10空间统计量(空间指数)计算、点模式分析

空间模式分析1《GIS空间分析方法》第十讲2014.3.26“Statistics,thescienceofuncertainty,attemptstomodelorderindisorder.”—Cressie(1993)统计Statistics2为什么要进行空间模式分析？——了解地理现象的状态和变化过程的需要。•城市的聚集程度；•商业区的发展规律；•病虫害的聚集态势；•犯罪（如抢劫）是否呈空间聚集模式；•……3主要内容•Ripley’sK•Moran’sI•Geary’sC•Getis’G•Anselin’sLISA4可以划分为聚集模式（clusteredpattern)、分散模式（dispersedpattern)和随机模式（randompattern)三类。聚集模式分散模式随机模式空间分布模式1.Ripley’sK用于分析不同空间尺度上的聚集程度是否一致，发现是否存在聚集及聚集的空间尺度。67城市在什么尺度上聚集？K函数是点密度距离的函数，其按照一定半径距离的搜索圆范围来统计点数量。K(d)的求解过程：①围绕每一点i(事件)构造一个半径为d的圆；②计算落在该圆内的其它事件的数量，标记为j;③对所有点i重复上面的两步的计算，并对结果求和；④以上步骤等同于一个求和：如果i到j的距离dij小于d，则I(dij)=1;否则I(dij)=0；⑤给d增加一个小的固定值（如R/100，R是与研究区域相同面积的圆的半径；⑥重复上述计算，对一组距离d值计算出K(d)值。2(),ijijAKdIdijN89VaryingbuffersK函数的含义•K(d)函数的理论估计值为πd2，对于聚集模式，应大于πd2；•只需将K(d)的估计值和随机点模式下的理论值相比即可判断在某一尺度上是否聚集。•CSR:CompleteSpatialRandomness10112.Moran’sI空间自相关度量的意义：发现空间分布模式如何度量？(a)空间集聚(空间相似)(b)空间间隔(空间相异)(c)空间随机12主要描述整个研究区域上空间对象之间的关联程度，以表明空间对象之间是否存在显著的空间分布模式。（CliffandOrd，1981）全局空间自相关分析主要采用全局空间自相关统计量（如Moran’sI、Geary’sC、GeneralG）进行度量。全局空间自相关（globalspatialautocorrelation）13niininjjiijxxxxxxwSnI210)())((Moran’sI统计量是一种应用非常广泛的空间自相关统计量，它的具体形式如下（CliffandOrd，1981）：Moran’sI其中，xi表示第i个空间位置上的观测值，，wij是空间权重矩阵W（n×n）的元素，表示了空间单元之间的拓扑关系，S0是空间权重矩阵W的所有元素之和。反映的是空间邻接或空间邻近的区域单元属性值的相似程度。niixnx11全局空间自相关统计指数14空间权重矩阵（spatialweightmatrix）对空间邻居（spatialneighborhood）或邻接关系的描述，通常定义一个二元对称空间权重矩阵W，来表达n个位置的空间区域的邻近关系。目前对于空间权重指标的构建，主要基于两类特征：连通性（Continuity）和距离（Distance）。此外，还可以通过面积、可达度等方式对空间权重指标进行构建。空间权重矩阵15空间权重矩阵（spatialweightmatrix）基于连通性特征的空间权重指标，又可以称为空间邻接指标。三种基本的空间邻接定义方式：考虑横纵方向邻接关系的“卒”型、考虑对角线方向邻接关系的“象”型以及综合考虑上述方向的“后”型。空间邻接影响不仅仅局限于两个单元的相邻，一个空间单元还可通过相邻单元对外围非相邻单元产生影响，对于这类影响可以通过设定空间二阶乃至高阶邻接指标进行表达。16空间权重矩阵（spatialweightmatrix）基于距离特征的空间权重指标，又可以称为空间距离指标。空间距离指标选择空间对象间的距离（如反距离、反距离平方值、距离负指数等）定义权重矩阵。如Cliff和Ord曾提出的Cliff-Ord空间权重指标，即是将距离作为指标定义的一部分。，i=1,2,…,n；j=1,2,…,n其中，dij为空间对象间的距离，βij为空间对象共享边界的长度，a、b为两类距离的权重调整系数。bijaijijdw][][17空间权重矩阵（spatialweightmatrix）空间数据集中不同实体单元间存在不同程度的空间关系，在实际使用中，一般通过矩阵形式给出空间逐点的空间权重指标，称为空间权重矩阵。111212122212.....................nnnnnnW是一个nn的正定矩阵，矩阵的每一行指定了一个空间单元的“邻居集合”。一般地，面状观测值用连通性指标：若面状单元i和j相邻，则wij=1；否则，wij=0。点状观测值用距离指标：若点i和j之间的距离在阈值d以内，则wij=1；否则，wij＝0。通常约定，一个空间单元与其自身不属于邻居关系，即矩阵中主对角线上元素值为0。18在实际应用中，一般根据以下两种规则定义邻居：公共边界如果第i和第j个空间单元具有公共边界，则认为它们是邻居，空间权重矩阵中的元素为1；否则，不是邻居，元素为0。距离如果第i和第j个空间单元之间的距离位于给定的临界距离d之内，则认为它们是邻居，空间权重矩阵中的元素为1；否则，不是邻居，元素为0。Cliff-Ord广义空间权重矩阵ijijijdbw其中dij是i和j之间的距离，bij是i和j之间的公共边界占i周长的比例。19二元邻接矩阵：两个单元共享边界，则权重据准的元素重心距离矩阵：两个单元的重心小于某个指定的距离，其它；共享边界；和0A,1jiAWij，其它；距离范围内；重心的重心位于0A,1WjidAij20二元邻接矩阵的性质：–对角线元素为零，自己不能为邻居；–矩阵具有对称性，邻居是相互的；–矩阵的行元素之和表示该空间单元直接邻居的数量。2122对观测值在空间上不存在空间自相关（或独立、随机分布）这一原假设进行检验时，一般根据标准化以后的Moran’sI值或z值，即：)()(IVARIEIZIMoran’sI的检验在统计推断的过程中，通常需要对变量x的分布做出假设。一般分两种情况：一是假设变量x服从正态分布；二是在分布未知的情况下，用随机化方法得到x的近似分布。通过在正态或随机两种分布假设下得到I的期望值和方差来分别进行假设检验。23在正态分布假设下，Moran’sI的期望值和方差分别为：)()1(3)()1(1)(222020212IEnSSnSSnIVARnIEnnnninjijwS021)(21jininjijwwSniiiwwS22)(式中njijiww1njjiiww1和分别是空间权重矩阵W的第i行和第i列元素之和24)()3)(2)(1()62)(()3)33(()()1(1)(22020212220212IEnnnSSnSSnnbSnSSnnnIVARnIERRR2242))(()(niiniixxxxnb在随机分布假设下，Moran’sI的期望值和方差分别表示为：式中其他符号同上。25通常将Moran’sI解释为一个相关系数，取值范围从-1到+1。0I1表示正的空间自相关，I=0表示不存在空间自相关，-1I0表示负的空间自相关。当Moran’sI显著为正时，存在显著的正相关，相似的观测值(高值或低值)趋于空间集聚。当Moran’sI为显著的负值时，存在显著的负相关，相似的观测值趋于分散分布。当Moran’sI接近期望值（-1/（n-1），随着样本数量的增大，该值趋于0）时，表明不存在空间自相关，观测值在空间上随机排列，满足经典统计分析所要求的独立、随机分布假设。（A）（B）（C）（D）（E）I=-1.000I=-0.393I=0.000I=+0.857I=+0.39326272829niininjjiijxxxxwSnC121120)()(21Geary’sC也是一种较常用的空间自相关统计量，其结果解释类似于Moran’sI（CliffandOrd1981）。其形式为：对该统计量的统计推断也是根据相应的标准化Z值。3.Geary’sC30在正态分布假设下，Geary’sC的期望值和方差分别为：)4)1)(2(()1(21)(1202120SnSSSnCVar(C)ENN在随机分布假设下，Geary’sC的期望值和方差分别表示如下：]})1(3[])2(63[)1(41])1(33[)1{()3)(2(1)(1)(22220222222120bnnSbnnnnSnbnnnSnSnnnCVarCERR式中符号同Moran’sI的期望和方差公式。31Geary’sC总是正值，取值范围一般为0到2之间，且服从渐近正态分布。当Geary’sC小于1时，表明存在正的空间自相关。当Geary’sC大于1时，表明存在负的空间自相关。当Geary’sC值为1时，表明不存在空间自相关，即观测值在空间上随机排列。Moran’sI和Geary’sC具有描述全局空间自相关的良好统计特征，但是它们不具有识别不同类型的空间聚集模式（“hotspots”，“coldspots”）的能力。也就是说I和C指数只能分辨出相邻数据的异同，但是不能对其整体趋势进行判别。4.Getis’G32GeneralG统计量Moran’sI和GearyC统计量均可以用来表明属性值之间的相似程度以及在空间上的分布模式，但它们并不能区分是高值的空间集聚（高值簇或热点（hotspots））还是低值的空间集聚（低值簇或冷点（coldspots）），有可能掩盖不同的空间集聚类型。Getis-OrdGeneralG统计量则可以识别这两种不同情形的空间集聚（GetisandOrd，1992；O’SullivanandUnwin，2003）。()()ijijijwdxxGdxx式中，wij(d)是根据距离规则定义的空间权重；xi和xj含义同上。对GeneralG的统计检验采用下式：()()GEGZVarG33在空间不集聚的原假设下，GeneralG的期望值和方差分别是：2242234012342222()()(1)[][]()()()[()](1)(2)(3)[(())]ijiiiiiiiiiwdEGnnBxBxBxxBxxBxVarGxxNNNNEGd220122211223122412(33)3(())[()26(())]4(1)2(1)8(())(())ijijijijBNNSNSwdBNNSNSwdBNSNSwdBSSwd其中，21)(21jininjijwwSniiiwwS22)(34当GeneralG值高于E(G)，且Z值显著时，观测值之间呈现高值集聚。当GeneralG值低于E(G)，且Z值显著时，观测值之间呈现低值集聚。当GeneralG趋近于E(G)时，观测值在空间上随机分布。35局部空间自相关统计量全局空间自相关的不足：它是对整个研究区域基于全局范围的一个统计量。由于空间异质性的存在，通常研究区域上都具有不同的空间之相关值。比如，在某些区域上的空间自相关的值可能是高的，另外一些区域上的值可能是低的，甚至可能在研究区域的某一部分中找到了正的空间自相关而在另一些区域中找到的是负的空间自相关。5.LISA(LocalIndicatorsofSpatialAssociation)36LISA是与I和C相关的局部