矩阵论研究生考试题(2012-2013)

南通大学2012—2013学年第一学期矩阵理论及应用研究生试卷（A）第1页共3页试题一二三四总分二.计算题（第1小题14分，2，3，4小题各10分，共44分）1.已知308316205A，（1）求tAetR（）；（2）解矩阵微分方程0(0)dxAxftdtxx其中123()(,,),Txtxxx0(2,1,1),Tx()(2,0,)ttTftee。得分评卷人得分一.填空题（每题4分，共20分）一.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）1.A是n阶方阵，AE的标准型为2111(1)(1)，则A的最小多项式m.2.矩阵021202120A的1范数（列和范数）1A.3.矩阵1435A的谱半径A.4.设123aaa为给定的常向量，123xXxx为向量变量，()TfXX则dfdX=.5.将()1,2,2Tx=-化为与()11,0,0Te=同向的向量的Householder变换对应的Householder矩阵为得分评卷人使用班级研12电子、研12电气出卷日期2012年12月15日学院：专业：年级：班级：学号：本人承诺：在本次考试中，自觉遵守考场规则，诚信考试，绝不作弊。学生签名：装订线内答题无效—————————密————————————封——————————线————————南通大学2012—2013学年第一学期矩阵理论及应用研究生试卷（A）第2页共3页2.1322A，求432342AAAAE3.求矩阵241112121221A的满秩分解4.00111111A，求A的特征多项式与最小多项式，并求sinA三.证明题（每题10分，共30分，）1．A是n阶Hermite矩阵，证明：227AAE是正定Hermite矩阵得分评卷人学院：专业：年级：班级：学号：—————————密————————————封——————————线————————南通大学2012—2013学年第一学期矩阵理论及应用研究生试卷（A）第3页共3页2.设A为n阶方阵,A是从属于某种向量范数的矩阵范数,证明:1)1E;2)1A时，EA可逆，且11111EAAA.3.A为秩为r的半正定Hermite矩阵，则存在列满秩矩阵P,使得HAPP,其中1(0,1,2,,),HirrirPPI（其中rI为r阶单位矩阵）四.讨论题（6分）在n阶复方阵构成的线性空间nnC中，定义(,)HABTrAB，则(,)HABTrAB是nnC的内积，nnC对该内积做成酉空间.2）写出该欧氏空间的柯西—希瓦尔兹不等式；3）对,HAA运用柯西—希瓦尔兹不等式，看看能得到什么结果？得分评卷人学院：专业：年级：班级：学号：—————————密————————————封——————————线————————南通大学2012—2013学年第一学期矩阵理论及应用研究生试卷（B）第1页共3页试题一二三四总分二.计算题（第1小题大14分，2，3，4小题各10分，共44分）1．已知210420101A，（1）Ate；（2）求解矩阵微分方程0()(0)dxAxftdtxx其中1230()(,,),(1,1,1),()(1,2,1)TTtTxtxxxxfte.得分评卷人得分一.填空题（每题4分，共20分）1.n阶方阵A满足22AAEO，则A的特征值只可能是.2.A是n阶方阵，AE的标准型为22111(1)(1)，则A的Jordan标准形为.2.将430x化x为与1100e同向的向量用的Givens变换对应的Givens矩阵为3.矩阵00cAc，A收敛limkkAO，则c的取值范围为4.设123xXxx，则TdXdX=5.设矩阵A的Crout分解为200112210011023001A,则A的LDR分解为A；Doolittle分解为A.得分评卷人使用班级研12电子、研12电气出卷日期2012年12月15日学院：专业：年级：班级：学号：本人承诺：在本次考试中，自觉遵守考场规则，诚信考试，绝不作弊。学生签名：装订线内答题无效—————————密————————————封——————————线————————南通大学2012—2013学年第一学期矩阵理论及应用研究生试卷（B）第2页共3页2.求矩阵311111002A的Jordan标准形3.求矩阵111232162124A的满秩分解4.110110A，求A的奇异值分解.三.证明题（每题10分，共30分）1.设Hermite矩阵HnnAGa是正定的，证明关于行列式的不等式：nnBAa.得分评卷人学院：专业：年级：班级：学号：—————————密————————————封——————————线————————南通大学2012—2013学年第一学期矩阵理论及应用研究生试卷（B）第3页共3页2.设A是n正定Hermite矩阵，利用矩阵的QR分解证明：存在一个上三角形矩阵T,使得HATT，3.设是n阶可逆矩阵A的特征值，A是A的任意一种范数证明：(1)11A;(2)11AA四.讨论题（6分）设矩阵101200bcAa，讨论A的可能的Jordan标准形.得分评卷人学院：专业：年级：班级：学号：—————————密————————————封——————————线————————