泛函分析试卷

泛函分析期末考试试卷（总分100分）一、选择题（每个3分，共15分）1、设X是赋范线性空间，Xyx,，T是X到X中的压缩映射，则下列哪个式子成立（）.A．10，　yxTyTxB.1，　yxTyTxC.10，　yxTyTxD.1，　yxTyTx2、设X是线性空间，Xyx,，实数x称为x的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（）.A.0等价于0且,0xxxB.数复为任意实,xxC.yxyxD.yxxy3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（）.A．收敛点列的极限是唯一的B.基本点列是收敛点列C．基本点列是有界点列D.收敛点列是有界点列4、巴拿赫空间X的子集空间Y为完备的充要条件是（）.A．集X是开的B.集Y是开的C.集X是闭的D.集Y是闭的5、设(1)plp的共轭空间为ql，则有11pq的值为（）.A.1B.12C.1D.12二、填空题（每个3分，共15分）1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。3、1l的共轭空间是（）。4、设X按内积空间x,y成为内积空间，则对于X中任意向量x,y成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。三、判断题（每个3分，共15分）1、设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。()2、距离空间中的列紧集都是可分的。()3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。()4、任何一个Hilbert空间都有正交基。()5、设X是线性赋范空间，T是XX的有界线性算子，若T既是单射又是满射，则T有逆算子。()四、计算题（10分）叙述1l空间的定义，并求1l上连续线性泛函全体所成的空间？。五、证明题（第一个5分，其余10分一个，共45分）1、若T为Banach空间X上的无界闭算子，证明T的定义域至多只能在X中稠密。2、设[0,1]C表示闭区间[0,1]上连续函数全体，对任何,[0,1]xyC，令10(,)|()()|,dxyxtytdt证明(,)xd成为度量空间。3、证明nR按范数||||max||iix组成的赋范线性空间X与nR按范数1||||||niix组成的赋范线性空间Y共轭。4、设X是可分Banach空间，M是X中的有界集，证明M中每个点列含有一个弱*收敛子列。5、设H是内积空间，M为H的子集，证明M在H中的正交补是H中的闭线性子空间。泛函分析期末考试试卷答案一、选择题1、A2、D3、B4、D5、D二、填空题1、柯西点列2、巴拿赫空间3、l4、|x,y|≦||x||||y||5、对于一切x∈X,TX,X是实数三、判断题1、对2、对3、错4、错5、错四、计算题答：1121(,,),,(1,2)iiilxRiLL对于任意12(,,,)nxLL，12(,,)nyLL，定义运算1122(,)nnxyL，12(,)naxaaaL1l按上述加法与数乘运算成为线性空间11iix1l按上述定义的范数构为Banach空间令(0,01,0),1,2nnenLLL，121(,,0,0,),nnnniiixxeLL则121(,)nnxlLL能被表示为limnnxx，对任意给定'1fl，令(),1,2nnfenL则11()(lim)lim()lim()nnnniiiinnniifxfxfxfe.又因为1ie对于i有1()iiifefef。由此可得supiif即12(,)nlLL反之，对12(,)nblLL，作1l上泛函()fx如下：1121(),(,)niinifxxlLL，显然f是1l上线性泛函，又因为1111()sup.sup,iiiiiiiiiiiifxx因此，1'(),fl并且有sup.iifb综上1'().ll五、证明题（共50分）1、证：反证法。若T为定义在整个空间X上的闭算子，由于X为闭集，而X为Banach空间，由闭图像定理可知，T为X到X的有界闭算子，这与T为无界闭算子矛盾，原命题成立。2、证：由定义，对于,[0,1],xyC显然(,)0,dxy且如果()(),[0,1],xtytt显然(,)0,dxy反之如果(,)0,dxy因为|()()|0,xtyt所以()(),..[0,1],xtytae于由于(),()xtyt为连续函数，若0[0,1],t使得00()(),xtyt则存在0,使得在00(,)[0,1]tt区间上，均有()(),xtyt这与()(),..xtytae相矛盾，所以()(),[0,1].xtytt此外，对于,,[0,1],xyzC111000(,)|()()||()()||()()|(,)(,)dxzxtztdtxtytdtytztdtdxydyz即三点不等式成立。因此(,)xd成为度量空间。3、证：定义X’到Y的映射T，任意'1,((),,()),nfXTffefeL其中(0,,0,1,0,0),1,2,,ieinLLL对任意1niiixe，11()()()maxnniiiiiifxfefe=Tfx，于是fTf。反之，对任意1,,,nyYL定义'fX：对任意1niiixe，1(),niiifx则Tfy。因此T是从X’到Y上的映射。若(0,,0)yL，则显然0f，则0Tff若1(,,)(0,,0),nyLL令1(sign)niiixe，则1x。因此()ffx=1.niiyTf从而.Tff于是T是从X’到Y的同构映射，在同构的意义下X’=Y。4、证：设,nfM存在0,,1,2,.nKfKnL设nx是X的可数稠密子集.考察有界数列11().nnfx由Weierstrass定理，存在收敛子列1,11()().nnfxfx同理1,21().nnfx也有收敛子列2,2()nfx.一般地，若已有子列,1()knknfx收敛，考察,11().knknfx.由于数列的有界性可找到收敛子列1,11()knknfxKK我们用对角线法则,取泛函列,11kknnkff,,kkf在稠密子集nx上点点收敛.事实上,由定义,对任意i,,1()ininfx是收敛的，而,kkkif是,1innf的子列，因此,1()kkikfx也是收敛的，,kkf在nx上点点收敛,即,kkf弱*收敛。5、证：对于,,,,aRxyMzM则,,,0,xyzxzyz,,0,axzaxz因此M为H的线性子空间。另外，对于任意M中的聚点x，即存在由M中互异的点组成的点列,nx使得lim.nnxx由内积的连续性，可知,lim,lim,0,nnnnxzxzxz即xM,因此M为H的闭线性子空间。.试卷评价：题型丰富，难易结合