用Matlab软件求多元函数的偏导数和极值

数学实验五用Matlab软件求多元函数的偏导数和极值一、多元函数的偏导数1．调用格式一：diff('多元函数','自变量',n)其中，n为所求偏导数的阶数．例1已知yxz2cos2=，求xz∂∂、xyz∂∂∂2和22yz∂∂．解打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：pzpx=diff('x^2*cos(2*y)','x')p2zpypx=diff(pzpx,'y')p2zpy2=diff('x^2*cos(2*y)','y',2)取名为exa9保存，再在命令窗口中输入命令exa9，程序运行结果如下：pzpx=2*x*cos(2*y)p2zpypx=-4*x*sin(2*y)p2zpy2=-4*x^2*cos(2*y)即yxxz2cos2=∂∂，yxxyz2sin42-=∂∂∂，yxyz2cos4222-=∂∂．2．调用格式二：symsxyz…diff(f,自变量,n)例2已知)5sin(32zyxu+-=，求xu∂∂、xyzu∂∂∂∂3和33zu∂∂．解在命令行中依次输入：symsxyzu=sin(x^2-y^3+5*z);ux=diff(u,x);uxy=diff(ux,y);uxyz=diff(uxy,z);uz3=diff(u,z,3);ux,uxyz,uz3运行结果如下：ux=2*cos(x^2-y^3+5*z)*xuxyz=30*cos(x^2-y^3+5*z)*y^2*xuz3=-125*cos(x^2-y^3+5*z)即)5cos(232zyxxxu+-=∂∂，)5cos(303223zyxxyxyzu+-=∂∂∂∂，)5cos(1253233zyxzu+--=∂∂．二、隐函数的导数在Matlab中没有直接求隐函数导数的命令，但可调用Maple中求隐函数导数的命令，调用格式如下：maple('implicitdiff(f(u,x,y,z,…，)=0,u,x)')例3求由多元方程xyzzyx=++222所确定的隐函数dxz∂．解在命令行中输入：pzpx=maple('implicitdiff(x^2+y^2+z^2-x*y*z=0,z,x)')运行结果是：pzpx=(2*x-y*z)/(-2*z+x*y)即zxyyzxxz22--=∂∂．三、多元函数的极（或最）值在Matlab中同样有求多元函数的极（或最）小值的函数，但由于多元函数的形式比较复杂，不同情况用到不同的Matlab函数．若要求多元函数u在某一区域的极（或最）大值，可转化为求u-在该区域内的极（或最）小值．1．非线性无约束情形求极（或最）小值点或极（或最）小值的调用格式是：[x,fval]=fminsearch(‘f’,x0)f是被最小化的目标函数名，x0是求解的初始值向量．例４求二元函数2331042),(yxyxyxyxf+-+=的最值点和最值．解打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：%必须对自变量进行转化x=x(1)，y=x(2)[Xmin,fmin]=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2',[0,0]);[Xmax,Fmin]=fminsearch('-2*x(1)^3-4*x(1)*x(2)^3+10*x(1)*x(2)-x(2)^2',[0,0]);fmax=-Fmin;Xmin,fminXmax,fmax取名为exa10保存，再在命令窗口中输入命令exa10，程序运行结果如下：Xmin=1.00160.8335fmin=-3.3241Xmax=-1.00001.0000fmax=5.00002．非线性有约束情形非线性有约束优化问题的数学模型如下：式中，x,b,beq,lb和ub是向量，A和Aeq是矩阵，c(x)和ceq(x)为函数，返回标量．f(x)，c(x)和ceq(x)可以是非线性函数．求极（或最）小值点或极（或最）小值的调用格式如下：[x,fval]=fmincon('fun',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)nonlcon参数计算非线性不等式约束c(x)=0和非线性等式约束ceq(x)=0．例5求表面积为6m2的体积最大的长方体体积．解设长方体的长、宽、高分别为x1、x2、x3，则f(x)=-x(1)*x(2)*x(3)，S.tx(1)*x(2)+x(2)*x(3)+x(3)*x(1)-3=0，x(i)0,i=1,2,3．⑴建立函数文件fun1打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：functionF=fun1(x)%函数文件必须是function开头F=-x(1)*x(2)*x(3);单击“保存”按钮，自动取名为fun1，再击保存．⑵建立非线性约束函数文件yceqfunction[c,ceq]=yceq(x)c=x(1)*x(2)+x(2)*x(3)+x(3)*x(1)-3;ceq=[];保存方法同上，自动取名为yceq，再击保存．⑶编制主程序：打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：x0=[3;3;3];%给长宽高一个初值A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];lb=[0,0,0];ub=[];[xmax,fmin]=fmincon('fun1',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,'yceq');%函数要加单引号Vmax=-fmin;xmax,Vmax取名为exa11保存，再在命令窗口中输入命令exa11，程序运行结果如下：xmax=1.00001.00001.0000Vmax=ubxlbbeqxAeqbxAxceqxcxfMin≤≤≤⋅≤⋅=≤0)(0)()(1.0000四、上机实验1．用help命令查看函数diff，fminsearch和fmincon等的用法．2．上机验证上面各例．3．作相关小节练习中多元函数的偏导数，极（或最）值．