泰勒公式的展开及其应用论文_周波

本科毕业论文（设计）Taylor公式的展开及其应用学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级：应数121班学号：1207010258学生姓名：周波指导教师：吴奎霖老师2016年06月10日本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文（设计），是在导师的指导下独立进行研究所完成。毕业论文（设计）中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。特此声明。论文（设计）作者签名：日期：目录摘要................................................IABSTRACT.............................................II前言...............................................II第一章、预备知识......................................11.1TAYLOR公式................................................11.2不常见的TAYLOR余项.......................................41.3TAYLOR公式展开的唯一性....................................51.4常见函数的展开式..........................................61.5常见展开式的拓展..........................................6第二章、TAYLOR公式在数学分析上的应用..................82.1利用TAYLOR公式求极限.....................................82.2利用TAYLOR公式作导数的中值估计...........................92.3利用TAYLOR公式求极值....................................102.4利用TAYLOR公式求曲线的渐近方程..........................112.5利用TAYLOR公式证明不等式................................14第三章、在数学计算方面的应用..........................173.1利用TAYLOR公式求近似值..................................173.2TAYLOR公式导出牛顿迭代法和欧拉法.........................183.3判定迭代法的收敛速度.....................................19第四章、在复变函数中的应用...........................224.1复变函数的LAURENT展开...................................224.2积分的计算...............................................224.3TAYLOR公式判断正项级数的敛散性..........................24结束语...............................................26参考文献.............................................27致谢.................................................28贵州大学本科毕业论文（设计）第I页Taylor公式的展开及其应用摘要JamesGray在1671年已经发现了Taylor公式的特例，不过当时并未明确提出,在41年后著名的英国数学家Brook·Taylor在他的一封信里首次公诉了这个公式,并计算出了这个多项式和真实的函数值之间的误差,Taylor公式也由此而得名.在1797年之前Lagrange最先提出了带有余项的现在形式的Taylor定理.伴随着科技的发展，越来越多的计算需要进行近似化或模拟化，合理的运用Taylor公式可以大大的减小这其中所产生的误差。本文主要通过引入数学分析中的知识点Taylor展开的思想，采取举例分析的方法，对Taylor公式展开的特性及高等数学各个方面的应用进行了分析讨论(利用Taylor公式求极限、计算近似值、证明不等式、求曲线的渐近线方程、计算留数、判断级数的收敛和发散性、作导数的中值估计、计算极值)关键词：Taylor公式；极限；近似值；不等式；渐近线贵州大学本科毕业论文（设计）第II页AbstractJamesGrayhadfoundthespecialcaseofTaylorFormulain1671,buthedidn’tclearlyputitforward.Forty-oneyearslater,famousBritishMathematicianBrook·Taylormadeitknowntothepublicinaletterandfigureouttherandomerrorbetweenthepolynomialanditsrealfunctionalvalue,fromwhichTaylorFormulagotitsname.Before1979,LagrangeistheearliestpersontoputforwardthepresentformofTaylorTheoremwithremainder.Withthescientificandtechnologicaldevelopment,moreandmorecalculationsneedtobeapproximatedandsimulated,whichcauseslargererrors,butthereasonableuseofTaylorFormulacangreatlyimproveit.Withillustrations,thispaperanalyzesanddiscussesthefeaturesofexpandedTaylorFormulaandapplicationsindifferentareasinadvancedmathematicsbyintroducingexpandedthoughtknowledgeinmathematicalanalysis.(UsingTaylorFormulatoseekthelimit,computeapproximatevalue,provein-equation,findcurveasymptoticequations,computeresidue,estimateconvergenceanddivergenceofseries,evaluatederivativemedianandcomputeextremevalue.)Keywords:TaylorFormula;thelimit;approximatevalue;in-equation;curveasymptoticline贵州大学本科毕业论文（设计）第III页前言早期自然科学家们进行科学研究计算时，为了简化问题，总是将问题近似地的看作线性问题进行讨论研究。直至Taylor展开思想的提出：利用n次多项式来逼近函数f,而多项式具有形式简单，易于计算等优点。我们已经知道，在函数的运算中，多项式函数只用到加、减、乘三种简单的运算，把一个复杂的函数近似地用多项式表示出来，并能使误差达到预期的要求。这大大降低了理论研究的误差，另外在高等数学方面，Taylor公式可以将给定函数用多项式和表示出来，这种化繁琐为简单的作用使得Taylor公式成为高等数学的核心内容之一。本文将在前人的理论基础上进行应用探讨，所涉及的内容不仅有经常用到的还有一部分是我们不常见的Taylor公式的应用，本文最大的特点是让Taylor公式零散的应用系统化，进而加深大家对Taylor公式的认识和理解。贵州大学本科毕业论文（设计）第1页第一章、预备知识1.1Taylor公式用多项式近似地表达一个给定函数的问题,不仅从计算的观点看是很必要的,而且从理论分析的角度看也是很有意义的,一般的函数不好处理,就常常用容易处理的简单函数近似地代替它,因此这种简单函数再过渡到原来的函数,这就是Taylor公式的基本思想.Taylor的定义:已知f(x)在x0处可微,那么在x0附近存在𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥0)+𝑓′(𝑥0)(𝑥−𝑥0)+𝑜(𝑥−𝑥0),从上述公式可得知,在𝑥=𝑥0附近用一次多项式𝑓(𝑥0)+𝑓′(𝑥0)(𝑥−𝑥0)作近似值取代𝑓(𝑥)时,其误差为𝑥−𝑥0的高阶无穷小量,这时𝑓(𝑥0)+𝑓′(𝑥0)(𝑥−𝑥0)的精确度对于𝑥−𝑥0来说只达到了一阶,为了提高精确度,必须考虑使用更高次数的多项式作逼近.若函数𝑓(𝑥)在𝑥0处𝑛阶可导时,有如下更精确的计算公式.定理1.1.1[1](Peano余项的Taylor公式):若函数𝑓(𝑥)在𝑥0存在𝑛阶导数,则存在𝑥0的一个邻域,对于该邻域中的任一点𝑥,成立𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥0)+𝑓′(𝑥0)(𝑥−𝑥0)+𝑓′′(𝑥0)(𝑥−𝑥0)++𝑓𝑛(𝑥0)𝑛(𝑥−𝑥0)𝑛+𝑜((𝑥−𝑥0)𝑛),(1)上诉公式称为𝑓(𝑥)在𝑥=𝑥0处的带Peano余项的Taylor公式,它的前𝑛+1项组成,的多项式𝑝𝑛(𝑥)=𝑓(𝑥0)+𝑓′(𝑥0)(𝑥−𝑥0)+𝑓′′(𝑥0)(𝑥−𝑥0)++𝑓𝑛(𝑥0)𝑛(𝑥−𝑥0)𝑛,贵州大学本科毕业论文（设计）第2页称为𝑓(𝑥)的𝑛次Taylor多项式,余项𝑟𝑛(𝑥)=𝑜((𝑥−𝑥0)𝑛)称为Peano的余项.证因为𝑟𝑛(𝑥)=𝑓(𝑥)−∑𝑓𝑘(𝑥0)𝑘(𝑥−𝑥0)𝑘𝑛𝑘=0,所以只需证明𝑟𝑛(𝑥)=𝑜((𝑥−𝑥0)𝑛),又因为𝑟𝑛(𝑥0)=𝑟𝑛′(𝑥0)=𝑟𝑛′′(𝑥0)==𝑟𝑛(𝑛)(𝑥0)=,反复应用L’Hospital法则,则有:lim𝑥→𝑥0𝑟𝑛(𝑥)(𝑥−𝑥0)𝑛=lim𝑥→𝑥0𝑟𝑛′(𝑥)𝑛(𝑥−𝑥0)𝑛=lim𝑥→𝑥0𝑟𝑛′′(𝑥)𝑛(𝑛−1)(𝑥−𝑥0)𝑛==lim𝑥→𝑥0𝑟𝑛(𝑛)(𝑥)𝑛(𝑛−1)…(𝑥−𝑥0)=1𝑛lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑛)(𝑥)−𝑓(𝑛)(𝑥0)−𝑓(𝑛)(𝑥0)(𝑥−𝑥0)𝑥−𝑥0=lim𝑥→𝑥0[𝑓(𝑛)(𝑥)−𝑓(𝑛)(𝑥0)𝑥−𝑥0−𝑓(𝑛)(𝑥0)]=1𝑛[𝑓(𝑛)(𝑥0)−𝑓(𝑛)(𝑥0)]=,因此𝑟𝑛(𝑥)=𝑜((𝑥−𝑥0)𝑛).□当𝑥0=0时,(1)式转化为𝑓(𝑥)=𝑓()+𝑓′(0)𝑥+𝑓′′(0)𝑥++𝑓𝑛(0)𝑛𝑥𝑛+𝑜(𝑥𝑛),我们将此式子称为(带有Peano余项的)Maclaurin公式.接下来将要介绍的关于Lagrange型的余项表达式,与之前所提到的带Peano余项的Taylor展开式相比较在作近似估计、求不等式的极限的时候同样的便利,不仅如此拉格朗日的型余项还克服了Peano余项只给出了余项的阶的估计式,而没有给出余项与函数𝑓(𝑥)的关系这一缺点.当然拉格朗日型的余项表达式的成立条件,也伴之需要增加：“函数有𝑛+1阶导数,则可展开成为余项为Lagrange型的𝑛次多项式”.定理1.1.2[2](带Lagrange余项的Taylor公式):若函数𝑓(𝑥)在[𝑎,𝑏]内为存在𝑛阶的连续导数,且在其