流体力学第81011章课后习题

第八章边界层理论基础一、主要内容（一）边界层的基本概念与特征1、基本概念：绕物体流动时物体壁面附近存在一个薄层，其内部存在着很大的速度梯度和漩涡，粘性影响不能忽略，我们把这一薄层称为边界层。2、基本特征：（1）与物体的长度相比，边界层的厚度很小；（2）边界层内沿边界层厚度方向的速度变化非常急剧，即速度梯度很大；（3）边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；（4）由于边界层很薄，因而可以近似地认为边界层中各截面上压强等于同一截面上边界层外边界上的压强；（5）在边界层内粘性力和惯性力是同一数量级；（6）边界层内流体的流动与管内流动一样，也可以有层流和紊流2种状态。（二）层流边界层的微分方程（普朗特边界层方程）22100yxxxyyxvpvvvvxyxypyvvxy其边界条件为：在0y处，0xyvv在y处，()xvvx（三）边界层的厚度从平板表面沿外法线到流速为主流99%的距离，称为边界层的厚度，以表示。边界层的厚度顺流逐渐加厚，因为边界的影响是随着边界的长度逐渐向流区内延伸的。图8-1平板边界层的厚度1、位移厚度或排挤厚度11001()(1)xxvvvdydyvv2、动量损失厚度222001()(1)xxxxvvvvvdydyvvv（四）边界层的动量积分关系式200xxwPvdyvvdydxxxx对于平板上的层流边界层，在整个边界层内每一点的压强都是相同的，即P常数。这样，边界层的动量积分关系式变为200wxxddvdyvvdydxdx二、本章难点（一）平板层流边界层的近似计算根据三个关系式：（1）平板层流边界层的动量积分关系式；（2）层流边界层内的速度分布关系式；（3）切向应力关系式。可计算得到在平板一个壁面上由粘性力引起的总摩擦力及摩擦阻力系数。三、习题与解答8-1一平板顺流放置于均匀流中。如果将平板的长度增加1倍，试问：平板所受的摩擦阻力将增加几倍？(设平板边界层内的流动为层流)解：当平板边界层为层流边界层时，摩擦阻力系数1/2ReflC，即1fCl平板所受摩擦力可表示为212DfFCblv，所以，DFl可得：如果将平板的长度增加1倍，平板所受的摩擦阻力将增加2倍。8-2设顺流长平板上的层流边界层中，板面上的速度梯度为0yuky。试证明板面附近的速度分布可用下式表示212puykyx式中，px为板长方向的压强梯度，y为至板面的距离。（设流动为定常流）证明：对于恒定二维平板边界层，普朗特边界层方程为：221puuuuvxyxy（1）由于平板很长，可以认为0ux，由连续性方程0uvxy可得：0vy（2）在平板壁上0v，因此在边界层内0v，式（1）可简化为：2211uppyxx（3）上式中右端是x的函数，左端是y的函数，要使左右两端相等，必须使得px常数，对式（3）积分一次得：1upyCyx（4）再积分得到：212puyCyDx（5）由题意0yuky，代入式（4）中，故Ck当0y时，由无滑移条件0u，得0D证得212puykyx8-3温度为25℃的空气，以30/ms的速度纵向绕流一块极薄的平板，压强为大气压强，计算离平板前缘200mm处边界层的厚度为多少？解：查表得温度为25℃的空气，其运动粘度为6215.47510/ms对应的雷诺数为Re387722vx＞＞5510，按紊流边界层计算边界层厚度为1/50.377Re5.75llmm8-4温度为20℃、密度3925/kgm的油流，以60/cms的速度纵向绕流一宽15cm、长50cm的薄平板流动。试求总摩擦阻力和边界层厚度。在20℃时油的527.910/ms。解：对应的雷诺数为Re3797vl，按层流边界层计算边界层厚度为5.8447.4lmmv总摩擦阻力为21/20.686Re0.28DlFblvN8-5平板层流边界层内速度分布规律为22()xyyvv，试求边界层厚度和摩擦阻力系数与雷诺数Re的关系式。解：边界层的动量积分关系式为200wxxddvdyvvdydxdx（1）由题可得2[2()]xyyvv（2）利用牛顿内摩擦定律和式（2）得出：0022()(1)xwyyydvvvdy（3）为便于计算边界层厚度，先求下列2个积分式2002[2()()]3xyyvdyvdyv（4）22222008[2()()]15xyyvdyvdyv（5）将式（3）、（4）、（5）代入式（1）中得：115vddx积分后得2130vxC因为在平板壁面前缘点处边界层厚度为0，即0x，0，所以积分常数0C。于是得边界层厚度为1/25.485.48Rexxxv（6）位移厚度1/2101(1)1.83Re3xxvdyxv动量损失厚度1/2202(1)0.73Re15xxxvvdyxvv将式（6）代入式（3）中，得切向应力为3221/220.360.360.36Rewxvvvvxvx（7）在平板一个壁面上由粘性力引起的总摩擦阻力为3321/2000.360.720.72RellDwldxFbdxbvblvblvx（8）摩擦阻力系数为1/221.44Re12DflFCblv8-6若平板层流边界层内的速度分布为正弦曲线sin()2xyvv，试求和fC与Re之间的关系式。解：边界层的动量积分关系式为200wxxddvdyvvdydxdx（1）由题可得sin()2xyvv（2）利用牛顿内摩擦定律和式（2）得出：0()2xwydvvdy（3）为便于计算边界层厚度，先求下列2个积分式002sin()2xyvdyvdyv（4）2222001sin()22xyvdyvdyv（5）将式（3）、（4）、（5）代入式（1）中得：4vddx积分后得242vxC因为在平板壁面前缘点处边界层厚度为0，即0x，0，所以积分常数0C。于是得边界层厚度为1/24.804.80Rexxxv（6）位移厚度1/2102(1)1.74Rexxvdyxv动量损失厚度1/2204(1)0.66Re2xxxvvdyxvv将式（6）代入式（3）中，得切向应力为3221/220.330.330.33Rewxvvvvxvx（7）在平板一个壁面上由粘性力引起的总摩擦阻力为3321/2000.330.660.66RellDwldxFbdxbvblvblvx（8）摩擦阻力系数为1/221.32Re12DflFCblv8-7根据边界层内紊流速度分布的指数规律1/9()xyvv和1/50.185Re，试求紊流边界层厚度。解：紊流边界层动量积分方程为200xxwdpddvdyvvdydxdxdx（1）的物理含义为压力与粘性力之比，它代表压强梯度dpdxv（2）由题可得1/9()xyvv（3）利用牛顿内摩擦定律和式（3）得出：0()0xwydvdy（4）为便于计算边界层厚度，先求下列2个积分式1/9009()10xyvdyvdyv（5）222/92009()11xyvdyvdyv（6）将式（2）、（4）、（5）、（6）代入式（1）中得：9110vddx积分后得29220vxC因为在平板壁面前缘点处边界层厚度为0，即0x，0，所以积分常数0C。于是得边界层厚度为3/52202.13Re9xxxv（7）8-8在同样雷诺数Rel的情况下，试求20℃的水和30℃的空气各平行流过长度为L的平板时产生的摩擦阻力之比。解：相同雷诺数，即1212Relvlvl查表得20℃的水311.00510Pas，6211.00710/ms，30℃的空气6218.5610Pas，62215.9510/ms，因为平板上摩擦阻力满足2Fv所以2211111112222221223.42FvFv8-9一块长6m，宽2m的平板平行静止地安放在速度为60/ms的40℃空气流中，在平板边界层内从层流转变为紊流的临界雷诺数6Re10x，试计算平板的摩擦阻力。解：查表得40℃的空气运动粘度为6216.910/ms平板边界层流动状态转换点位置Re0.28xxmv，可基本按紊流边界层计算对应的雷诺数7Re2.1310lvl平板摩擦阻力为21/50.037Re65.6DlFblvN8-10假设一平板顺流放置于速度为U的均流中，如已知平板上层流边界层内的速度分布可用y（y为该点至板面的距离）的三次多项式表示，试求这一速度分布。解：设板上层流边界层内速度分布为23()()uyyyabcdU在上式中有4个待定系数，应用下列4个边界条件：①0y，0u②y，uU③y，0uy，22323()ubcydyUy④由普朗特边界层方程221puuuuvxyxy当0y处，0uv，故221puxy而对于势流区22pUC，故dpdUUdxdx，因此22uUdUydx，对于平板而言0dUdx，可得：y，220uy，222326()ucdyUy应用4个条件得到如下4个方程：0+123030aabcdbcdcd解得：0331abcd即速度分布可表示为：2333()()uyyyU第十章气体紊动射流一、主要内容(一)射流分类流体由孔口、喷嘴或条缝射出，流入另一部分流体介质中，这种流动称为射流。射流有淹没射流和非淹没射流之分。流体射入与其性质相同的介质中的流动称为淹没射流。淹没射流的流动情况与流动空间的大小有关。如流动空间很大，射流基本上不受周围固体边壁的影响，称为无限空间射流，反之称为有限空间射流或受限射流。按射流的断面形状可分为平面射流、圆断面轴对称射流和矩形断面三维射流等。淹没射流的流态一般都是紊流，层流射流几乎是不存在的。按射流的物理性质可分为等密度射流和变密度射流。一般等密度射流属于动量射流（纯射流），以出流的动量为原动力。当射流与环境流体存在温度差或浓度差时，形成变密度射流，原动力包括出流动量和浮力两部分，即所谓浮射流。（二）无限空间淹没紊流射流的特征气流从半径为0r的圆断面喷管喷出，出口断面上的速度可以认为是均匀分布的，记为0u，假设流动为紊流。得出的射流流动特性和结构图形如下。图10-1射流结构1、结构特征刚喷出的射流速度是均匀的，射流沿x方向流动，不断带入周围介质，不仅使边界层扩张，而且使射流主体的速度逐渐降低。速度为0u的部分（AOD锥体）称为射流核心，其余部分速度小于0u，称为边界层。射流边界层从出口开始沿射程不断地向外扩散，带动周围介质进入边界层，同时向射流中心扩展，至某一距离处，边界层扩展到射流轴心线，核心区域消失，只有轴心点上速度为0u。射流这一断面（BOE）称为过度断面或转折断面。