直线的倾斜角和斜率--教案二第二课时

520课件网专业免费绿色资源库(无须注册，免费下载)●教学时间第二课时●课题§7.1.2直线的倾斜角和斜率(二)●教学目标(一)教学知识点1.2.斜率的简单应用.(二)能力训练要求1.2.3.4.进一步了解向量作为数学工具在学习数学中的特殊作用.(三)德育渗透目标1.2.学会用联系的观点看问题.●教学重点斜率公式●教学难点斜率公式的应用●教学方法启发式本节课首先通过适当的课堂练习，使学生熟悉斜率公式的直接应用，把握斜率公式的形式特点，启发学生能根据斜率公式的形式特点构造斜率公式，并注意数形结合解题思想的应用，并利用斜率证明有关三点共线的证明问题.●教具准备投影片两张第一张：斜率公式的形式特点及适用范围(记作§7.1.2A)第二张：本节例题(记作§7.1.2B)●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上一节课，我们学习了直线的倾斜角和斜率，并推导了过已知两点的斜率公式，这一节，我们将进一步熟悉斜率公式并掌握其应用.下面，请大家尝试给出斜率公式的形式特点.［生］(1)斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；(2)斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需要求出直线的倾斜角；(3)斜率公式中，当x1＝x2时不适用，此时直线和x轴垂直，直线的倾斜角α等于90°.［师］这位同学回答得很好，大家要明确，斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且要能够达到灵活运用的程度.这节课，我们将以例题讲评和课堂训练为主展开本节的学习活动.Ⅱ.讲授新课520课件网专业免费绿色资源库(无须注册，免费下载)［例3］求经过A(－2，0)，B（－5，3）两点的直线的斜率和倾斜角.分析：此题为斜率公式的直接应用，意在使学生逐步熟悉斜率公式.解：k＝)2(503＝－1即ｔaｎα＝－1∵0°≤α＜1８0°∴α＝135°因此，这条直线的斜率为－1，倾斜角是135°.评述：此题在强调表达方面应向学生指出说理的充分性，比如在指出倾斜角的变化范围后，才能得到相应的倾斜角.［例4］直线l过点A(m，2），B（3，４），求l的斜率与倾斜角.分析：此题在例3的基础上将点A坐标中的横坐标换为字母m，意在训练学生的分类讨论的意识，同时进一步熟悉斜率公式的应用.解：(1)先考虑此直线斜率不存在的情形，此时m＝3，l的倾斜角为2；(2)若斜率存在，设此直线斜率为k，倾斜角为α.此时，m≠3，k＝tanα＝mm32324①当m＜3时，k＞0，倾斜角α＝arctanm32②当m＞3时，k＜0，倾斜角α＝π＋arctanm32评述：在分类讨论时，应要求学生注意分类的合理性与全面性，特别地，对于tanα＜0的情形，应注意反三角形式的正确表示.［例5］如果三点A（5，1），B（a，3），C（－４，2）在同一直线上，确定常数a的值.分析：此题属于斜率的应用，根据在同一直线上，任意两点的斜率相等，可以先表示出过A、B的直线斜率，然后表示出过A、C两点的直线斜率，最后根据两斜率相等建立方程，达到求解a的目的.解：直线AB的斜率kAB＝aa52513直线AC的斜率kAC＝915412∵A、B、C三点在同一直线上，∴kAB＝kAC∴9152a，∴5－a＝1８，∴a＝－13评述：此题的解答方法可启示学生，根据斜率相等，可以证明有关三点共线的问题.让学生注意加以总结.课本P37练习3.求经过下列每两个点的直线的斜率和倾斜角：(1)C（10，８），D（４，－４）；(2)P（0，0）,Q（－1，3）；520课件网专业免费绿色资源库(无须注册，免费下载)(3)M（－3，2），N（－2，3）.解：(1)k＝612410)4(8＝2,α＝arctan2＝63°26′;(2)k＝30103，α＝120°；(3)k＝)3(223＝1，α＝４5°.4.已知a、b、c是两两不等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角：(1)A（a，c），B（b，c）；(2)C（a，b），D（a，c）；(3)P（b，b＋c），Q（a，c＋a）.解：(1)A、B两点的纵坐标相同，故直线AB与x轴平行，倾斜角为0°；(2)C、D两点的横坐标相同，故直线CD与x轴垂直，倾斜角为90°；(3)∵k＝abaccb)(＝1，∴α＝４5°.5.已知三点A、B、C，且直线AB、AC的斜率相同，求证这三点在同一条直线上.证明：由kAB＝kAC，可知AB的倾斜角与AC的倾斜角相等，而两个角有共同的始边和顶点，所以终边AB与AC重合.因此A、B、C三点共线.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握已知两点坐标求斜率的斜率公式，并能根据斜率求直线的倾斜角，由斜率相同怎样判定三点共线.Ⅴ.课后作业（一）课本P37习题7.13.已知直线斜率的绝对值等于1，求此直线的倾斜角.解：由题意，可得｜tanα｜＝1∴tanα＝1或－1.∵0°≤α＜1８0°，∴α＝４5°或135°.4.四边形ABCD的四个顶点是A（2，3），B（1，－1），C（－1，－2），D（－2，2），求四条边所在的直线的斜率和倾斜角.解：kAB＝12)1(3＝４，arctan４＝75°5８′∴直线AB的斜率为4，倾斜角为75°5８′.kBC＝21)1(1)2(1arctan21＝26°3４′520课件网专业免费绿色资源库(无须注册，免费下载)∴直线BC的斜率为21，倾斜角为26°3４′.kCD＝)1(2)2(2＝－４，arctan（－４）＝10４°2′∴直线CD的斜率为－４，倾斜角为10４°2′.kDA＝41)2(223，arctan41＝1４°2′∴直线DA的斜率为41，倾斜角为1４°2′.5.(1)当且仅当m为何值时，经过两点A(－m，6），B（1，3m）的直线的斜率是12?(2)当且仅当m为何值时，经过两点A(m，2)，B（－m，2m－1）的直线的倾斜角是60°？解：(1)∵k＝mmmm163)(163当k＝12时，mm1163＝12∴3m－6＝12＋12m∴9m＝－1８，∴m＝－2.（2）∵k＝mmmmm223)()12(2tan60°＝3.∴3223mm，∴3－2m＝23m∴m＝43332323.（二）1.预习内容：P3８～392.预习提纲：（1）试总结点斜式与斜截式直线方程的特点.（2）直线方程的点斜式与斜截式有何联系?（3）试说出直线方程的点斜式与斜截式的适用范围.●板书设计§7.1.2直线的倾斜角和斜率1.斜率公式的2.［例3］3.学生练习形式特点及适［例4］练习1520课件网专业免费绿色资源库(无须注册，免费下载)用范围［例5］练习2练习3●备课资料一、参考例题［例1］(1993年全国文)若直线ax＋by＋c＝0，在第一、二、三象限，则()A.ab＞0，bc＞0B.ab＞0，bc＜0C.ab＜0，bc＞0D.ab＜0，bc＜0分析：此题考查学生对于直线中含有参数的情形的处理能力，应注意数形结合思想的应用.解：由题意，直线的斜率一定大于0，所以k＝－ba＞0，即ab＜0；并且根据直线的纵截距大于0，可得：－bc＞0即bc＜0.故选D.［例2］(1995年全国)在图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A.k1＜k2＜k3B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1D.k1＜k3＜k2分析：此题属于图象信息题，要求学生根据倾斜角的大小与斜率的正负来比较k1，k2，k3的大小关系.解：由图可知直线l1的倾斜角为钝角，故k1＜0，直线l2，l3的倾斜角为锐角，故k2，k3＞0，又直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角，故k2＞k3.故选D.［例3］(1996年上海高考试题)过点(４，0)和点(0，3)的直线的倾斜角为()A.arctan43B.π－arctan43C.arctan（－43）D.π－arctan（－43）分析：此题中直线的斜率可由斜率公式直接求得，由于所得结果不是特殊值，故在用反正切函数表示时，应注意倾斜角的取值范围.若tanα＝a（a＞0），则α＝arctanα；若tanα＝－a（a＞0），则α＝π－arcｔaｎα.解：过点(4，0)和点(0，3)的直线的斜率k＝434003，即tanα＝－43＜0.故α是钝角.∴α＝π－arctan43.故选B.［例4］(1997年高考应用题)甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地，匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米／小时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.(1)把全部运输成本y(元)表示为速度v(千米／小时)的函数，并指出这个函数的定义域.520课件网专业免费绿色资源库(无须注册，免费下载)(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?解：(1)y＝s（va＋bv），v∈（0，c](2)据《1998年高考试题分析》知：很多考生在求函数y＝s（va＋bv）取得最小值时，利用基本不等式，由于忽略了函数的定义域，根据s（va＋bv）≥2sab，得出当且仅当va＝bv，即v＝ba时，全程运输成本最小的结论，结果漏掉了另外一种情况.如果运用斜率求解，可避免漏解.请看：记k＝y＝0)(22vasbsvvasbsv故求此函数的最值可转化为求一定点A（0，－as）与动点B（v，bsv2）构成的直线的斜率的最值.动点B在抛物线y＝bｓx2，x∈（0，c）上运动，其中点B′（c，bsc2）.如图所示：①当动点B在抛物线弧OB′(不包括B′点)上时，过定点A且与抛物线弧相切的切线斜率即所求函数的最小值.设直线AB的方程为：y＋aｓ＝kx联立2bsxyaskxy消去y得bｓx2－kx＋as＝0(*)由Δ＝k2－４abs2＝0得k＝2sab或k＝－2sab(舍去)，将k＝2sab代入(*)式得x＝ba.换句话说，当速度v＝ba时，运输成本y的最小值为2sab.②当点B在点B′时，kAB的值只有一个，显然就是所求函数的最小值.此时，kAB＝cascasbsc(0)(2＋bc）.也就是说，当v＝c时，运输成本y的最小值为s（ca＋bc）.二、直线的斜率在解题中的应用1.证明不等式［例1］已知a、b、m∈Ｒ*，且a＜b，求证：bambma.520课件网专业免费绿色资源库(无须注册，免费下载)分析：观察所证不等式的左边，结构与斜率公式k＝1212xxyy完全相似，)()(mbmambma，故此式可看作点(b，a)与点(－m，－m)的连线的斜率.解：如图，∵0＜a＜b，∴点P（b，a）在第一象限且必位于直线y＝x的下方.又∵m＞0∴点M(－m，－m）在第三象限且必在y＝x上，连接OP、PM，则：kOP＝ba，kMP＝mbma.∵直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角，∴kMP＞kOP即有mbmaba.2.用斜率确定某些参数的取值范围［例2］已知两点P（2，－3），Q（3，2），直线ax＋y＋2＝0与线段PQ相交，求a的取值范围.分析：已知直线ax＋y＋2＝0是一条过定点(0，－2）的动直线，若与线段PQ相交，则如图所示直线PM、QM是其变化的边界直线，所以只须求出直线PM、QM的斜率即可确定已知直线的斜率－a的变化范围，从而得到a的变化范围.解：如图所示,直线l：ax＋y＋2＝0恒过定点M（0，－2），l与线段PQ相交，故kMP≤kl≤kMQ.∵kl＝－a，kMP＝－21，kMQ＝34∴－21≤－a≤34，∴－34≤a≤21.［例3］