浅谈斐波那契数列

第1页，共5页浅谈斐波那契数列摘要：本文以人们熟悉的“小兔子”问题为背景，分别用初等方法、线性代数中矩阵对角化方法以及数学归纳法导出通项公式，揭示了Fibonacci数列的特征。并举例说明其与自然科学的联系和应用。关键词：Fibonacci数列；通项公式；黄金分割BriefStudyofFibonacciSequenceTeamSeven(CivilEngineeringDepartmentofSoutheastUniversity,Nanjing211189,China)Abstract:Withthewellknownbunny’sproblemasthebackground,recurrencerelationsofFibonaccisequencearederivedthroughelementarymethod,diagonalizationofmatrixinlineralgebraandmathematicalinductions.WelistseveralexamplesoftherelationshipbetweenFibonaccisequenceandnaturescienceanditsapplications.Keywords:FibonacciSequence;GeneralFormula;GoldenSection1前言1.1Fibonacci问题产生的背景1202年，Fibonacci所著的《珠算的书》中提出这样一个问题：“年初在围栏中放入一对小兔，每对新生的小兔从第二个月起每月生一对小兔，问一年后围栏中小兔的对数是多少？”我们用nF表示第n个月初围栏里小兔的对数（n=1,2,3……），上述问题是求13F。第二个月一对成熟的兔子生了一对小兔子，但月初小兔并未成熟，故112FF。第三个月，上个月出生的小兔已经成熟，加上本来一对小兔，故2213FFF……一般的，第n个月初的兔子对数有两个来源，其一是第1n个月初已在围栏里的兔子，即1nF；其二是第1n个月里新生的小兔子，即2nF，于是21nnnFFF。显然，利用上述关系以及112FF，可以此求出3F、4F、5F……，从而得到本文开头的斐波那契数列中的各项。但是，按上面的递推方法求{nF}中的某一项极为不便，故应寻找{nF}的通项[1]。1.2运用计算机程序计算斐波那契数列各项在MicrosoftVisualC++6.0中Fibonacci数列的程序设计：第2页，共5页2斐波那契数列通项公式的推导2.1初等方法[2]设251，251。易见，为方程012xx的根，且有：1，1（1）由（1）式可得：2121)(nnnnnFFFFF)3(n（2）)(211nnnnFFFF因此，数列{1nnFF})2(n是首项为112FF，公比为的等比数列。由等比数列的通项公式得：121)1(nnnnFF（3）类似地，数列{1nnFF})2(n是首项为112FF，公比为的等比数列。121)1(nnnnFF（4）在（3），（4）两式中消去1nF得：nnnnnF25125151。2.2代数方法[2]第3页，共5页2110111nnnnFFFF)3(n从而我们得到：110111011122121nnnnnnFFFF（5）求矩阵0111的特征值：011112解得：251，251。故对其对角化：00110111111从而有：115100110111222nnn（6）注意到，11122，由（5），（6）两式得到：113321222111511151nnnnnnnnnnnnnnFF所以：nnnnnF25125151。2.3数学归纳法当1n，2n时成立；假设当1kn，kn时成立那么：11115151225151512151kkkkkkkkkFFF11111151512515151251251251kkkkkkkk所以当1kn，kn时成立，数学归纳法证明通项公式正确。2.4斐波那契数列的另两个递推关系第4页，共5页斐波那契数列前若干项为1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……首先我们依次用斐波那契数列里相邻的三项进行实验：......5585532153328322132111由此可以猜想，对任意正整数n，有：nnnnnFFFFF211（7）再次我们依次用斐波那契数列里相邻的四项进行实验：......895313834328513215351132由此可以猜想，对任意正整数n，有：12121nnnnnFFFFF（8）在参考文献[3]中，用数学归纳法证明了（7），（8）。对于任意正整数n，（7），（8）均成立，这意味着斐波那契数列中相邻的三项或四项经过加减乘除运算得到的数仍是斐波那契数，即它们是封闭的。3斐波那契数列的应用3.1Fibonacci数列与黄金分割[4]上世纪70年代，我国著名数学家华罗庚先生提出一种优选法，即0.618法。这0.618就是黄金分割比的近似值。如果将Fibonacci数列中相邻两项的比写出来：619.02113，617.03421，618.05534，619.08955，618.014489……便会发现，随着n的增大，相邻两项的比值越来越逼近黄金比[1]，于是：11111515115151511511251515215151521nnnnnnnnnnFF而2354526515151512，其绝对值小于1，故第5页，共5页618.0215512lim1nnnFF，由此可见，Fibonacci数列与黄金分割有密切的联系。3.2Fibonacci数列与花朵的旋涡和花瓣数夏天，我们观察一下盛开的向日葵，我们就会注意到右向和左向的旋涡。数一数究竟有多少旋涡后就会发现，如果右旋有21条，那么左旋就是34条或13条。即上述斐波那契数列的相邻项（5,8），（8,13），（13,21）……都是成对出现的。花瓣数是极有特征的。多数情况下，花瓣的数目都是3,5,8,13,21,34,55……这些数恰好是斐波那契数列的某些项。例如，百合花有3瓣花瓣，至良属的植物油5瓣花瓣；许多翠雀属植物有8瓣花瓣；万寿菊的花瓣有13瓣，更有趣的是，有一位学者细心地数过一朵花瓣，发现这朵花的花瓣刚好有157瓣，且他又发现其中有13瓣与其他144瓣有显著不同，是特别长并卷曲向内的，这表明这朵花的花瓣数目是又137F和14412F合成的[5]。3.3Fibonacci数列与台阶问题只有一个台阶时，只有一种走法，11F。两个台阶，走法有2种，22F。三个台阶时，走法有一步一阶，2阶再1阶，1阶再2阶，因此，33F。四个台阶时，走法有（1,1,1,1），（1,1,2），（1,2,1），（2,1,1），（2,2），共5种走法，故54F[5]。以此类推，有数列1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233……也与斐波那契数列有着紧密联系。4结语斐波那契数列与自然、生物、科学上的联系其实还有很多，但是仅仅从几个例子上我们就可以看出斐波那契数列的应用的广泛性，由此我们可以看到数学的美其实是无处不在的。它是一门学科，同时也是一种语言，一种艺术，它如同盛开的茉莉洁白淡雅，总而言之，数学与自然、生活相伴相随，共同发展。参考文献[1]徐新萍,薛倩.浅谈斐波那契数列[J].江苏教育学院学报(自然科学报),2009,26(1):17-18.[2]劳会学.Fibonacci数列通项公式的四个直接证明[J].数学的实践与认识,2007,37(15):180-181.[3]徐彦明.关于斐波那契数列封闭特点的又两个公式[J].中国数学,2006(2):47.[4]叶运佳.斐数列{nF}浅探[J].数学通报,2004(3):37-39.[5]李美玲.趣谈斐波那契数列[J].科协论坛,2008(8):42.