注重数学的整体性,提高系统思维水平(人民教育中学数学室章建跃)

注重数学的整体性，提高系统思维水平──人教版义务教育教科书数学九年级下册介绍人民教育出版社中学数学室章建跃本册教科书包括反比例函数、相似、锐角三角形和投影与视图，是全套书的“收官”之作，具有综合性特点．“反比例函数”从具有反比例关系的实例出发，从函数的角度加以刻画，引导学生认识反比例函数；利用已有的函数研究经验展开反比例函数的图像与性质的研究；最后建立反比例函数模型解决实际问题．“相似”先由生活实例认识相似图形，再重点研究相似三角形的判定、性质及其实际应用，最后研究特殊的相似即位似的特征，本章强调从特殊（全等）到一般（相似）的方法，引导学生利用全等三角形的学习经验提出相似三角形的问题和方法，使“四基”、“四能”等得到落实．“锐角三角函数”从解决实际问题和数学发展需要提出“解直角三角形”的问题，引导学生从特殊到一般地学习锐角三角函数的概念；采取“从定性到定量”的思路，从直角三角形全等的判定得到解直角三角形的条件，并用锐角三角函数、勾股定理等知识解决问题，本章注重数学知识之间、数学与现实之间的联系．“投影与视图”从生活实例出发，研究中心投影和平行投影，并重点研究正投影的性质；进一步认识三视图以及简单几何体三视图的画法，本章注重利用基本几何体的三视图、立体图形和三视图的双向转化等，增强学生的空间观念．本书供九年级下学期使用，全书约需44课时，具体分配如下：第26章反比例函数约8课时第27章相似约14课时第28章锐角三角函数约12课时第29章投影与视图约10课时一、本书的主要内容本书的最大特点是内容的综合性，特别是要综合运用已学数学知识与方法研究数学新对象、分析和解决新问题，并开展应用数学知识解决实际问题的实践．1．反比例函数与已学函数知识一样，反比例函数的主要学习内容是概念、图象与性质、简单实际应用．在一个变化过程中有两种相关联的量（用x，y表示），其中一种量随另一种量的变化而变化，而且这两种量中相对应的两个数的积是定值（用k表示），这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系，用数学式子表示就是xy=k（定值）．如果用函数的观点看待这样的变化过程，用函数的方法描述反比例关系，那么就得到反比例函数的概念：形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数（注意：“函数是描述客观世界变化规律的数学模型”，这里的“变化规律”就是“变量y随变量x的变化而变化，且它们的积xy保持不变”）．本章分两节．第一节是反比例函数的概念、图象和性质．本节先从生活现实和数学中具有反比例关系的问题出发，抽象出描述反比例变化规律的数学模型──反比例函数，使学生体会反比例函数的意义；再画出图象，并根据图象和函数解析式探索其性质．第二节安排了四个不同背景的实际问题，用反比例函数解决简单实际问题，进一步加深对反比例函数的认识．本章之前，学生已学习了反比例关系，函数、自变量、函数值等概念，函数的三种表示形式，函数图像的有关概念，并研究了正比例函数、一次函数和二次函数等函数模型，因此具备了一定的函数研究经验，知道函数的主要研究内容、思路和方法．本章的学习，就是运用这些经验对一个新函数展开研究．因此，本章的重点是：结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式y=(k≠0)探索并理解k＞0或k＜0时，图像的变化情况；能用反比例函数解决简单实际问题．由于反比例函数的自变量不能为0，由此带来图像变化情况的复杂性，这是本章学习的主要难点；另外，反比例关系和函数概念都是不易理解的知识，由此会导致学生对反比例函数概念的理解困难．2．相似义务教育阶段的几何内容，包括图形的认识、图形的测量、图形的运动或变化、图形的性质和证明以及图形的位置等．本书中，图形的相似是“图形的变化”的主要内容，研究的主题是图形形状之间的关系，而图形的位似还涉及图形的位置关系，因此也是“图形的认识”的深化；投影与视图则是在三维图形与二维图形的转化中，体现出“图形的变化”．从“变换”的观点看，通过轴对称、旋转或平移变换，改变了图形的位置但不改变图形的形状和大小；“相似变换”是另一种图形变换，它改变了图形的位置和大小，图形的形状则保持不变（本质是改变两点间距离的大小，不改变角的大小，因此相似变换也叫“保角变换”）．三角形的相似是“图形的相似”的核心内容．“相似三角形”与“全等三角形”是一般与特殊的关系（两个相似三角形的相似比k=1时，这两个三角形全等）．所以，教科书推广全等三角形的研究思路，安排相似三角形的内容，引导学生探索相似三角形的判定和性质及在实际中的应用．此外，位似图形作为一种具有特殊位置关系的相似图形，可以用来放大或缩小图形，教科书把它安排在后面，并在直角坐标系中进行研究，用坐标之间的关系表示位似，渗透用代数方法研究几何变换的思想．相似三角形是锐角三角函数的基础，对建筑设计、测量、制图等也有重要价值．“相似”一章共有三节内容．第1节主要介绍相似图形、相似多边形的概念，并给出了相似多边形的性质；第2节主要研究相似三角形的判定和性质，以及相似三角形在测量中的应用；第3节研究了一种特殊的相似图形──位似图形及其应用，并用直角坐标系中的坐标关系表示．其结构是：“图形的相似”一节，教科书通过生活实例，在学生感受相似图形的基础上，给出相似图形的概念，再特殊化给出了相似多边形概念，并从定义出发给出了相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质．与研究其他几何对象的过程一样，“相似三角形”也按照“定义──判定──性质──应用”的顺序展开．因为三角形是特殊的多边形，所以教科书根据相似多边形的概念，直接给出相似三角形的概念．这一概念不仅给出了判定两个三角形相似的方法，而且其逆命题就是相似三角形的性质．通过类比全等三角形的判定，教科书提出了寻找判定两个三角形相似的简单方法的任务．由于研究相似三角形的判定要以有关比例知识为基础，并涉及不可公度性，为了降低难度，《课程标准（2011年版）》把“平行线分线段成比例定理”作为基本事实．教科书先让学生通过度量确认这一基本事实，然后将它应用到三角形中，并进一步证明了“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”（通常称为“预备定理”），再利用“预备定理”证明相似三角形的判定定理．这样做，降低了难度但保持了相似三角形的主干内容，体现了公理化思想．为了引导学生独立思考，发现和提出“相似三角形的性质”，教科书先通过“思考”栏目，给出相似三角形性质的探究方向，然后通过“探究”栏目引导学生探究并证明相似三角形性质．接着，教科书安排了相似三角形在实际中的典型应用题．在“位似”一节，教科书借助日常生活实例给出了位似图形的概念；然后从定义出发，通过举例，介绍了利用位似将一个图形放大或缩小的方法；接着安排了“探究”，让学生在直角坐标系中探索并得出：将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点，有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形位似，并给出了直角坐标系中以原点为位似中心的两个位似图形的对应点坐标之间的关系（实际上是图形的位似变换公式）．本章的重点是在了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段等基本概念的基础上，认识图形的相似，了解相似多边形的概念；用“基本事实”证明“预备定理”，在此基础上探索并证明相似三角形的判定定理；了解相似三角形的性质定理；了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题．其中，相似三角形的判定和性质是重中之重．相似三角形判定定理的证明是本章的主要难点．此外，综合应用已学平面几何知识发现和解决“相似”（特别是相似三角形）中的问题，也是本章的一个难点．3．锐角三角函数在几何学的研究中，三角形是最简单而基本的封闭图形，它是平面几何的研究主角，原因是空间的大部分基本性质都已经在三角形的几何性质中得到充分体现．而在三角形中，等腰三角形和直角三角形是最为基本的．下面我们对此作一简单分析，这些观点主要来自项武义[注]．我们知道，定性平面几何研究的主题是“全等形”和“平行性”．本质上，前者是平面对于任一直线的反射对称性的具体反映，而后者则是三角形的内角和为180°所表达的“平直性”．等腰三角形所具有的轴对称性能具体地反映平面的反射对称性，所以它们是研究平面几何对称性的种种表现与推论的基本工具．这样，认识等腰三角形的性质是定性平面几何的首要任务．在定性地讨论几何中的“等”与“不等”时可以完全不用平行性，但在定量的平面几何中，我们要对不等长的两条线段、不同大小的两个角区或不同大小的两个区域，赋予两者之间定量的比值去度量两者之间的差异．这时，平行性扮演着举足轻重的“角色”，其作用是大大简化了定量几何的基础理论和基本公式．由此得到的是简朴好用的矩形面积公式、勾股定理和相似三角形定理（三角形内角和不是180°的几何叫非欧几何，而非欧几何中与此相应的公式、定理不是没有就是复杂得多）．在定量平面几何的定理中，三角形的面积公式、相似三角形定理和勾股定理是最基本的，而三角学就是以这三个定理为基础，讨论三角形的各种几何量（三边长、三个内角的度数、面积、高、外径和内径等）之间的函数关系，锐角三角函数则是讨论直角三角形各种几何量之间的函数关系，它为讨论一般三角形奠定了基础．因此，研究直角三角形的种种性质对定量平面几何有奠基作用．本章就是在研究勾股定理、相似三角形的基础上，进一步讨论直角三角形的边角之间的关系，主要内容是正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，并综合运用这些知识解直角三角形．具体而言，教科书以“比萨斜塔纠偏问题”引入，并提出问题：“对于直角三角形，我们已经知道三边之间、两个锐角之间的关系，它的边角之间有什么关系呢？”，然后研究锐角的正弦，并在此基础上给出锐角的余弦、正切．在研究锐角的正弦时，教科书安排了一个从特殊到一般的过程，先利用“直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半”，得到30°角所对的边与斜边的比值；再利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，探究直角三角形中，45°角所对的边与斜边的比值；然后进入一般情况的讨论：相似直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比，随着这个锐角的变化而变化，随着它的确定而唯一确定，把Rt△ABC中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．接着，自然而方便地得到：相似三角形的边与边的比值，随锐角大小的变化而变化，随锐角大小的确定而唯一确定，由此给出锐角三角函数的定义．“解直角三角形”一节，教科书通过“探究”栏目，引导学生梳理直角三角形中边角之间的关系（勾股定理、锐角互余、锐角三角函数），思考“知道五个元素中的几个，就可以求其余元素”，再给出解直角三角形的条件，并通过例题示范，最后安排实际应用题．本章的重点是利用相似直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA）；能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题．利用相似直角三角形探索和认识锐角三角函数，从“两个直角三角形的对应边之比值相等”到“一个直角三角形的边长改变，但边与边的比值不变”，再联系函数概念，把直角三角形的“边与边的比值”与“锐角”联系起来，进而得到“比值随锐角的改变而改变，随锐角的确定而唯一确定”，涉及的知识多，需要看问题的角度和观点的灵活变化，并且要用完全陌生的符号sinA，cosA和tanA表示，对学生具有很大的挑战性．因此，锐角三角函数概念的建构过程是本章主要难点．同样的，解直角三角形需要在全面掌握直角三角形边角关系的基础上，根据问题的具体条件选择适当的方法求解，其综合性较强，解决实际问题要有模型思想，这些都会带来一定的学习困难．4．投影与视图日常生活中，中心投影、平行投影的事例随处可见，因此数学中与投影相关的概念都与现实生活紧密相关．平行投影是三视图的学习基础．投影与视图涉及立体图形与平面图形之间的转化，需要利用直观感知、动手操作等学习方式，是培养空间观念的好载体．因此，本章按“投影──三视图──课题学习（制作立体模型）”的顺序展开．“投影”的内容按照从一般到特殊的线索展开，重点讨论了正投影问题．教科书