重点难点重点线面、面面平行判定定理和性质定理和应用

《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B重点难点重点：线面、面面平行的判定定理与性质定理及应用难点：定理的灵活运用《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B知识归纳一、直线与平面平行1．判定方法(1)用定义：直线与平面无公共点．(2)判定定理：a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥α(3)其它方法：α∥βa⊂β⇒a∥α2．性质定理：a∥αa⊂βα∩β＝b⇒a∥b《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B二、平面与平面平行1．判定方法(1)用定义：两个平面无公共点(2)判定定理：a∥βb∥βa⊂αb⊂αa∩b＝P⇒α∥β《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B(3)其它方法：a⊥αa⊥β⇒α∥β；α∥γβ∥γ⇒α∥βa∥bc∥da，c⊂αb，d⊂βa∩c＝Ab∩d＝B⇒α∥β.《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B3．两条直线被三个平行平面所截，截得线段对应成比例．2．性质定理：α∥βγ∩α＝aγ∩β＝b⇒a∥b《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B误区警示1．应用线面平行、面面平行的判定定理与性质定理时，条件不足或条件与结论不符是常见的错误，解决的方法是弄清线线、线面、面面平行关系的每一个定理的条件和结论，明确这个定理是干什么用的，具备什么条件才能用．其中线面平行的性质定理是核心，证题时，找(或作)出经过已知直线与已知平面相交的平面是解题的关键，另外在证明平行关系时，常见错误是(1)“两条直线没有公共点则平行”；(2)“垂直于同一条直线的两直线平行”，不恰当的把平面几何中的一些结论迁移到立体几何中来，解决的关键是先说明它们在同一个平面内．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B2．注意弄清“任意”、“所有”、“无数”、“存在”等量词的含义．3．注意应用两平面平行的性质定理推证两直线平行时，不是两平面内的任意直线，必须找或作出第三个平面与两个平面都相交，则交线平行．应用二面平行的判定定理时，两条相交直线的“相交”二字决不可忽视．4．要注意符合某条件的图形是否惟一，有无其它情形．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B一、转化的思想解决空间线面、面面平行关系的问题关键是作好下列转化二、解题技巧要能够灵活作出辅助线、面来解题，作辅助线、面一定要以某一定理为理论依据．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B[例1]已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：①若m∥α，则m平行于平面α内的任意一条直线②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β④若α∥β，m⊂α，则m∥β上面命题中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B解析：若m∥α，则m平行于过m作平面与α相交的交线，并非α内任一条直线，故①错；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则可能m∥n，也可能m、n异面，故②错；m⊥αm∥n⇒n⊥αn⊥β⇒α∥β，③正确；α∥βm⊂α⇒m∥β，④正确．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B答案：③④点评：解决这类问题首先要熟悉线面位置关系的各个定理，如果是单项选择，则可以从中先选最熟悉最容易作出判断的选项先确定或排除，再逐步考察其余选项．要特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形等．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B(2010·浙江理)设m，l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m解析：两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故选B.答案：B《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B[例2](文)在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B解析：(1)在△ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，所以直线EF∥平面ACD.(2)在△ABD中，因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.在△BCD中，因为CD＝CB，F为BD的中点，所以CF⊥BD.因为EF⊂平面EFC，CF⊂平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD⊥平面EFC.《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B又因为BD⊂平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.(理)如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BE；(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点，求证：MN∥平面DAE.《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B证明：(1)因为BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC.又BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以AE⊥BF.又BF∩BC＝B，所以AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，所以AE⊥BE.(2)证法一：取DE的中点P，连结PA，PN，因为点N为线段CE的中点，所以PN綊12DC.《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B故四边形AMNP是平行四边形．所以MN∥AP，而AP⊂平面DAE，MN⊄平面DAE，所以MN∥DAE.证法二：取BE中点G，连结GM、GN，∵GN∥BC，BC∥DA，∴GN∥DA，又∵GM∥AE，∴平面MGN∥平面DAE，从而证明MN∥平面DAE.又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，所以AM綊12DC.所以PN綊AM.《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B(2010·北京文，17)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B证明：(1)设AC∩BD＝G，在正方形ABCD中，AB＝2，∴AC＝2，又∵EF＝1，AG＝12AC＝1，又∵EF∥AG，《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B∴四边形AGEF为平行四边形，∴AF∥EG，∵EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)连结FG.∵EF∥CG，EF＝CG＝1且CE＝1，∴四边形CEFG为菱形，∴EG⊥CF.∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.又∵平面ACEF⊥平面ABCD且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD.又∵BD∩EG＝G，∴CF⊥平面BDE.《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B[例3](2010·山东青岛)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点．(1)求证：平面AD1E∥平面BGF；(2)求证：D1E⊥平面AEC.《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B证明：(1)∵E，F分别是棱BB1，DD1的中点，∴BE綊D1F.∴四边形BED1F为平行四边形．∴D1E∥BF.又D1E⊂平面AD1E，BF⊄平面AD1E，∴BF∥平面AD1E.又G是棱DA的中点，∴GF∥AD1.又AD1⊂平面AD1E，GF⊄平面AD1E，∴GF∥平面AD1E.又BF∩GF＝F，∴平面AD1E∥平面BGF.《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B∵AC⊥BD，AC⊥D1D，∴AC⊥平面BDD1B1.又D1E⊂平面BDD1B1，∴AC⊥D1E.又AC∩AE＝A，∴D1E⊥平面AEC.(2)∵AA1＝2，∴AD1＝A1A2＋A1D12＝5.同理，AE＝2，D1E＝3.∴AD12＝D1E2＋AE2.∴D1E⊥AE.《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B(2010·大连模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a、b，a⊂α、b⊂β、a∥β、b∥αD．存在两条异面直线a、b，a⊂α、b⊂β、a∥β、b∥α《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B解析：在正方形ABCD－A1B1C1D1中，取ABCD为α，ADD1A1为β，B1C1为直线a，可知A错；如图(1)，α∩β＝l，a⊂α，a∥l，可知满足B的条件，故B错；如图(2)，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥l，b∥l，满足a∥β，b∥α，故C错；由面面平行的判定定理知D正确．答案：D《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B[例4]用平行于四面体ABCD一组对棱AB、CD的平面截此四面体(如图)(1)求证：所得截面MNPQ是平行四边形；(2)如果AB＝CD＝a.求证：四边形MNPQ的周长为定值；《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B(3)如果AB＝a，CD＝b，AB、CD成θ角．求四边形MNPQ面积的最大值，并确定此时点M的位置．分析：(1)由AB∥平面MNPQ及线面平行的性质定理得到四边形一组对边平行，由CD∥平面MNPQ得到另一组对边平行．(2)由平行得到比例关系，将四边形MNPQ的两邻边的和用AB(CD)表达出来．(3)利用正弦定理将四边形面积用两邻边表示，设四边形一个顶点(如M)到四面体的M所在棱的端点的距离为x(如AM＝x)，将面积表达为x的函数求极值．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B解析：(1)∵AB∥平面MNPQ.平面ABC∩平面MNPQ＝MN.且AB⊂平面ABC.∴由线面平行的性质定理知，AB∥MN.同理可得PQ∥AB.∴由平行公理可知MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.∴截面四边形MNPQ为平行四边形．(2)∵由(1)可知MN∥AB.∴MNAB＝MCAC.从而有AB－MNAB＝AC－MCAC＝AMAC.《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B又∵AB＝CD＝a，∴MN＋MQ＝a.∴平行四边形MNPQ的周长为2(MN＋MQ)＝2a定值．(3)设AC＝c，AM＝x.由(1)得：又∵MQ∥CD，∴AMAC＝MQCD.从而有AB－MNAB＝MQCD.MNa＝c－xc，MQb＝xc∴S▱MNPQ＝MN·MQ·sinθ＝abc2x(c－x)·sinθ≤abc2·x＋c－x22·sinθ＝14ab·sinθ此时x＝c2，点M处于AC中点．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第九章立体几何首页上页下页末页B如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′