毕业论文数学1

本科毕业论文题目广义正定矩阵学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2007级5班姓名：冯晓丽指导教师：张红玉职称：副教授完成日期：2011年5月18日广义正定矩阵摘要：对于正定矩阵的理论，在实际应用中有非常广泛的应用，但在本科阶段的教材中，讨论的都不够充分，以至于我们不能很好的理解和应用.教材中涉及了矩阵的常规正定性，虽然在几何学，物理学以及概率论等学科中都得到了重要的应用，但随着数学本身以及应用矩阵的其他学科的发展，越来越感到不能满足需要，所以研究广义正定矩阵已成为一种必然.本文研究了未必对称的较广义的几种正定矩阵，给出了他们的定义及其这些广义矩阵的关系,接着又比较深入的讨论了各类正定矩阵的等价描述和其性质.这种较为广义的正定矩阵在数学规划的最优算法中，在严格的凸向量函数的检验中，以及在各种线性回归模型结构的基本理论中都得到了重要的应用.关键词：对称正定矩阵；实正定矩阵；广义正定矩阵；行列式；特征根目录1正定矩阵及广义正定矩阵的相关定义..................................12上述正定矩阵类的关系及相关推论....................................13上述正定矩阵类的等价描述及其相关性质..............................33.1对称正定矩阵..................................................33.2实正定矩阵....................................................43.2.1实正定矩阵的等价描述及其性质..............................43.3广义正定矩阵..................................................83.3.1DP的等价描述及其性质......................................83.3.2对于SP有下列等价描述及性质..............................9参考文献...........................................................14谢词..............................................................1611正定矩阵及广义正定矩阵的相关定义正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位，在实际中有非常广泛的应用，历史上，正定矩阵的研究最先出现在二次型与Hermite型的研究中，它的常规定义是：定义1设AnnR.若TAA，对任意的0nXR，都有0TXAX，则称A为对称正定矩阵,记为AS.定义2设AnnC，若TAA(A代表A的共轭转置)，对0XnnC都有0TXAX，则称A为hermite正定矩阵，记为As.1970年，C.R.Johnson给出了较广义的正定矩阵.定义3设AnnR，若对任意的0nXR，都有0TXAX，则称A为实正定矩阵，记为IAP.1984年，佟文延把这种正定性推广为：定义4设AnnR，若对任意的0nXR，都有正对角矩阵XDD0，使0TXXDAX.则称A为广义的正定矩阵，记为DP，若XDD与x无关，则记为DAP.1988年夏长富又将实矩阵的正定性作为进一步推广，他给出了：定义5设AnnR，若对0nXR，都存在实对称矩阵S（即SS），使得0TXSAX，则称A为正定矩阵，记为SAP，特别地若XSS与X无关时，记为sAP.2上述正定矩阵类的关系及相关推论下面我们给出这些矩阵类的包含关系及相关命题命题1SIPDPDP证明任取AS，则TAA,显然SIP.再取11()11A则对任何0nXR，都有TXAX=21x+22x0.因此IAP.但TAA,即AS,故ISP.2取nDI知IDPP.再取211()34nAI，220()01nDI.则对任何0nXR，都有2222121357(2)0416TnXDAXxxxxx.因此DAP.但当122xx=0，1x2x不全为零，而3x=nx=0,TXAX=212(2)xx=0.由此知,IAP,故IPDP.DPDP显然.故命题得证.命题2,DAP的充要条件是：TSDAADP证明由等式：()1()()22TTTTTDADAXDAXXXXDAADX注意到()TTTDAADDAAD.即知,DAP的充要条件是：TSDAADP命题得证.命题3广义实正定矩阵和对称正定矩阵、实正定矩阵有如下关系：SAP,IBSCP,使ABC或ACB证明:若SAP，则SS,使对0nXR，有0TXSAX,(1)即ICSAP,显知1BSS,而1ASSABC或者将（1）式改写为：TXSAX1()()0TSXASSX即1ICASP,而1BSS,显知ACB：若BS,ICP,使ABC,则1BAC.因1BS,ICP.0nXR有10TTXBAXXCXSAP或者，若,IBSCP,使ACB，则1ABCYBX0nXR，有0nYR.因,IBSCP，所以111()()0TTTTTTXBAXBYBABYYABYYCY又因1BS.所以SAP综上所述，命题得证.说明：对称正定矩阵和实正定矩阵之积为广义实正定矩阵，这也可作为广义正定矩阵的定义和判据.33上述正定矩阵类的等价描述及其相关性质3.1对称正定矩阵命题1设AS则（1）A的主对角元素全大于0（2）A中绝对值最大元素在主对角线上.证明（1）经过若干次行列合同变换，可将iia换到11a，故0iia.（2）反证法：假定ija（ij）是A的绝对值最大元素，而因为AS，即A正定，所以A的所有主子式全大于0，由此我们只需证明第i行第j行与第i列第j列交点上元素组成的矩阵不是正定矩阵即可.考虑矩阵（假ij定）[]iiijjijjaaaa注意到ijjiaa，且ijiiaaijjjaa所以20iijjijaaa所以这个矩阵一定不是正定矩阵.证毕.命题2若A是严格对角占优矩阵且主对角线上的元素全为正，又满足TAA则AS.证明(1)首先证明0A设111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa由于A是严格对角占优矩阵，则有,1,2iiijjiaain更有,1,2iiijjiaain（反证法）由于线性方程组0AX只有零解得冲要条件是0A.假设0AX有非零解，1,2,()TnXxxx记0max0iiixx，方程组0AX的第0i个方程为00110iinnaxax整理得000001()niiiijjjaxaxji于是00000011()nniiiijjijjjjaxaxaxji从而00000011()nnjiiijijjjixaaajix与条件,1,2iiijjiaain矛盾4故0AX只有零解，即0A.（2）再证0A构造矩阵111212122212()(01)nnnnnnaatatataatAttatata那么，()At显然满足,1,2iiijjiaain，故()0At.注意到()At展开后是t的连续函数，且11110(0)00nnnnaAaaa，(1)AA.以下用反证法证明0A.假设0A，则有()0At，但(0)0A，由零点定理，存在0(0,1),t使0()0At矛盾.故(1)0AA(3)显然A的所有顺序主子式均为严格对角占优矩阵，故对A的任意顺序主子式恒大于0.由课本定理知AS.3.2实正定矩阵用()nMF表示域上n阶矩阵的集合.设,1()()nijijnAaMF，用,1()TnijijAa表示A的转置；用,1()TnijijAa表示A的共轭转置；A表示A的伴随矩阵；12()kAiii表示A去掉第12kiii行与列后剩下的nk阶主子阵，()A表示A的特征.设()nAMR,有22TTAAAAA记()2TAARA，()2TAASA分别称为A的对称与反对称部分.3.2.1实正定矩阵的等价描述及其性质命题设()nAMR，则下列各条等价：(1)实正定，即对任意的0nXR，都；有0TXAX（2）对任意的()nPMR非奇异，TPAP实正定（3）TA实正定即对任意的0nXR，都有0TTXAX(4)()RA实正定(5)1A实正定即对任意5()nAMR的0nXR，都有10TXAX（6）A实正定且0A性质1假设()nAMR实正定，则：（1）对任意的0nXR，都有()0TTXAXXRAX(2)A的所有主子矩阵kA的特征根()kA满足0min(())Re()max(())kRAARAIm()max(())kASA;(4)A的所有主子式大于0，特别地A0;(5)对任意1()TnnXxxR0X,令1()TnAXzz,则存在1kn，使得0kkxz;（6）存在复数域上的n阶矩阵P，使得:()nPRAPI，11()[,,,,00]ssPSAPdiagbibibibi，其中r(())2SAs，2,1,1kboksi；（7）若B实正定，则对任意[0,1]t，(1)tAtB实正定，即n阶实正定矩阵集合为一凸集；证明（1）只需证()0TXSAX即可，nXR，()(())()TTTTXSAXXSAXXSAX,故()0TXSAX（2）min(())min(())kRARA，max(())max(())kRARA，对于()SA,可考虑()iSA，此为hermite矩阵，故只需证kAA时结论成立即可.令()A为A任一特征值，nxC为相应的特征向量，则,()(,)()()AxAxxRAxxSAx，容易知道()xSAx为纯虚数，故Re()()AxRAx，Im()()((()))AxSAxixiSAx，由CourantFischer【5】定理直接得证.（3）可由（2）直接得到.（4）可由0TXAX直接得到.6（5）()RA实对称正定，存在()nQMR使得()TNQRAQI,(())TQiSAQ为hermite矩阵，存在酉矩阵U使得1,2,(())[],TTniUQiSAQUdiagddddR，故12()[,,],TTnUQSAQUdiagdididi()()TnQSAQMR虚特征根成对，总可假定存在U使得11()[,,,,00]TTssUQSAQUdiagbibibibi，(())2rSAs，0,1,,kbks令PQU即可得证.（6）利用((1))()(1)()RtAtBtRAtRB便可得到证明.性质2设()nAMR,TAA,则TIAPAA是正定矩阵证明必要性：因为22TTAAAAA,其中2TAA是是对称矩阵2TAA是实反对称矩阵则对任意的nXR，()2222TTTTTTTTAAAAAAAAXAXXXXXXX由于数()()222TTTTTTTAAAAAAXXXXXX所以2()02TTAAXX即()02TTAAXX所以实对称矩阵TAA是正定的.充分性：若TAA是正定的.则对任意的nXR，有()02TTTAAXAXXX所以IAP.证毕.推论1实方阵IAP.TAA的特征值全为正.推论2实方阵IAP.TAA的各阶顺序主子式都为正.7下面给出IP的一种递归判别法