半径为b，填充媒质的电导率为。根据恒定电流场方程，计算单位长度内同轴线的漏电导。解设0;,时，时brVar。建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为0dddd12rrrr求得同轴线中的电位及电场强度E分别为babrVlnlnreEbaVrln1则reEJbaVrln12单位长度内通过内半径的圆柱面流进同轴线的电流为baVIsln2dsJ那么，单位长度内同轴线的漏电导为baVIRGln21mS4-3设双导线的半径a，轴线间距为D，导线之间的媒质电导率为，根据电流场方程，计算单位长度内双导线之间的漏电导。解设双导线的两根导线上线电荷密度分别为+和，利用叠加原理和高斯定理可求得两导线之间垂直连线上任一点的电场强度大小为rDrE112那么，两导线之间的电位差为aaDVadalndrE单位长度内两导线之间的电流大小为aDDIsssEsJdd则单位长度内两导线之间的漏电导为aaDaDDVIRGln1mS若aD则单位长度内双导线之间的漏电导为aDGlnmS4-4已知圆柱电容器的长度为L，内外电极半径分别为3a及b，填充的介质分为两层，界面半径为c。在cra区域中，填充媒质的参数为11；在brc区域中，媒质参数为22。若接上电动势为e的电源，试求：①各区域中的电流密度；②内外导体表面上以及介质表面上的驻立电荷密度。解(1)建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为0dddd12rrrr忽略边缘效应，设媒质①和媒质②内的电位分别为1和2，那么2111ln0ddddCrCrrr4322ln0ddddCrCrrr根据边界条件，得知211lnCaCea；432ln0CbCb4321lnlnCcCCcCcrcrrrdddd2211联立上式，求得cbaceClnln211；ecbacaeClnlnln212accbeClnln123；eaccbbeClnlnln124代入上式，得4ecbacaeecbacrlnlnlnlnlnln21211eaccbbeaccbrlnlnlnlnlnln12122reEJJrLcbacelnln12211121(2)r=a表面上面电荷密度为aLcbaceEnsalnln122111r=b表面上面电荷密度为bLcbaceEnsblnln121222r=c表面上面电荷密度为cLcbaceEnsclnln121221121214-5已知环形导体块尺寸如习题图4-5所示。试求ar与br两个表面之间的电阻。解建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为YXdabr(r,)0习题图4-550dddd12rrrr该方程的解为21lnCrCr令,0,0bVa求得常数abVCln01。那么，电场强度为rerEabrVrlndd0电流密度为reEJabrVln0电流强度为abVdzaabaVIdln2ddlnd02000SJ由此求得两个表面之间的电阻为dabIVRln204-6若两个同心的球形金属壳的半径为1r及)(212rrr，球壳之间填充媒质的电导率rk10，试求两球壳之间的电阻。解对于恒定电流场，因0J，可令J。将其代入0J，得0建立球坐标系，上式展开为60dd1dd1022rrkrrr该方程的解为21lnCkrrC那么，求得电流密度为reJ2101rkCkrrkC两球壳之间的电流为kCIs104dsJ两球壳之间的恒定电场为reJEkrrkC1两球壳之间的电位差为krrkrrCrkrrkCUrr211211lndd21lE求得两球壳之间的电阻为krrkrrkIUR21120ln414-7已知截断的球形圆锥尺寸范围为21rrr，00，电导率为，试求1rr及2rr两个球形端面之间的电阻。解由于两个球形端面之间的导电媒质是均匀的，因此由上例获知02那么2120ddddCrCrrr；求得电流密度reJ21rC；电场强度reE21rC那么，电流1021200211cos12dθsind0CdrrCIssJ7电位差2112111dd21rrCrrCUrrlE因此电阻21011cos121rrIUR4-8若上题中电导率rr10，再求两球面之间的电阻。解由于媒质是非均匀的，那么由0dddd0102rrrrr，求得21lnCrC电流密度rreeJ2101rrCrC电场强度reJErC1电流11002120021110cos12ddsind0rCθrrrCIssJ电位差121lndrrCUlE因此电阻12100lncos121rrrIUR4-9若两个半径为1a及2a的理想导体球埋入无限大的导电媒质中，媒质的电参数为及，两个球心间距为d，且1ad，2ad，试求两导体球之间的电阻。解设两球携带的电荷分别为Q和-Q，考虑到两球相距很远，21,adad，两球表面电荷分布可视为均匀。因此，两球的电位分别为811141adQaQ，22241adQaQ则两球之间的电位差为21212111114adadaaQU那么，两球之间的电容daaUQC211421根据静电比拟，两球之间的电阻应为daaCR21141214-10知半径为25mm的半球形导体球埋入地中，如习题图4-10所示。若土壤的电导率)S/m(106，试求导体球的接地电阻（即导体球与无限远处之间的电阻）。解已知半径为a的孤立导体球与无限远处之间的电容为aC4，那么根据静电比拟，埋地导体球的电阻R为aCRRC41对于埋地的导体半球，表面面积减了一半，故电阻加倍，即61036.621aR4-11恒定电流通过无限大的非均匀电媒质时，试证任意一点的电荷密度可以表示为E=10-6S/m02a习题图4-109解已知恒定电流场是无散的，即0J，那么0EEE又由于介质中电通密度在某点的散度等于该点自由电荷的体密度，即EEED由上两式求得E4-12若一张矩形导电纸的电导率为，面积为ba，四周电位如习题图4-12所示。试求：①导电纸中电位分布；②导电纸中电流密度。解(1)建立直角坐标，根据给定的边界条件，得0,00byyyyax00,,0,0Vyayby0导电纸区域中电位的通解为ykDykCxkBxkADyCBxAyxnnnnnnnnncossinchsh,10000由边界条件00yy及0byy得0chsh1000nnnnnnnkCxkBxkACBxAnˆ0n0nba=0=V0XY习题图4-12100sincoschsh1000bkDbkCxkBxkAkCBxAnnnnnnnnnn由此求得常数：0nC，其中,2,1,0nbnkn，其中,2,1n代入上式，得100coschsh,nnnybnxbnBxbnABxAyx由边界条件0,,0,0Vyay，得1000coschshnnnVybnabnBabnABaA0cos10nnybnBB由此求得常数：,3,2,1,0,0nBn其中,00aVA,3,2,1,0nAn其中那么，导电纸中的电位分布为xaVyx0,(2)由xeEaV0，求得导电纸中电流密度为xeE,JaVyx04-13已知电导率为的无限大的导电媒质中均匀电流密度0JxeJ。若沿Z轴方向挖出半径为a的无限长圆柱孔，如习题图4-13所示。试求导电媒质中的电位分布。YXa0JXXZ习题图4-1311（提示：当r时，电位cos0rJ）解由于所讨论的空间是无源的，故电位应满足拉普拉斯方程02。取圆柱坐标系，则其通解可表示为100cossincossinln,,nnnnnnnnBnArnBnArDrCzr(1)在r区域中，圆柱孔的影响可以忽略，则00EJ，又xxeE0，得cos000rJxJxJ可见，当r时，电位函数为cos的函数，因此zr,,表达式中系数nnAADC,,,00均应为零，且1n。那么cos1cos1cos,,1111BrrBBrrBzr当r时，即coscos01rJrB，得01JB(2)由于圆柱孔内不可能有电流，所以其表面不可能存在法向电场，因而表面不可能存在电荷。因此，当ar时，0r。由此获知，0cos1121BaBrar可见，1211BaB，即20121aJBaB。综上可知01JB及201aJB，其余常数均为零。那么，导电媒质中的电位分布函数为12cos,,20rarJzr