知识点多元函数微分概念

知识点：多元函数微分概念1．背景知识与引入方法二元函数的微分概念的要点是：在一点附近用线性函数近似地表示函数，微分的几何意义是在一点附近用平面近似地代替曲面．微分就是将函数“局部线性化”，或者将曲面“局部展平”．理解微分概念的关键是理解“线性化”和“局部”的含义.微分概念有不同的表述方式，它们在理论和应用方面有不同的优点．可以根据专业背景和学生的接受能力，选择不同的讲解方法．2．该知识点讲解方法讲解方法一：设二元函数),(yxf在),(000yxP的某个邻域中有定义.当自变量有改变量),(yxr时,如果存在一个以),(yx为自变量的线性函数),(yxl,使得函数改变量),(),()(00000yxfyyxxfPf可以表示成),(yxlf(1)其中满足0)()(lim2200yxyx(2)则称),(yxf在点),(000yxP可微.其中线性函数),(yxl称为),(yxf在点),(000yxP的微分(即全微分),记作),(d00yxf或),(00dyxf.讲解方法二：设二元函数),(yxf在),(000yxP的某个邻域中有定义.当自变量有改变量),(yx时,如果存在常数ba,,使得函数改变量),(),()(00000yxfyyxxfPf可以表示成ybxaf(1)其中满足0)()(lim2200yxyx(2)则称),(yxf在点),(000yxP可微.其中ybxa是变量),(yx的线性函数,这个线性函数称为),(yxf在点),(000yxP的微分(即全微分),记作),(d00yxf或),(00dyxf.注释：讲解方法一和讲解方法二基本相同，只不过方法一更加抽象．在近代分的教科书中，一般使用讲解方法一；国内的微积分教科书中一般采用讲解方法二.上述两种讲解方法虽然严密，但是比较抽象，初学者不容易理解.国外一些有影响的教材大都不采用这种定义方法，而是采用一些变通方式，降低难度以便于学生理解.当然，降低难度不能损失科学性.讲解方法三如果存在常数ba,，使得函数),(yxf在),(000yxP的改变量),(),(0000yxfyyxxf可以表示成yxybxaf21其中21,是yx,的函数，满足0lim100yx,0lim200yx则称),(yxf在),(000yxP可微，并且称ybxa是),(yxf在),(000yxP的全微分.注释：讲解方法3与讲解方法2的区别仅在于误差的形式.可以证明两个定义是等价的.(见下面相关知识中的定理1.)这个讲解方法的好处，是对于复合函数微分法的证明会带来一些方便．缺点是比较抽象，而且不如讲解方法一、二那样切中微分概念的关键之处（即))()((22yxo）.具体建议：可以将这个讲法作为可微性的充分必要条件讲解．（参考[1]）讲解方法四设二元函数),(yxf在点),(00yx存在两个偏导数yfxf,.令),(),(0000yxfyyxxf)yyfxxf（如果当0,0yx时，有0)()(22yx则称),(yxf在点),(00yx可微，并且称yyfxxfyxyx),(),(0000为),(yxf在点),(00yx的微分.当),(yxf在点),(00yx可微时，用),(d00yxf表示),(yxf在点),(00yx的微分，即yyfxxfyxfyxyx),(),(000000),(d注释：这个定义的优点是直接点出微分表达式yyfxxfyxyx),(),(0000，并且概念本身就明确了函数可微性与偏导数存在性之间的关系.因此概念比较直观、易懂.虽然在抽象程度上有些折扣，但是在科学性方面并没有任何损失.另外，用这种方式定义微分概念，对于讨论微分学的若干概念问题，以及定理证明都会带来方便.(参考[3])例题例题１：求函数yxyxf),(在任意点),(yx的全微分),(dyxf和点)1,1(处的全微分)1,1(df.解当0y时,yxf1,2yxyf,并且两个偏导数都连续,所以2ddd),(dyyxyyyfdxxfyxf当)1,1(),(yx时,yxyyfxxffddd)1,1(d)1,1()1,1(d例题２：讨论函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf的在原点)0,0(是否存在偏导数，是否可微.解：当)0,0(),(yx时，23)(),(2232222222yxyyxyxxyxyyxfx.23)(),(2232222222yxxyxyxyyxxyxfy.当)0,0(),(yx时，注意到0)0,(,0),0(xfyf，所以0)0,0()0,(lim)0,0(0xfxffxx，0)0,0(),0(lim)0,0(0yfyffyy因此),(yxf处处存在偏导数.下面证明函数),(yxf在点)0,0(处不可微.下面证明),(yxf在点)0,0(处不可微．反证：如果),(yxf在点)0,0(处可微，则),(yxf在点)0,0(的微分就是000)0,0()0,0()0,0(dyxyfxffyx又根据微分定义，当0,0yx时，)()0,0(d2222yxofyxxyf)(22yxo但是，最后这个等式不成立，因为当0,0yx时，22yxxy与22yx相比较不是高阶无穷小量.例如当yxyx并且,0,0时，有2121222222xxyxxyyx于是据微分定义推出，),(yxf在点)0,0(不可微.例3：两个电阻1R和2R并联以后的电阻为2121RRRRR.假设1R的标定值为300ohms,相对误差不超过2；2R的标定值为500ohms，相对误差不超过3.试确定并联电阻R的最大相对误差.解：根据题意，有02.0||11RR，03.0||22RR由于221221)(RRRRR，221212)(RRRRR所以221222122)(dRRRRRRRR于是R的相对误差近似地等于22211112122121221222122)(RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR因此近似地得到||||||2221111212RRRRRRRRRRRR02375.003.050030050002.05003003003．难点问题及解决方法多元函数微分概念是一个教学难点，主要原因是概念比较抽象，同时))()((22yxo这个记号也不容易理解。解决方法１：如果用讲解方法1进行教学，可以借助于简单直观的例子引入概念，并且用近似计算的例题解释微分的本质:引例：设有一个矩形，其长、宽分别为ba,.由于环境温度变化,b它的长和宽分别改变了ba,，问其面积改变了多少？若记面积改变量为A.则bbaabAba(图3-1).这个问题很简单，但答案却很有意义.aa它说明面积改变量A可以分成两部分，一部分是自变量图1改变量),(ba的线性函数baab;而其余的部分则满足下面的条件：0lim2200bababa这个现象启示人们考虑这样的问题:当二元函数),(yxf的自变量),(yx在点),(00yx有改变量),(yx时,由此产生的函数改变量),(),(00yxfyxff能否表示成下述形式:ybxaf其中ba,是与),(yx无关的常数,是与),(yx有关的量,当0,0yx时,满足0)()(lim2200yxyx.研究这个问题就导致函数微分概念的建立.解决方法２：建议采用讲解方法4．这种定义方法比较直观。直接给出微分表达式，定义本身就明确了微分与偏导数的关系。可以使微分学该之间的关系简单明了，并且有助于简化一些定理的推导过程。虽然在抽象程度上有些折扣，但是在科学性方面并没有任何损失.常见错误分析1.函数在一点),(00yx的微分是自变量改变量),(yx的函数，学生往往理解不清楚这一点.特别是对于在任意点),(yx的微分),(dyxf，常常混淆),(yx和),(yx的区别。2.4．与其他知识点的关联（１）多元函数的线性近似．以二元函数为例，令),(),(0000yxfyyxxf)yyfxxf（当0,0yx时，有0)()(22yx所以，如果yfxf,在点),(00yx不全等于零，则当0,0yx时，有0xxfxxf于是若用微分yyfxxf作为函数改变量),(),(0000yxfyyxxff的近似值，则当yx,很小时，相对误差xxfxxf也非常小．（２）曲面的切平面二元函数的微分有明显的几何意义．假设函数),(yxf在点),(00yx可微，则曲面),(:yxfzS在点)),(,,(00000yxfzyx的切平面方程是)()(),(0),(0),(000000yyyfxxxfyxfzyxyx法向量为)1,,(),(),(0000yxyxyfxf．（３）证明微分概念2与微分概念4互相等价(概念1与概念3等价).定理１：函数),(yxf在),(00yx可微的充分必要条件是：可以将函数),(yxf在点),(00yx的改变量表示为),(),(0000yxfyyxxffxyxfx),(00yxyyxfy2100),((1)其中21,是yx,的函数，满足0lim,0lim200100yxyx证明：必要性：如果),(yxf在),(00yx可微，则当0,0yx时，),(),(0000yxfyyxxffxyxfx),(00yyxfy),(00(2)其中满足0)()(lim2200yxyx.当0,0yx时，22)()(yx和||||yx是同阶无穷小量，所以0||||lim00yxyx(3)将写成yyxyxyxx||||)sgn(||||)sgn((4)(其中sgn表示符号函数)令||||)sgn(,||||)sgn(21yxyyxx(5)则由(5)式可以推出0lim,0lim200100yxyx将(5)和(4)式代入(2)式，就得到(1)式.充分性：假定(1)式成立。因为22)()(||yxx，22)()(||yxy所以有222121)()(|)||(|||yxyx于是当0,0yx时，0)()(2221yxyx。根据可微性定义，由此可以推出函数),(yxf在),(00yx可微.定理证毕.（４）函数可微的充分条件定理2:如果函数),(yxf的两个偏导数yfxf,都在),(00yx处连续，则),(yxf在),(00yx处可微，并且yyyxfxxyxfyxfd),(d),(),(d000000(5）一元函数的微分一元函数的微分)(d0xf的概念有三种等价的引入方式。1．设函数)(xf在点0x的某个邻域中有定义.如果存在一个常数a，使得当0x时，函数改变量)()()(000xfxxfxf可以表示为xaxf)(0其中是x的函数，满足0lim0xx则称)(xf在点