洛阳市2015届高三第二次统一考试数学理试题

12014—一2015学年高中三年级第二次统一考试数学试卷（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上．2．考试结束，将答题卷交回．一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则复数z的实部与虚部之和为A．0B．1C．22D．42．集合A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜y＝lg[x（x＋1）]}，若A－B＝{x｜x∈A，且xB}，则A－B＝A．{x｜x＜－1}B．{x｜－1≤x＜0}C．{x｜－1＜x＜0}D．{x｜x≤－1}3．若函数y＝f（2x＋1）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象的对称轴方程是A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－24．设等比数列{na}的公比为q，则“0＜q＜1”是“{na}是递减数列”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知函数f（x）＝2x，g（x）＝lgx，若有f（a）＝g（b），则b的取值范围是A．[0，＋∞）B．（0，＋∞）C．[1，＋∞）D．（1，＋∞）6．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S＋2a＝2()bc＋，则cosA等于A．45B．－45C．1517D．－15177．6(1)(2)xx＋－的展开式中4x的系数为A．－100B．－15C．35D．2208．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为2A．115B．15C．14D．129．已知双曲线C：2221xab2y－＝（a＞0，b＞0），斜率为1的直线过双曲线C的左焦点且与该曲线交于A，B两点，若OAuur＋OBuuur与向量nr＝（－3，－1）共线，则双曲线C的离心率为A．3B．233C．43D．310．设函数f（x）＝x｜x－a｜,若对1x,2x∈[3，＋∞）,1x≠2x,不等式1212()()fxfxxx－－＞0恒成立，则实数a的取值范围是A．（－∞，－3]B．[－3，0）C．（－∞，3]D．（0，3]11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为A．1B．52C．6D．2312．已知点A、B、C、D均在球O上，AB＝BC＝3,AC＝3，若三棱锥D－ABC体积的最大值为334，则球O的表面积为A．36πB．16πC．12πD．163π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．13．执行下面的程序，若输入的x＝2，则输出的所有x的值的和为________________．14．已知tanα，tanβ分别是2lg(652)xx－＋＝0的两个实根，则tan（α＋β）＝_________．315．已知向量ar，满足｜ar｜＝2，｜br｜＝1，且对一切实数x，｜ar＋xbr｜≥｜ar＋br｜恒成立，则ar，br的夹角的大小为________________．16．已知F1，F2分别是双曲线22233xya－＝（a＞0）的左，右焦点，P是抛物线28yax＝与双曲线的一个交点，若｜PF1｜＋｜PF2｜＝12，则抛物线的准线方程为_____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知正项数列{na}的前n项和为nS，对n∈N﹡有2nS＝2nnaa＋．（1）求数列{na}的通项公式；。（2）令111nnnnnbaaaa＋＋＝＋，设{nb}的前n项和为nT，求T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数．18．（本小题满分12分）为了解某地高中生身高情况，研究小组在该地高中生中随机抽出30名高中生的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?（2）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地所有高中生（人数很多）中选3名，用ξ表示所选3人中“高个子”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB．现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．4（1）若BE＝1，是否在折叠后的线段AD上存在一点P，且APuuur＝λPDuuur，使得CP∥平面ABEF?若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；（2）求三棱锥A－CDF的体积的最大值，并求此时二面角E－AC－F的余弦值．20．（本小题满分12分）设M是焦距为2的椭圆E：2221xab2y＋＝（a＞b＞0）上一点，A、B是其左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－12．（1）求椭圆E的方程；（2）已知椭圆E：2221xab2y＋＝（a＞b＞0）上点N（0x，0y）处切线方程为00221xxyyab＋＝，若与椭圆E相切于C（1x，1y），D（2x，2y）两点的切线相交于P点，且PCuuur·PDuuur＝0．求证点P到原点距离为定值．521．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝xa－xlna（a＞1），g（x）＝b－232x，e为自然对数的底数．（1）当a＝e，b＝5时，求整数n的值，使得方程f（x）＝g（x）在区间（n，n＋1）内有解；（2）若存在1x，2x∈[－1，1]使得f（1x）＋g（2x）＋12≥f（2x）＋g（1x）＋e成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．（本小题满分10分）（选修4—1几何证明选讲）如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点．点P在线段BA延长线上，T是⊙O2上一点，PT⊥O2T，过P的直线交⊙O1于C，D两点．（1）求证：PTPC＝PDPT；（2）若⊙O1与⊙O2的半径分别为4，3，其圆心距O1O2＝5，PT＝2425，求PA的长．623．（本小题满分10分）（选修4－4坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：,3sin.x＝4cosy＝（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）已知点M是曲线C1上任意一点,点N是曲线C2上任意一点,求｜MN｜的取值范围．24．（本小题满分12分）（选修4—5不等式选讲）已知a，b∈R＋，a＋b＝1，1x，2x∈R＋．（1）求12122xxabxx＋＋的最小值；（2）求证：122112((axbxaxbxxx＋)＋)≥．7891011121314