浅析“细绳”的动力学特征

浅析“细绳”的动力学特征泾县二中杨骏“细绳”在动力学问题中经常出现，作为一种特殊的物理模型它具有轻质、柔软、不可伸长等性质，从而在动力学问题中具有其相应的特点。现就几例对这种“细绳”模型在动力学中的速度、加速度、作用力等方面的特征，进行初步分析：一、绳上个点的速度特征细绳不可伸长，在其张紧时，绳上个点的速度在绳的方向上的投影都相等。例1：如右图，小球m1、m2之间用不可伸长的细绳连接，恰好呈直线，放置在光滑的水平面上，另一质量为m3的小球，以速度v0沿水平面与细绳成θ角的方向，与m2发生完全非弹性碰撞，求m1开始运动时的速度v1分析：当m3与m2碰撞前，m1、m2、m3组成的系统初动量m3v0，碰撞后m2、m3站在一起运动，m1刚开始的速度v1是沿绳的方向的，由于系统沿绳的方向的动量守恒，且三球在绳的方向上的速度的投影相等均为v1，即（m1+m2+m3）v1=m3v0cosθV1=m3v0cosθ∕（m1+m2+m3）二、细绳上各点的加速度特征由于细绳的不可伸长性，细绳上各点的加速度在细绳方向上的投影也相等。例2：如右图，在一个与水平面成θ角的固定光滑硬杆上，套一个质量为m1的小环A，小环可沿杆无摩擦移动，借助一根不可伸长的轻质细绳将质量为m2的重物B连在小环上，开始时，用手持住环紧靠杆，问当释放A的瞬间绳中的张力是多少？分析：释放A的瞬间，m1受垂直于杆向上的支持力N，竖直向下的重力m1g和绳的拉力T；m2受竖直向下的重力m2g和绳的拉力T1，因绳的质量不计，所以T=T1.再由于杆的约束，此刻m1的加速度a1只能沿杆向下，而m2的加速度a2只能沿绳的方向向下。因此，a2与a1在绳方向上的投影是相等的，即a1sinθ=a2对m1：（T+m1g）sinθ=m1a1-----------------（1）对m2：m2g—T=m2a2-------------------（2）解（1）、（2）两式得T=m1m2gcos2θ／（m1+m2sin2θ）三、细绳对物体的作用力特征因绳具有柔软、不可伸长的性质，绳在对其他物体作用时，只能施加拉力且能发生突变，称之为无记忆。关于只能施加拉力不再举例，现就突变举出一例：例3：质量为m的小球，在不可伸长的绳AC和轻质弹簧BC作用下处于静止状态，如图所示，，且AC=BC，∠BAC=θ，求：当突然在球的附近剪断弹簧或绳子时，小球的加速度分别是多少？分析：刚剪断弹簧的瞬间，小球受重力mg和绳的拉力T，且速度为零，故小球沿绳方向的加速度为零，仅有切向加速度且为a=gcosθ，绳中的拉力由原来的mg／2sinθ突变为mgsinθ。而剪断绳的瞬间，由于弹簧的拉力不可突变，仍保持原来的大小和方向，故小球受到的合力与原来绳子的拉力大小相等方向相反，加速度为a1=g／sinθ方向沿AC向下。最后要指出的是，有的问题中提到的“绳”的模型可能与我所说的不同，如弹性绳——橡皮筋，则另当别论，不能混淆。