矩阵知识点归纳

第1页共4页矩阵知识点归纳(一)二阶矩阵与变换1．线性变换与二阶矩阵在平面直角坐标系xOy中，由x′＝ax＋by，y′＝cx＋dy，(其中a，b，c，d是常数)构成的变换称为线性变换．由四个数a，b，c，d排成的正方形数表abcd称为二阶矩阵，其中a，b，c，d称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A，B，C，…或(aij)表示(其中i，j分别为元素aij所在的行和列)．2．矩阵的乘法行矩阵[a11a12]与列矩阵b11b21的乘法规则为[a11a12]b11b21＝[a11b11＋a12b21]，二阶矩阵abcd与列矩阵xy的乘法规则为abcdxy＝ax＋bycx＋dy.矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律．3．几种常见的线性变换(1)恒等变换矩阵M＝1001；(2)旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝cosθ－sinθsinθcosθ；(3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x轴对称，则变换对应矩阵为M1＝100－1；若关于y轴对称，则变换对应矩阵为M2＝－1001；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝－100－1；(4)伸压变换对应的二阶矩阵M＝k100k2，表示将每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍，k1，k2均为非零常数；(5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x轴的投影变换的矩阵为M＝1000；(6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M＝1k01，若沿y轴平移|kx|个单位，则对应矩阵M＝10k1.(其中k为非零常数)．4．线性变换的基本性质设向量α＝xy，规定实数λ与向量α的乘积λα＝λxλy；设向量α＝x1y1，β＝x2y2，规定向量α与β的和α＋β＝x1＋x2y1＋y2.(1)设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M(λα)＝λMα，②M(α＋β)＝Mα＋Mβ.(2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．第2页共4页(二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量1．矩阵的逆矩阵(1)一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，则称变换ρ可逆．并且称σ是ρ的逆变换．(2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E，则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵．(3)(性质1)设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的．A的逆矩阵记为A－1．(4)(性质2)设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1.(5)已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.(6)对于二阶可逆矩阵A＝abcd(ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝dad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc.2．二阶行列式与方程组的解对于关于x，y的二元一次方程组ax＋by＝m，cx＋dy＝n，我们把abcd称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)＝abcd＝ad－bc.若将方程组中行列式abcd记为D，mbnd记为Dx，amcn记为Dy，则当D≠0时，方程组的解为x＝DxD，y＝DyD.3．二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，α称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量．(2)特征多项式设λ是二阶矩阵A＝abcd的一个特征值，它的一个特征向量为α＝xy，则Axy＝λxy，即ax＋by＝λx，cx＋dy＝λy，也即λ－ax－by＝0，－cx＋λ－dy＝0.(*)定义：设A＝abcd是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝λ－a－b－cλ－d＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc称为A的特征多项式．(3)矩阵的特征值与特征向量的求法如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，即f(λ)＝0，此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可得到一组非零解x0y0，于是非零向量x0y0即为A的属于λ的一个特征向量．第3页共4页所有变换矩阵单位矩阵：1001M，点的变换为(,)(,)xyxy伸压变换矩阵：001kM：1k，将原来图形横坐标扩大为原来k倍，纵坐标不变01k，将原来图形横坐标缩小为原来k倍，纵坐标不变点的变换为(,)(,)xykxy100Mk：1k，将原来图形纵坐标扩大为原来k倍，横坐标不变01k，将原来图形纵坐标缩小为原来k倍，横坐标不变点的变换为(,)(,)xyxky反射变换：1001M：点的变换为(,)(,)xyxy变换前后关于x轴对称1001M：点的变换为(,)(,)xyxy变换前后关于y轴对称1001M：点的变换为(,)(,)xyxy变换前后关于原点对称0110M：点的变换为(,)(,)xyyx变换前后关于直线yx对称旋转变换：cossinsincosM：逆时针090：0110M；顺时针090：0110M旋转变化矩阵还可以设为：abMba投影变换：1000M：将坐标平面上的点垂直投影到x轴上点的变换为(,)(,0)xyx第4页共4页0001M：将坐标平面上的点垂直投影到y轴上点的变换为(,)(0,)xyy1010M：将坐标平面上的点垂直于x轴方向投影到yx上点的变换为(,)(,)xyxx0101M：将坐标平面上的点平行于x轴方向投影到yx上点的变换为(,)(,)xyyy11221122M：将坐标平面上的点垂直于yx方向投影到yx上点的变换为(,)(,)22xyxyxy切变变换：101kM：把平面上的点沿x轴方向平移||ky个单位点的变换为(,)(,)xyxkyy101Mk：把平面上的点沿y轴方向平移||kx个单位点的变换为(,)(,)xyxkxy