直角三角形的边角关系复习教案

直角三角形的边角关系复习一、教学要求1、通过复习进一步理解锐角三角形函数的概念，能熟练地应用sinA、cosA、tgA，表示直角三角形(其中有一个锐角是A)中的两边的比，熟记30°，45°，60°角的各三角函数的数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数数值说出这个角。2、理解直角三角形中边角之间的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识来解某些简单的实际问题(包括一些能用直角三角形解的斜三角形问题)从而进一步把数和形结合起来，培养应用数学知识的意识。3、通过解答与三角形或四边形有关的问题，增强分析能力和逻辑推理能力。二、知识回放1．锐角三角函数的概念如图，在ABC中，∠C为直角，则锐角A的各三角函数的定义如下：(1)∠A的正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝(2)∠A的余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝(3)∠A的正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tgA，即tgA＝2．三角函数的关系(1)同角的三角函数的关系1)平方关系：sinA2＋cosA2＝12)倒数关系：tgA·tg(90°－A)＝13)商的关系：tgA＝，(2)互为余角的函数之间的关系sin(90°－A)＝cosA，cos(90°－A)＝sinA3．直角三角形中的边角关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2(2)锐角之间的关系：090BAACBabc(3)边角之间的关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝4．一些特殊角的三角函数值30°45°60°SinαCosαtgα15．锐角α的三角函数值的符号及变化规律。(1)锐角α的三角函数值都是正值(2)若0≤α≤90°则Sinα，tgα随α的增大而增大，Cosα，Ctgα随α的增大而减小。6．解直角三角形(1)直角三角形中的元素：除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角。(2)解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知的元素的过程叫做解直角三角形。7．解直角三角形的应用：解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，常用到下面几个概念：(1)仰角、俯角视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角(2)坡度．坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，常用字母i表示，即i＝(3)坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示则tgα＝i＝(4)方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角。(5)方位角从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角。三、知识讲解例1．已知：如图，BE⊥AC，CD⊥AB，∠ACB＝45°，∠DCB＝30°，DC＝6，求：BE的长。解法1：∵CD⊥AB，∠DCB＝30°∴BD＝BC∵DC＝6∴BC2－BD2＝DC2＝36∴BC2－BC2＝BC2＝36∴BC2＝48∵BE⊥AC，∠ACB＝45°∴∠EBC＋∠ACB＝90°∴∠EBC＝45°＝∠ACB，BE＝BC∵BE2＋CE2＝BC2，∴2BE2＝48∴BE2＝24∴BE＝2解法2：∵CD⊥AB，∠DCB＝30°∴DC∶BC＝Cos30°＝∵DC＝6∴BC＝4∵BE⊥AC，∠ACB＝45°∴BE∶BC＝Sin45°＝∴BE＝，BC＝2注：解法1是利用三角形的知识解答，而解法2是利用三角函数知识解答的，显然解法2比解法1简单，为什么呢？原因是特殊角的三角函数值是利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理得到的，而解法1实际上是重复了特殊角的三角函数值的推导过程，因此今后在解决有特殊角条件的题目时，应尽量利用三角函数的知识去解，以便得到简捷解法。四、课堂练习A组1．下列说法正确的是()A.为锐角则0≤Sinα≤1B.Cos30°＋Cos30°＝Cos60°C.若tgB＝tg(90°－A)则∠A与∠B互余D.若α1，α2为锐角，且α1α2则Cosα1Cosα22．已知0°＜α＜45°则Sinα，Cosα的大小关系为()A.Sinα＞CosαB.Sinα＜CosαC.Sinα≥CosαD.Sinα≤Cosα．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°且tgA＝，则CosB的值为()A.B.C.D.4．直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝10，∠B＝90°，∠C＝30°则AB＝()A.5B.5C.D.5．一个三角形的一边长为2，这边上的中线长为1，另两边长之和为1＋，则这个三角形的面积为()A.1B.C.D.6．面积相同的直角三角形中，斜边最小的三角形的一个锐角的正切是()A.B.1C.sin15°D.7．k取什么值时，二次方程kx2－(k＋2)x＋k＋1＝6以Sinα、Cosα为它的两个根。B组1．α为锐角，若tgα＝，则sinα＝.cosα＝。2．若tgα＝2，则的值等于。3．底角为30°的等腰三角形，底边长为4cm，则腰长＝，面积＝。4．Sin218°＋Cos45°·tg25°·tg65°＋Sin272°＝。5．＋｜Sin10°－｜－＝6．已知：如图，AB＝，BC＝3，AC＝4，AD＝DC，求CosA的值。C组1．如图，已知△ABC，∠B＝120°，AC＝7，D，E分别是AC，AB上的点，AE＝BC，∠EDC＝60°sinA＝，求四边形BCD的面积。2．一艘船在海上B处，以每小时40海里的速度沿方位角14°8的方向航行，在B处测的灯塔A的方位角103°，航行2小时到达C处，又测的A在C的北偏东73°求AC的长。3．已知如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，将该正方形折叠，使点A和E重合，折痕为MN，若tg∠AEN＝，CD＋CE＝10，求：(1)ANE的面积；(2)Sin∠ENB4．如图，已知在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠ADC＝135°，AB＝8BC＝6，且∠BCA＝60°，求CD。五、课堂小结1、本章的重点是直角三角形中锐角三角函数的定义，特殊锐角与其三角函数值之间的对应关系，及互余两角的三角函数关系，运用这些知识解直角三角形的实际应用，既是重点也是难点。2、解直角三角形四类基本问题的方法是：(1)已知斜边和一直角边(如斜边c，直角边a)：由SinA＝，求A、B＝90°－A，b＝(2)已知斜边和一锐角(如斜边c，锐角A)；B＝90°－A，a＝C·SinA，b＝c·CosA(3)已知一直角边和一锐角(如a，A)：B＝90°－A，b＝a·ctgA，c＝3、解直角三角形的思路是：(1)解直角三角形的方法可以概括为“有弦(斜边)用弦(正弦，余弦)无弦用切(正切，余切)宁乘母除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时就用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法解时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可由中间数据求解时，取原始数据，忌用中间数据。(2)解含有非基本元素的直角三角形(即直角三角形的中线，高，角平分线，周长，面积等)一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为基本元素间的关系式，再通过解方程组求解。4、解直角三角形在实际应用中的解题步骤如下：(1)审题：要弄清仰角，俯角，坡度，坡角，水平距离，垂直距离，水平等概念的意义，要审清题意。(2)画图并构造要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形(包括正方形)。(3)选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错。(4)按照题中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位。